Cac dang toan lai xuat
Download as doc, pdf21 likes82,400 views
Tài liệu giải thích về các loại lãi suất ngân hàng, bao gồm lãi đơn và lãi kép, cùng với các ví dụ tính toán cụ thể cho từng phương thức. Nó cũng đề cập đến các bài toán tổng quát và thực tiễn liên quan đến gửi tiền tiết kiệm, tính cả vốn lẫn lãi, cũng như vay vốn trả góp và phân chia điều kiện làm việc. Cuối cùng, tài liệu cung cấp nhiều bài tập cụ thể để thực hành các khái niệm đã đề cập.
![Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng
tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền?
Giải:
Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m).
Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là:
a
a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m)2 -1]
[(1+m)-1]
a
= [(1+m)2 -1]
m
Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là:
a
T2= [(1+m)2 -1]
m
a
+ [(1+m)2 -1]
m
a
.m = [(1+m)2 -1]
m
(1+m)
Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn:
a (1+m) => =
n
n Ln T m m
n a
+ +
=> = -
Ln +
m
Áp dụng:
Ví dụ 2.1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi
suất hàng tháng là 0,35%. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền?
Ví dụ 2.2 Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng
thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Ví dụ 2.3: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao
nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
Ví dụ 2.4: Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe. Hỏi
người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu. Biết
lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng.
III. VAY VỐN TRẢ GÓP
Ví dụ 1:
a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng,
lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng,
3
Tn = [(1+m)n -1]
m
+ éë + n
- ùû
a T .m
(1 m) (1 m) 1
( . 1 )
1
(1 )](https://image.slidesharecdn.com/cacdangtoanlaixuat-141110224017-conversion-gate01/85/Cac-dang-toan-lai-xuat-3-320.jpg)
Cac dang toan lai xuat
- 1. LÃI XUẤT NGÂN HÀNG – TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ I.LÃI ĐƠN: Lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố định trước. Ví dụ : Khi gởi 1 000 000đ vào ngân hàng với lãi suất là 5%/năm thì sau một năm ta nhận số tiền lãi là : 1 000 000 x 5% = 50 000đ Số tiền lãi này như nhau được cộng vào hàng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn. Như vậy sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là 1 000 000 + 2 x 50 000 = 1 100 000đ Nếu gởi sau n năm thì sẽ nhận số tiền cả gốc lẫn lãi là : 1 000 000 + 50 000n đ. Kiểu tính lãi này không khuyến khích người gởi, bởi vì khi ta cần rút tiền ra. Ví dụ ta gởi 1 000 000 đ với lãi suất 5%/năm, sau 18 tháng ta vẫn chỉ được tính lãi một năm đầu và tổng số tiền rút ra chỉ là 1 000 000 + 50 000 = 1 050 000đ. Vì vậy các ngân hàng thường tính chu kỳ lãi suất ngắn hơn, có thể tính theo tháng. Nếu lãi suất %/tháng thì cuối tháng đầu chúng ta sẽ có số tiền lãi từ một triệu đồng là 1 000 000 x % = 4166 đ. Và sau một năm tổng số tiền lãi là : 4166 x 12 = 50 000 đ. Như vậy, với lãi đơn, không có sai khác gì nếu ta nhận lãi theo tròn năm hay theo từng tháng. Tuy nhiên, nếu ta rút tiền ra giữa chừng, ví dụ sau 18 tháng thì ta sẽ được số tiền lãi là 4166 x 18 = 75 000đ. Do đó tiền lãi sẽ nhiều hơn so với tính lãi theo năm. II.LÃI KÉP Sau một đơn vị thời gian lãi được gộp vào vốn và được tính lãi. Loại lãi này được gọi là lãi kép. Ví dụ : Khi gởi 1 000 000đ với lãi suất 5%/năm thì sau một năm ta vẫn nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 1 050 000đ. Toàn bộ số tiền này được gọi là gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai sẽ là : 1 050 000 + 1 050 000 x 5% = 1 102 500đ Gọi xn là số tiền nhận được cuối năm n thì với x0 = 1 000 000đ = 106 đ Sau năm thứ nhất ta nhận được : x1 = 106 + 106 x 5% = 106 (1 + 5%) = 106x 1,05 = 1 050 000đ Sau năm thứ hai ta nhận được : x2 = x1 + x1.5% = x1(1 + 5%) = x0.