�ݺ�ߣ

DISTRIBUSI TEORITIS
DISTRIBUSI TEORITIS
PROBABILITAS

Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita
untuk menentukan apa yang dapat kita
harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita
buat benar. Distribusi teoritis memungkinkan
para pembuat keputusan untuk memperoleh
dasar logika yang kuat di dalam keputusan,
dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan
ramalan berdasarkan informasi yang terbatas
atau pertimbangan-pertimbangan teoritis, dan
berguna pula untuk menghitung probabilitas
terjadinya suatu kejadian.

Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai
perubahan nilai suatu variabel, umumnya
mengikuti suatu distribusi teoritis tertentu dan
apabila sudah ketahuan jenis distribusinya, kita
dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai
probabilitas terjadinya kejadian tersebut.
Beberapa distribusi teoritis yang akan dibahas
dalam bab ini, antara lain Distribusi binomial,
Distribusi Poisson, Distribusi Hipergeometrik,
Distribusi Multinomial, Distribusi Normal,
Distribusi Kai-Kuadrat(Chi-Square), Distribusi F,
dan Distribusi t.

DISTRIBUSI BINOMIAL
Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli
adalah suatu distribusi teoritis yang
menggunakan variabel acak diskrit yang terdiri
dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti
sukses-gagal, baik-cacat.
Pada umumnya suatu eksperimen dapat
dikatakan eksperimen Binomial apabila
memenuhi syarat sebagai berikut.
Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:
(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan;
(b) transaksi saham: jual- beli,
(c) perkembangan suku bunga: naik–turun dll.

Setiap eksperimen mempunyai dua hasil yang
dikatagorikan menjadi “sukses” dan “gagal”.
Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal
adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang
sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.
Probabilitas sukses sama pada setiap eksperimen.
Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya
hasil eksperimen yang satu tidak mempengeruhi hasil
eksperimen lainnya.
Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

Contoh:
Suatu eksperimen Binomial, yang terdiri dari
pengambilan satu bola secara acak dari kotak
yang berisi 30 bola merah(= 30M) dan 70
bola putih(= 70P). Y adalah variabel acak
dengan nilai sebagai berikut.




terambil
yang
putih
bola
kalau
0,
terambil
yang
merah
bola
kalau
1,
Y

P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah
(sukses)
= = 0,30
P(P) = q = probabilitas untuk mendapat bola putih
(gagal)
= = 0,70
E(Y) = 1(p) + 0(q)
= 1(0,3) + 0(0,7)
= 0,3
100
30
100
30
100
30
100
70

Bila dilakukan eksperimen empat kali. Pengambilan bola
Dilakukan dengan pengembalian bola yang terambil. Hal
ini untuk menjaga agar eksperimen yang satu tidak
mempengaruhi hasil eksperimen yang lain. Eksperimen
ini akan menghasilkan 24 = 16 hasil sebagai berikut.
1. MMMM 9. PMMM
2. MMMP 10. PMMP
3. MMPM 11. PMPM
4. MMPP12. PMPP
5. MPMM 13. PPMM
6. MPMP14. PPMP
7. MPPM15. PPPM
8. MPPP 16. PPPP

Masing-masing hasil eksperimen terdiri dari empat kejadian
yang bebas satu sama lain, sehingga probabilitas terjadinya
setiap hasil eksperimen merupakan hasil kali probabilitas
masing-masing kejadian, misalnya P(MMPM) = ppqp = (0,3)
(0,3)(0,7)(0,3) = 0,0189.
Aturan perkalian untuk kejadian-kejadian bebas dan aturan
penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling
meniadakan, yang sudah dibahas sebelumnya dapat
diterapkan di sini dan perhitungannya adalah.
P(3M dan 1P) = P(MMMP) + P(MMPM) + P(MPMM)
+ P(PMMM)
= (0,3)(0,3)(0,3)(0,7) +(0,3)((0,3)(0,7)(0,3) +
(0,3)(0,7)(0,3)(0,3) + (0,7)(0,3)(0,3)(0,3)
= 0,0756

