7. 集合の記法
? 大雑把に2通りの記法がある
? 1. 元を全て書きくだす
S = {1, 3, 5, 7, 9}
? 2. 元の満たす条件を挙げる
S = {x ? N | x % 2 =1, x ?10}
S = {x | x ? N, x is odd and is less than or equal to 10}
? リストの内包表記に対応する
? Haskell：
? Python：
9. 指数，対数関連公式
? 定義
? a, bを正の実数として a x = b ? x = loga b
? 自然対数の底： e = 2.728?
? loge x を log xや と書く事も
ln x
? 公式
? 真数のかけ算 log(x × y) = log x + log y
? 特に， log x n = n log x
? 真数の割り算 log(x / y) = log x - log y
? 指数法則
e(x+y) = e x × e y
10. 微分，积分関连公式
d n
? 多項式の微分 (x n )? = (x ) = nx n-1
dx
? 積の微分の公式 ( f × g)? = f ? × g + f × g?
? 合成関数の微分 ( f (g(x)))? = f ?(g(x))× g?(x)
? 公式そのものより使い方を習得してください
? 例： d ?d ? ?d ? 1 3
(log x 3 )? = ? logt ÷ × ? x 3 ÷ = × (3x 2 ) =
dx è dt ? è dx ? t x
↑
t=x3とおいて合成関数の微分
f(t)=log t, g(x)=x3
ò
? 多項式の積分 1 n+1
x n dx = x + C (n ? -1) ← n=?1では分母が0になる
n +1
òx -1
dx = log x + C
12. 多変数を表す記号
? 1個の実数を表す記号は細字，複数の実数の組を表す記号は太字を用い
る事が多い
? 例： x = ( x1, x2 , x3, x4 )
f (x) = x 3
g(x) = x1 + x2 + x3 + x4
h(x) = (x, x 2 + x, x 3 - x)
? 以降もこの記法に従っていきます
? 定義域，値域を明示することでも分かりやすくなります
? 上の例の場合 f :R?R
g : R4 ? R
h : R ? R3
13. 偏微分（定義）
? 多変数関数（変数が2つ以上の関数）で1つ以外のすべての変数を定数
だと思って微分する操作
? 例： f (x, y, z) = x 3 + y 2 + z 5
?f ?f
(x, y, z) = fx (x, y, z) = 3x 2 (x, y, z) = f y (x, y, z) = 2y
?x ?y
?f
(x, y, z) = fz (x, y, z) = 5z 4
?z
14. 偏微分同士の関係
? f が十分滑らか（= x, yについて何回でも微分可能）ならば
fxy (x, y, z) = fyx (x, y, z)
↑ ↑
まずxで微分し まずyで微分し
できた関数をさらにyで微分する できた関数をさらにxで微分する
? これを繰り返し用いると，
fxyzyyxwzxxzy (x, y, z) = fxxxxxyyyyzzzw (x, y, z)
→ 偏微分する順序は好きなように決めてよい
15. ?（ナブラ）
? 多変数関数の1階偏微分を並べて，ベクトルにする操作
? 例： f (x, y, z) = x 3 + y 2 + z 5
?f (x, y, z) = (3x 2 , 2y, 5z 4 ) （行ベクトルの場合）
? ?
? 3x 2 ÷
?f (x, y, z) = ? 2y ÷ （列ベクトルの場合）
? ÷
è 5z 4 ?
? 列/行ベクトルどちらで用いるかは文脈/筆者による
? (x, y, z)をまとめて xと書いて，↓のように書く事もある
?f
(x) = (3x 2 , 2y, 5z 4 )
?x
16. Δ（ラプラシアン）
? 多変数関数の2階偏微分をすべて足し合わせたもの
?2 ?2 ?2
Df (x, y, z) = 2 f + 2 f + 2 f f : R3 ? Rなら
?x ?y ?z
? ?2 ?f はベクトル
?2 ?2 ?
=? 2 + 2 + 2 ÷ f Df
è ?x ?y ?z ? はスカラー（実数）
= f xx + f yy + fzz .
? 例： f (x, y, z) = x 3 + y 2 + z 5 のとき，
?2 ?2 ?2
f = 6x f =2 f = 20z 3 だから，
?x 2 ?y 2 ?z 2
Df (x, y, z) = 20z 3 + 6x + 2.
19. 行列の積
? A：p×q 行列，B：サイズ q×r 行列
? Aの列とBの行が一致しているときABは定義可能
? ABは p×r 行列
? BAは定義できるとは限らない
? 行列の積の成分表示
q×
? A = (aij ), B = (bijとおくと，ABの i 行 j 成分は
) ?a ik × bkj
k=1
20. 行列の操作（行列式）
? 行列式 (determinant)： det A =| A |
? 例えば逆行列が存在するかの判定に用いる
? 例： （正方行列にしかdetは定義できないことに注意）
? a b ?
? A=? ÷ なら det A = ad - bc
è c d ?
? ?
? a b c ÷
? A=? d e f ÷ なら det A = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg
? g h i ÷
è ?
? 行列n×nの行列A, Bに対して
det AB = det A× det B
21. 行列の操作（転置）
? 転置（transpose）： At = AT = t A = T A
? どれも同じ意味，ここでは最初の記号を使います
? 行と列を入れ替える操作
? Aの i 行 j 列目とAの j 行 i 列目は等しい
? 例： ? 1 ?
? ÷
? A = (1 2 3)のとき， A t = ? 2 ÷
? 3 ÷
è ?
? a b ?
? ÷ ? a c e ?
? A = ? c d ÷ のとき， A t = ? ÷
? e f ÷ ? b d f ÷
è ? è ?
22. 行列の内積（形だけ）
? 行列のかけ算の例：
? x, y：n×1の列ベクトル, A：n×n行列のとき
x t Ay
はただの実数
? 正定値（今回は説明省略）のn×n行列Aがあると，そこから2つのベク
トルの（Aから決まる）間の内積 < x, y >を（ x × y とも書く）
< x, y >= xt Ay
と定義できる