(1 + 5%)2 đ Sau năn thứ ba ta nhận được : x3 = x2 + x2.5% = x0.(1 + 5%)3 đ Sau năm thứ n ta nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là : xn+1 = (1 + 5%)xn = 1,05xn . Phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất xn+1 = q.xn , n = 0, 1, 2, … 2.1Bài toán tổng quát 1:: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi T sau n tháng? 1
- 2. -- Giải -- Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2 ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – 1 + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy T = a(1 + r)n(*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng. Từ công thức (*) T = a(1 + r)n ta tính được các đại lượng khác như sau: n a 1) = ln T ln(1 + r) ; 2) = n - r T 1 a a T ; (1 r )n = + Ví dụ 1.1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng. Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng? Ví dụ1.2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ. Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng? Ví dụ1.3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ. Tìm lãi suất hàng tháng? Ví dụ1.4: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương) Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng trong thời gian 10 năm với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu 5 ngân hàng trả lãi suất 12 % một tháng. Ví dụ 1.5: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải. 2.2Bài toán tổng quát2 2
- 3. Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là a (đồng). Biết lãi suất hàng tháng là m%. Hỏi sau n tháng, người ấy có bao nhiêu tiền? Giải: Cuối tháng thứ I, người đó có số tiền là: T1= a + a.m = a(1 + m). Đầu tháng thứ II, người đó có số tiền là: a a(1 + m) + a = a[(1+m)+1] = [(1+m)2 -1] [(1+m)-1] a = [(1+m)2 -1] m Cuối tháng thứ II, người đó có số tiền là: a T2= [(1+m)2 -1] m a + [(1+m)2 -1] m a .m = [(1+m)2 -1] m (1+m) Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền cả gốc lẫn lãi là Tn: a (1+m) => = n n Ln T m m n a + + => = - Ln + m Áp dụng: Ví dụ 2.1: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 USD. Biết lãi suất hàng tháng là 0,35%. Hỏi sau 1 năm, người ấy có bao nhiêu tiền? Ví dụ 2.2 Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau 10 tháng thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Ví dụ 2.3: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%? Ví dụ 2.4: Một người muốn sau 1 năm phải có số tiền là 20 triệu đồng để mua xe. Hỏi người đó phải gửi vào ngân hàng 1 khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu. Biết lãi suất tiết kiệm là 0,27% / tháng. III. VAY VỐN TRẢ GÓP Ví dụ 1: a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng, 3 Tn = [(1+m)n -1] m + éë + n - ùû a T .m (1 m) (1 m) 1 ( . 1 ) 1 (1 )
- 4. người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không? Ví dụ 2: Bố bạn Bình tặng cho bạn ấy một máy tính hiệu Thánh Gióng trị giá 5.000.000 đồng bằng cách cho bạn tiền hàng tháng với phương thức sau: Tháng đầu tiên bạn Bình được nhận 100.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng nhận được số tiền hơn tháng trước 20.000 đồng. a) Nếu chọn cách gửi tiết kiệm số tiền được nhận hàng tháng với lãi suất 0,6%/tháng, thì bạn Bình phải gửi bao nhiêu tháng mới đủ tiền mua máy vi tính ? b) Nếu bạn Bình muốn có ngay máy tính để học bằng cách chọn phương thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn Bình phải trả góp bao nhiêu tháng mới trả hết nợ ? IV: CHIA THEO TỈ LỆ Ví dụ 1: Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh , nông dân , công nhân và bộ đội . Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau ): Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc 4 giờ; Nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng; Nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; Nhóm nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng; Nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng . Cho biết : Tổng số người của bốn nhóm là 100 người . Tổng thời gian à làm việc của bốn nhóm là 488 giờ Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng . Tìm xem số người trong từng nhóm là bao nhiêu người . BÀI TẬP 1.Dạng tổng quát 1: Bài tập1.1: 4
- 5. Một người gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,5%/tháng . Hỏi sau 3 năm thì được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ? Bài tập1.2: Một người gửi vào ngân hàng số tiền 1230000đ theo phương thức tính lãi kép (hàng tháng tiền lãi được cộng vào vốn để lấy lãi cho tháng sau). Biết lãi suất ngân hàng là 0, 65%. Tính số tiền lãi người đó có được sau 12 tháng. Bài tập1.3: Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền gốc ban đầu là 200.000.000 đồng (hai trăm triệu đồng) theo kì hạn 3 tháng với mức lãi suất là 0,67% một tháng. Hỏi sau 2 năm gửi tiền thì người đó có được số tiền là bao nhiêu bao gồm cả gốc lẫn lãi (làm tròn đến đơn vị đồng). Bài tập1.4: Một người gửi vào ngân hàng một số tiền là a Đô la với lãi suất kép là m%. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người đó nhận được bao nhiêu tiền cả gốc và lãi. Áp dụng bằng số: a = 10.000 Đô la, m = 0,8%, n = 24. Bài tập 1.5 : a)B¹n An göi tiÕt kiÖm mét sè tiÒn ban ®Çu lμ 1000000 ®ång víi l·i suÊt 0,58%/th¸ng (kh«ng kú h¹n). Hái b¹n An ph¶i göi bao nhiªu th¸ng th× ®îc c¶ vèn lÉn l·i b»ng hoÆc vît qu¸ 1300000 ®ång ? b)Víi cïng sè tiÒn ban ®Çu vμ cïng sè th¸ng ®ã, nÕu b¹n An göi tiÕt kiÖm cã kú h¹n 3 th¸ng víi l·i suÊt 0,68%/th¸ng, th× b¹n An sÏ nhËn ®îc sè tiÒn c¶ vèn lÉn l·i lμ bao nhiªu ? BiÕt r»ng trong c¸c th¸ng cña kú h¹n, chØ céng thªm l·i chø kh«ng céng vèn vμ l·i th¸ng tríc ®Ó t×nh l·i th¸ng sau. HÕt mét kú h¹n, l·i sÏ ®îc céng vμo vèn ®Ó tÝnh l·i trong kú h¹n tiÕp theo (nÕu cßn göi tiÕp), nÕu cha ®Õn kú h¹n mμ rót tiÒn th× sè th¸ng d so víi kú h¹n sÏ ®îc tÝnh theo l·i suÊt kh«ng kú h¹n Bài tập1.6: Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng. a)Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. b)Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. (Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán) Bài tập1.7: 5
- 6. Sau 3 năm, một người ra ngân hàng nhận lại số tiền cả vốn lẫn lãi là 37337889,31 đồng. Biết rằng người đó gửi mức kỳ hạn 3 tháng theo lãi kép, với lãi suất 1,78% một tháng. Hỏi số tiền người ấy đã gửi vào ngân hàng lúc đầu là bao nhiêu? Bài tập 1.8: Một người gửi tiết kiệm 1000 đô trong 10 năm với lãi suất 5% một năm. Hỏi người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn nếu ngân hàng trả lãi 5 12 % một tháng ( Làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy Bài tập1 . 9: Một người gửi tiền bảo hiểm cho con từ lúc con tròn 6 tuổi, hàng tháng anh ta đều đặn gửi vào cho con 300 000 đồng với lãi suất 0,52% một tháng. Trong quá trình đó người này không rút tiền ra. Đến khi con tròn 18 tuổi số tiền đó sẽ dùng cho việc học nghề và làm vốn cho con. a) Hỏi khi đó số tiền rút ra là bao nhiêu(làm tròn đến hàng đơn vị). b) Với lãi suất và cách gửi như vậy, đến khi con tròn 18 tuổi, muốn số tiền rút ra không dưới 100 000 000 đồng thì hàng tháng phải gửi vào cùng một số tiền là bao nhiêu?