Tanpa memperhatikan urutan dari masing-masing
kejadian, setiap suku dalam penjumlahan tersebut
mempunyai probabilitas sebesar pppq = p3
q.
Dengan cara yang sederhana ini, kita dapat
menghitung probabilitas untuk mendapatkan
sejumlah bola merah tertentu sebagai hasil
eksperimen.
Dapat ditunjukkan bahwa apabila eksperimen
dilakukan sebanyak 4 kali, maka.
X = 0, 1, 2, 3, 4
Sedangkan untuk n kali.
X = 0, 1, 2, …, n.
Apabila semua nilai probabilitas X sebagai hasil
suatu eksperimen kita hitung, akan kita peroleh
distribusi probabilitas X dan disebut distribusi
probabilitas Binomial.

P(X = 0) = P(PPPP) = (0,7)(0,7)(0,7)(0,7) = (0,7)4
= 0,2401
P(X = 1) = pq3
+ qpq2
+ q2
pq + q3
p
= (0,3)(0,7)3
+ (0,7)(0,3)(0,7)2
+ (0,7)2
(0,3)(0,7) +
(0,7)3
(0,3)
= 0,4116
P(X = 2) = p2
q2
+ pqpq + pq2
p + qp2
q + qpqp + q2
p2
= (0,3)2
(0,7)2
+ (0,3)(0,7)(0,3)(0,7) +
(0,3)(0,7)2
(0,3) + (0,7)(0,3)2
(0,7) +
(0,7)(0,3)(0,7)(0,3) + (0,7)2
(0,3)2
= 0,2646
P(X = 3) = p3
q + p2
qp + pqp2
+ qp3
= (03)3
(0,7) + (0,3)2
(0,7)(0,3) + (0,3)(0,7)(0,3)2
+
(0,7)(0,3)3
= 0,0756
P(X = 4) = P(MMMM) = p4
= (0,3)4
= 0,0081

Dari contoh soal diatas, dapat disimpulkan bahwa
dalam dalam distribusi probabilitas binomial,
dengan n percobaan, berlaku rumus berikut.
Pr(x sukses, dalam n percobaan) = px
qn-x
Dimana x = 0, 1, 2, 3, …, n
p = probabilitas sukses.
q = (1-p) = probabilitas gagal

Aturan umum permutasi dapat digunakan untuk
memperoleh banyaknya kemungkinan urutan yang
berbeda, dimana masing-masing urutan terdapat x
sukses, misalnya x = 3 (= 3 sukses) : MMMP,
MMPM, MPMM, PMMM.
Apabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen
dibagi dua, yaitu x sukses dan (n – x) gagal, maka
banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil x
setiap kali dapat dihitung berdasarkan rumus
kombinasi berikut.
  x
C
n
!
x
n
x!
!
n
x
n
n,
P
n 


 






disebut koefisien Binomial(merupakan kombinasi dari n
elemen yang diambil x setiap kali)
Masing-masing probabilitas pada distribusi Binomial
dihitung sebagai berikut.
pr(x) dari rumus diatas, merupakan fungsi probabilitas,
karena.
a). pr(x)  0, untuk semua x, sebab  0 dan
px
qn-x
 0
b). = 1, untuk semua x.
 
 
x
n
q
x
p
!
x
n
x!
!
n
x
r
p 


 !
x
n
x!
!
n

 

x
x
r
p

Contoh :
Seorang penjual mengatakan bahwa di antara
seluruh barang dagangannya yang dibungkus
rapi, ada yang rusak sebanyak 20%. Seorang
membeli barang tersebut sebanyak 8 buah dan
dipilihnya secara acak. Kalau X = banyaknya
barang tidak rusak(bagus) maka.
a). Hitung semua probabilitas untuk memperoleh X.
b). Buat probabilitas kumulatif.
c). Berapa probabilitasnya bahwa dari 8 buah
barang yang
dibeli, ada 5 yang rusak.
d). P(X ≤ 5), P(2 ≤ X  5), P(X ≤ 8), P(X  4).

Penyelesaian :
a). Probabilitas untuk memperoleh X.
pr(X = 0) =
pr(X = 1) =
pr(X = 2) =
pr(X = 3) =
pr(X = 4) =
pr(X = 5) =
pr(X = 6) =
pr(X = 7) =
pr(X = 8) =
 
    0000
,
0
8
2
,
0
0
8
,
0
!
0
8
!
0
!
8


 
    0001
,
0
7
2
,
0
1
8
,
0
!
1
8
!
1
!
8


 
    0011
,
0
6
2
,
0
2
8
,
0
!
2
8
!
2
!
8


 
    0092
,
0
5
2
,
0
3
8
,
0
!
3
8
!
3
!
8


 
    0459
,
0
4
2
,
0
4
8
,
0
!
4
8
!
4
!
8


 
    1468
,
0
3
2
,
0
5
8
,
0
!
5
8
!
5
!
8


 
    2936
,
0
2
2
,
0
6
8
,
0
!
6
8
!
6
!
8


 
    3355
,
0
1
2
,
0
7
8
,
0
!
7
8
!
7
!
8


      1678
,
0
0
2
,
0
8
8
,
0
!
8
8
!
8
!
8 


b). Probabilitas Kumulatif.
P(X ≤ 0) = 0,0000
P(X ≤ 1) = 0,0000 + 0,0001 = 0,0001
P(X ≤ 2) = 0,0001 + 0,0011 = 0,0012
P(X ≤ 3) = 0,0011 + 0,0092 = 0,0104
P(X ≤ 4) = 0,0104 + 0,0459 = 0,0563
P(X ≤ 5) = 0,0563 + 0,1468 = 0,2031
P(X ≤ 6) = 0,2031 + 0,2936 = 0,4967
P(X ≤ 7) = 0,4967 + 0,3355 = 0,8322
P(X ≤ 8) = 0,8322 + 0,1678 = 1,0000
c). 5 rusak, berarti x = 3
P(X = 3) = 0,0092 (lihat jawaban a)
d). P(X ≤ 5) = 0,2031 (lihat jawaban b)

P(2 ≤ X  5) = pr(X = 2) + pr(X = 3) + pr(X = 4)
= 0,0011 + 0,0092 + 0,0459 = 0,563
P(X ≤ 8) = 1 (lihat jawaban b)
P(X  4) = pr(X = 4) + pr(X = 5) + pr(X = 6) +
pr(X = 7) + pr(X = 8)
= 0,0459 + 0,1468 + 0,2936 + 0,3355 +
0,1678 = 0,9896

Apabila nilai n makin besar, perhitungan
probabilitas Binomial dalam prakteknya harus
digunakan tabel Binomial.
Dalam tabel tersebut, n = 16, dan p = (0,05), (0,10),
(0,15), …, (0,50). Apabila p > 0,50, maka
persoalannya harus dibalik, yaitu menjadi x gagal
dan (n – x) sukses. Dengan demikian, peranan p
bukan lagi menjadi probabilitas sukses melainkan
probabilitas gagal. Untuk n yang cukup besar dapat
digunakan tabel normal.

Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial
Kita mengetahui bahwa untuk mencari rata-rata () kita
menggunakan rumus.
µ = E(X) =
dimana x = 1, 2, 3, …, n.
Perhatikan bahwa X =  Yi = Y1 + Y2 + …+ Yn
Di mana Yi
 

x
r x
xp
 
 


x
x
n
x
q
p
x
n
x
n
x
!
!
!









q
p
p
gagal
p
sehingga
gagal
kalau
p
p
sukses
p
sehingga
sukses
kalau
1
)
0
(
)
(
,
"
"
,
0
)
1
(
)
(
,
"
"
,
1

E(Yi) = 1(p) + 0(1 – p) = p + 0 = p, untuk semua i
E(X) = E(Yi) = E(Yi) = E(Y1) + E(Y2) + …+ E(Yn)
=
= np
Jadi rata-rata dari distribusi binomial adalah np
Sedangkan untuk menentukan varians dari distribusi
binomial, kita menggunakan rumus.
Var(X) = E{X – E(X)}2
= E(X – np)2
=  (x – np)2
p(x)

 

 

kali
n
p
p
p 

 ....