(làm tròn đến hàng đơn vị). Bài tập1. 10: Một người sử dụng Máy vi tính có giá trị ban đầu là 12.000.000 đồng. Sau mỗi năm giá trị của Máy vi tính giảm 20% so với năm trước đó. a) Tính giá trị của Máy vi tính sau 5 năm. b) Tính số năm để Máy vi tính có giá trị nhỏ hơn 2.000.000 đồng. Bài tập1.11: Một người bán 1 vật giá 32000000 đồng . Ông ta ghi giá bán, định thu lợi 10% với giá trên. Tuy nhiên ông ta đã hạ giá 0,8% so với dự địn . Tìm : a) Giá đề ra b) Giábán thực tế c) Số tiền mà ông ta được lãi Điền các kết quả tính vào ô vuông : Giá đề ra là Giábán thực tế là Số tiền mà ông ta được lãi là 2.Dạng tăng trưởng dân số 6
- 7. Bài tập2.1: Dân số của một xã hiện nay là 10.000 người. Người ta dự đoán sau hai năm nữa dân số xã đó là 10404 người. a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã đó tăng bao nhiêu % ? b) Với mức tăng đó, sau 10 năm dân số của xã đó là bao nhiêu? Bài tập2.2: Dân số Huyện Ninh Hoà hiện nay có 250000 người . Người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số Huyện Ninh Hoà là 256036 người . a)Hỏi trung bình mỗi năm dân số Huyện Ninh Hoà tăng bao nhiêu phần trăm ? b) Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm như vậy, Hỏi sau 10 năm dân số Huyện Ninh Hoà là bao nhiêu ? Bài tập2.3: Theo Báo cáo của Chính phủ dân số Việt Nam tính đến tháng 12 năm 2005 là 83,12 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trung bình hàng năm là 1,33%. Hỏi dân số Việt nam vào tháng 12 năm 2010 sẽ là bao nhiêu? Bài tập2.4: Dân số của một xã hiện nay là 10.000 người. Người ta dự đoán sau hai năm nữa dân số xã đó là 10404 người. a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã đó tăng bao nhiêu % ? b) Với mức tăng đó, sau 10 năm dân số của xã đó là bao nhiêu? 3.Dạng tổng quát 2: Bài tập3.1 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất là m% một tháng. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n thì người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc và lãi. Áp dụng bằng số: a = 10.000 Đô la, m = 0,8%, n = 24. Bài tập3.2: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là 5.000 đô la với lãi suất là 0,45% tháng. Hỏi sau một năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ? Bài tập3.3: Một người muốn rằng sau 8 tháng có 50000 đô để xây nhà. Hỏi rằng người đó phải gửi vào ngân hàng mỗi tháng một số tiền (như nhau) bao nhiêu? biết lãi xuất là 0,25% 1 tháng? Bài tập3.4:Mét ngêi muèn r»ng sau mét n¨m ph¶i cã 20000 ®« la ®Ó mua nhμ. Hái ph¶i göi vμo ng©n hμng mét kho¶ng tiÒn ( nh nhau) hμng th¸ng lμ bao nhiªu, biÕt r»ng l·i suÊt tiÕt kiÖm lμ 0,27% mét th¸ng. 7
- 8. 4.Dạng toán chia theo tỷ lệ Bài tập4.1: Bốn người góp vốn buôn chung . Sau 5 năm, tổng số tiền lãi nhận được là 9902490255 đồng và được chia theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 2 : 3, tỉ lệ giữa người thứ hai và người thứ ba là 4 : 5, tỉ lệ giữa người thứ ba và người thứ tư là 6 : 7 . Trình bày cách tính và tính số lãi của mỗi người ? Bài tập4.2: Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền là 9902490255 đồng chia theo tỷ lệ như sau: Người con thứ nhất và người con thứ hai là 2: 3; Người con thứ hai và người con thứ ba là 4: 5; Người con thứ ba và người con thứ tư là 6: 7. Hỏi mỗi người con nhận được số tiền là bao nhiêu ? Bài tập4.3: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi 2 3 thùng thứ nhất ; 3 4 thùng thứ hai và 4 5 thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau. Tính số táo lúc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông : 8
- 9. 9
- 10. 10