Var(Y) = E{X – E(Y)}2
= E(Y – p)2
=  (x – p)2
p(y)
= (1 – p)2
(p) + (0 – p)2
(1 – p)
= (1 – p)2
p + p2
(1 – p)
= p(1 – p) (1 – p + p)
= p(1 – p)
= pq
Var(X) = Var(Yi)
=  Var(Yi)
= V(Y1) + V(Y2) + …+ V(Yn)
=
= npq
jadi varians dari distribusi binomial adalah npq.


 


 

kali
n
pq
pq
pq 

 ...

Dengan demikain, dapat disimpulkan bahwa
untuk variabel X yang mengikuti distribusi
binomial berlaku rumus berikut.
 = E(X) = np
2
= E[X – E(X)}2
= E(X – np)2
= npq
 = npq

Contoh :
Suatu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas
sebanyak 4 kali, dimana probabilitas munculnya gambar
p(B) sama dengan probabilitas munculnya gambar bukan
burung p() = . Jika X = banyaknya gambar burung (B) yang
muncul, carilah nilai rata-rata {E(X)} dan simpangan
bakunya () dengan menggunakan cara :
a). Perhitungan secara langsung.
b). Dengan menggunakan rumus E(X) = np,  =
Penyelesaian :
a). 2
= E{X – E(X)}2
E(X) =  xpr(x)
E(X) = (0)( + (1) + (2) + (3) + (4)
= (0)(0,0625) + (1)(0,25) + (2)(0,3570) + (3)(0,25)
+
(4)(0,0625)
= 1,964  2
npq

Di dalam 4 kali lemparan, diharapkan secara rata-rata memperoleh 2B.
Var(X) = 2
= E(X – 2)2
=  (x – 2)2
pr(x)
= (0 - 2)2
( + (1 - 2)2
+ (2 - 2)2
+ (3 - 2)2
+
(4 - 2)2
= (4)(0,0625) + (1)(0,25) + (0)(0,3570) + (1)(0,25)
+ (4)(0,0625)
= 1
 = = 1
b). E(X) = np = 4 = 2
2
= npq = 4 = 1
 = = 1
1
1

DISTRIBUSI POISSON.
Distribusi poisson adalah pengembangan dari
distribusi binomial yang mampu mengkakulasikan
distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses
(p) sangat kecil dan jumlah eksperimen (n) sangat
besar.
Karena distribusi poisson biasanya melibatkan
jumlah n yang besar, dengan p kecil, distribusi ini
biasanya digunakan untuk menghitung nilai
probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang
waktu dan daerah tertentu.

Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu
interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak tergantung
pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada
interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
2. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu
interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang
kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau
besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval
waktu atau daerah tersebut.
3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi
dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah
yang kecil dapat diabaikan.

Rumus untuk menyelesaikan distribusi Poisson adalah
sebagai berikut.
Pr(x) =
Dimana  = rata-rata distribusi
= 0, 1, 2, 3, …(menuju tak hingga)
e = konstanta 2,71828
!
x
e
x 
 

Contoh:
Seorang yang akan menjual mobil mewahnya
memasang iklan pada suatu surat kabar yang dapat
mencapai 100.000 pembaca. Dengan anggapan nilai
probabilitas bahwa seorang yang membaca iklan
tersebut berminat akan membeli mobilnya sebesar p
= 1/50.000. Jika dari 100.000 pembaca ada dua
orang yang berminat membeli mobil tersebut (p =
0,00002) dan X = banyaknya pembaca yang
berminat pada mobil tersebut, berapakah P(X = 0),
P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4), ,,,,?

Persoalan ini sebetulnya dapat dipecahkan dengan
menggunakan fungsi Binomial, karena persoalannya
hanya mencari probabilitas x “sukses” dari n =
100.000 eksperimen dimana probabilitas sukses p =
1/50.000. Akan tetapi karena n terlalu besar dan p
terlalu kecil, fungsi Poisson dapat digunakan
sebagai suatu pendekatan yang lebih sederhana.
Apabila  = rata-rata distribusi = E(X) = np =
= 2,
(secara rata-rata dapat diharapkan dua orang
pembaca yang menanyakan keadaan mobil), maka
setelah dilakukan perhitungan, kita akan
memperoleh sebagai berikut.
000
.
50
000
.
100

Pr(X = 0) = = 0,1353
Pr(X = 1) = = 0,2707
Pr(X = 2) = = 0,2707
Pr(X = 3) = = 0,1804
Pr(X = 4) = = 0,0902
Pr(X = 5) = = 0,0361
Pr(X = 6) = = 0,0120
Pr(X = 7) = = 0,0034
Pr(X = 8) = = 0,0009
Pr(X = 9) = = 0,0002
!
0
2 2
0 
e
!
1
2 2
1 
e
!
2
2 2
2 
e
!
3
2 2
3 
e
!
4
2 2
4 
e
!
5
2 2
5 
e
!
6
2 2
6 
e
!
7
2 2
7 
e
!
8
2 2
8 
e
!
9
2 2
9 
e

Perhitungan ini dapat juga dilihat pada tabel Poisson,
dimana x = 0, 1, 2, …, 9. Misalnya kita ingin melihat
distribusi probabilitas bahwa 5 orang pembaca berminat
pada mobil tersebut (p(5) dengan  atau rata-rata distribusi
= 2, perhatikan potongan tabel Poisson berikut.
x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0 0,3679 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025
1 0,3679 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149
2 0,1839 0,2707 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446
3 0,0613 0,1804 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892
4 0,0153 0,0902 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339
5 0,0031 0,0361 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606
6 0,0005 0,0120 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606

Perhatikan kolom 2, dengan  = 2,0, telusuri
ke bawah sampai ke baris x = 5. Disana kita
akan menemukan angka 0,0361. Artinya
probabilitas 5 orang berminat dari 100.000
pembaca adalah 0,0361, probabilitas 6 orang
berminat adalah 0,0120, dan seterusnya.
Distribusi Poisson juga dapat digunakan
untuk menghitung probabilitas dari x
“sukses” dalam n eksperimen, yang terjadi
dalam satuan luas tertentu, satuan isi tertentu,
interval waktu tertentu, atau satuan panjang
tertentu.

Contoh :
Seorang pemilik pabrik rokok akan melakukan
promasi penjualan rokok merk A dengan iklan
khusus. Di antara 1.000 batang rokok terdapat 5
batang yang diberi tulisan “berhadia” dan dicampur
secara acak dengan rokok lainnya. Setiap pembeli
rokok merk A yang memperoleh batang rokok
dengan tulisan “berhadia” akan mendapatkan
hadiah yang menarik.
Apabila X menyatakan banyaknya batang rokok
yang terdapat tulisan “berhadiah” dari satu bungkus
rokok merk A yang setiap bungkusnya berisi 20
batang, berapakah P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2),
P(X = 3), P(X = 4) ?

Penyelesaian :
n = 20 = banyaknya batang rokok per bungkus sebagai
sampel acak.
P(batang rokok “berhadiah”) = p(sukses) = p = 5/1000 =
0,005.
 = np = 20(0,005) = 0,1
Dari tabel Poisson kita peroleh.
x 0 1 2 3 4
Pr(x) 0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,0000
Probabilitas untuk mendapatkan 4 batang “berhadiah” =
0,0000 (tidak mungkin), sedangkan mendapatkan 1
batang “berhadiah” = 0,0905 (9%)

Contoh :
Seorang Kepala Bagian Kredit dari suatu Bank
beranggapan bahwa 4% dari para nasabahnya
merasa tidak puas dengan pelayanan bank tersebut.
Kemudian 50 orang nasabah dipilih secara acak. X
= banyaknya nasabah yang tidak puas.
Hitung pr(x), untuk x = 0, 1, 2,…,9 dan hitung
distribusi kumulatif F(x) = P(X ≤ x).
Penyelesaian :
n = 50
p = 4% = 0,04
 = np = 50(0,04) = 2

Pr(0) = = 0,1353
Pr(1) = = 0,2707
Pr(2) = = 0,2707
Pr(3) = = 0,1804
Pr(4) = = 0,0902
Pr(5) = = 0,0361
Pr(6) = = 0,0120
Pr(7) = = 0,0034
Pr(8) = = 0,0009
Pr(9) = = 0,0002
!
0
2 2
0 
e
!
1
2 2
1 
e
!
2
2 2
2 
e
!
3
2 2
3 
e
!
4
2 2
4 
e
!
5
2 2
5 
e
!
6
2 2
6 
e
!
7
2 2
7 
e
!
8
2 2
8 
e
!
9
2 2
9 
e

Distribusi Kumulatif F(x).
P(X ≤ 0) = 0,1353
P(X ≤ 1) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060
P(X ≤ 2) = 0,4060 + 0,2707 = 0,6767
P(X ≤ 3) = 0,6767 + 0,1804 = 0,8571
P(X ≤ 4) = 0,8571 + 0,0902 = 0,9473
P(X ≤ 5) = 0,9473 + 0,0361 = 0,9834
P(X ≤ 6) = 0,9834 + 0,0120 = 0,9954
P(X ≤ 7) = 0,9954 + 0,0034 = 0,9988
P(X ≤ 8) = 0,9988 + 0,0009 = 0,9997
P(X ≤ 9) = 0,9997 + 0,0002 = 0,9999

Pr(x) = , x = 0, 1, 2, …
Merupakan fungsi probabilitas, sebab
memenuhi syarat berikut:
1. pr(x)  0, sebab ≥ 0
2. pr(x) = 1, untuk seluruh x.
!
x
e
x 
 
!
x
e
x 
 

Rata-rata dan Varians, Distribusi Poisson
Dapat dibuktikan bahwa untuk distribusi Poisson,
dimana :
x = jumlah kejadian sukses
p = probabilitas terjadinya x
 = rata-rata distribusi
e = konstanta Naperian (2,71828)
    
 


 





 0
0 !
X
E
x
x
x
r
x
e
x
x
xp
    












 !
-
X
E
0
2
2
2
x
e
x
x
x

 

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan
distribusi binomial. Perbedaan antara distribusi
hipergeometrik dengan binomial adalah bahwa pada
distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat
independent. Artinya antara percobaan yang satu dengan
yang lainnya saling berkait. Selain itu probabilitas
“SUKSES” berubah(tidak sama) dari percobaan yang satu
ke percobaan lainnya.
Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sample n,
kita harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam
populasi, dan n – x gagal dari N – r gagal. Sehingga fungsi
probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut.

dimana :
p(x) = probabilitas x sukses (atau jumlah sukses sebanyak x)
dalam n percobaan.
n = jumlah percobaan
N = Jumlah elemen dalam populasi
r = jumlah elemen dalam populasi berlabel “SUKSES”
x = Jumlah elemen berlabel “SUKSES” diantara n elemen
percobaan.
  r
x
C
C
C
x
p
n
N
x
n
r
N
x
r


 

0
,

Terdapat dua persyaratan yang harus dipenuhi oleh sebuah distribusi
Hipergeometrik:
Percobaan diambil dari suatu populasi yang terbatas, dan percobaan
dilakukan tanpa pengembalian.
Ukuran sampel n harus lebih besar dari 5% dari populasi N.
Dari rumus diatas, perhatikan bahwa
 !
!
!
x
r
x
r
Cx
r


 
  !
!
x
n
r
N
x
n
r
N
C x
n
r
N








 !
!
!
n
N
n
N
Cn
N



Contoh :
Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, dimana
3 adalah wanita dan 2 laki-laki. Misalkan 2 orang
dari 5 orang anggota komite tersebut dipilih untuk
mewakili delegasi dalam sebuah
konvensi/pertemuan,
Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara
acak didapat 2 orang wanita?
Berapa probabilitas dari 2 orang yang terpilih
adalah 1 laki-laki dan 1 wanita?
Penyelesaian :
Kita dapat menggunakan distribusi hipergeometrik
dalam kasus ini, dengan n = 2, N = 5, r = 3 dan x =
2, x = jumlah wanita terpilih.

Jadi probabilitas 2 orang wanita terpilih
adalah 0,3
Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan
1 laki-laki = 0,6
3
,
0
10
3
!
3
!
2
!
5
!
0
!
2
!
2
!
1
!
2
!
3
)
2
(
)
(
2
5
0
2
2
3




























C
C
C
p
i
6
,
0
10
6
10
2
.
3
!
3
!
2
!
5
!
1
!
1
!
2
!
2
!
1
!
3
)
1
(
)
(
2
5
1
2
1
3





























C
C
C
p
ii

DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Kalau pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan
hanya dikatagorikan 2 macam yaitu “sukses” dan “gagal”,
maka dalam distribusi multinomial, sebuah percobaan akan
menghasilkan beberapa kejadian (lebih dari 2) yang saling
meniadakan/saling lepas. Misalkan ada sebanyak k kejadian
dalam sebuah percobaan, katakana kejadian-kejadian B1, B2,
…, Bk. Jika percobaan diulang sebanyak n kali dan peluang
terjadinya setiap kejadian B konstan/tetap dari setiap
percobaan dengan P(Bi) = Pi untuk i = 1, 2, 3, …, k, dan X1,
X2, X3, …Xk menyatakan jumlah terjadinya kejadian Bi ( i =
1, 2, …, k dalam n percobaan.

Fungsi Distribusi Multinomial
untuk nilai-nilai.
X1 = 0, 1, 2, …; Xk = 0, 1, 2, … dan
Dimana.
X1, X2, ……, Xk menyatakan jumlah dari
kejadian B1, B2, ….…Bk
n menyatakan jumlah percobaan.
p1, p2, ..,pk adalah probabilitas terjadinya
kejadian B1, B2, ….Bk
  k
x
k
x
x
x
k
k p
p
p
p
x
x
x
x
n
x
x
x
x
p .....
!
!.........
!
!
!
,.......,
,
, 3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1 






n
x
k
i
i 


1

Contoh :
Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik
melibatkan banyak buruh dan proses tersebut terjadi
berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir
yang dilakukan telah memperlihatkan bahwa 85%
produksinya adalah “baik”, 10% ternyata “tidak
baik tetapi masih bias diperbaiki” dan 5%
produksinya “rusak dan harus dibuang”. Jika
sebuah sample acak dengan 20 unit dipilih, berapa
peluang jumlah unit “baik” sebanyak 18, unit “tidak
baik tetapi bisa diperbaiki” sebanyak 2 dan unit
“rusak” tidak ada?

Penyelesaian :
Misalkan,
X1 = banyaknya unit “baik”
X2 = banyaknya unit yang “tidak baik tetapi bias diperbaiki”
X3 = banyaknya unit yang “rusak dan harus dibuang”
X1 = 18, X2 = 2, dan X3 = 0 (syarat x1 + x2 + x3 = n = 20)
dan p1 = 0,85, p2 = 0,1 dan p3 = 0,05 maka :
= 190 (0,85)18 (0,01)
= 0,102
Jadi peluangnya sebesar 0,102.
       0
2
18
05
,
0
1
,
0
85
,
0
!
0
!
2
!
18
!
20
0
,
2
,
18 






p

�ݺ�ߣ

Distribusi Teoritis (Probabilitas, Permutasi, Kombinasi)

Recommended

More Related Content

Similar to Distribusi Teoritis (Probabilitas, Permutasi, Kombinasi) (20)

More from SuharnoUsman1 (17)

Recently uploaded (8)

Distribusi Teoritis (Probabilitas, Permutasi, Kombinasi)