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对于对称的问题 点对于点对称 点对于直线对称 直线对于点对称 直线对于直线对称
点对于点对称 一、点对于点对称 1 、求点 A ( 2 , 3 )对于坐标原点的对称点 的坐标 ——————。 2 、求点 A ( 2 , 3 )对于点 B ( -1 , 1 )的对 称点的坐标 ————。 (-2 , -3 ) ( -4 , -1 ) 3 、求点 A ( 2 , 3 )对于任意一点 B ( a,b ) 的对称点的坐标 ________  。 ( 2a-2,2b-3)
点对于特殊直线的对称点 二、点对于直线对称 1 、求点 A ( 3 , 2 )对于下列直线对称点的坐标: ( 1)   Y =  0  (2)   X =  0  (3)  Y =  X  (4)  Y = - X . (3,-2) . (-3,2) . (2,3) . (-2,-3) X Y 0 Y =X Y=-X . (3,2)
点对于任意直线的对称点 2 、求点 A ( 3 , 2 )对于直 2X+Y+2=0 的对称点的坐标 . (a,b) 解:设所求点的坐标  为( a,b), 则 解得  a = -5,b = -2. X Y 0 . (3,2) 2X+Y+2=0 2 b-2 a-3 = 2 1 2 a+3 + b+2 2 +2=0
三 、直线对于点对称 1 、求直线 X-Y+2=0 对于点 (1,-1) 对称的直线 L 的方程 解法一  (转移点法 )   . P:(x,y ) . (2-x,-2-y) 解:在 L 上任取点 P ,求出 P 点对于 (1,-1) 的对称点 (2-x,-2-y) ,代入  X-Y+2=0  得所求方程为 X-Y-6=0 0 X Y X-Y+2=0 . ( 1,-1)
另解 解法二: . (待定系数法) 解:设所求方程为  X-Y+C=0 ,求出 ( 0 , 2 )点对于  ( 1 , -1 )的对称点代入所设得  C=-6 ,则方程可求 解法三:  也可求出( 0 , 2 )和( -2 , 0 )的对称点利用两点式写出方程 ( 2 , -4 ) 0 x y X-Y+2=0 . (1,-1) . 2 -2
四、直线对于直线对称 四、直线对于直线对称 1 、求直线  2X-Y+1=0  对于直线  (1)  Y=0  (2)  X=0  (3)  Y=X  (4)  Y=-X  对称的直线方程 。 解: (转移点法) ( 1 ) ( X , -Y  ) ( 2 ) ( -X , Y ) ( 3 ) ( Y , X )  ( 4 ) ( -Y , -X ) 2X-Y+1=0 代入 2X+Y+1=0 2X+Y-1=0 2Y-X+1=0 X-2Y+1=0 所求
2 、求直线  X-2Y-1=0 对于直线 ( 1 ) Y=X+1 ( 2 ) Y= - X+1 对称的直线的方程 。 解 :  同上 , 由转移点法 得 ,(1) Y-2X-4=0  (2) 2X-Y-2=0 小结:以上两例相当于由方程 (1),(2) (斜率仅限 ±1 )里直接解出 X 、 Y ,再代入已知直线方程即可。
法一: (  转移点法 ) 解得 法二:由 θ 1 = θ 2  可得 由点斜式可求直线方程为  5 Y+2X-1=0  。 3 、求直线 X-2Y+1=0 对于直线 Y=2X+1 对  称的直线方程 X Y 0 X-2Y+1=0 Y=2X+1 θ 1 θ 2 k=- 5 2 又 X-2Y+1=0 Y=2X+1 k-k 1 1+k.k 1 = k 1  - k 2 1+k 1 .k 2 得交点 (- 3 1 3 1 ) ,
小结 ( 1 ) 对于对称的问题最基本的是点对于点对称和点对于线对称 ( 2 ) 解决问题的通法是转移点法 ( 3 ) 也可用待定系数法及两直线所成的角的公式来解决

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  • 1. 对于对称的问题 点对于点对称 点对于直线对称 直线对于点对称 直线对于直线对称
  • 2. 点对于点对称 一、点对于点对称 1 、求点 A ( 2 , 3 )对于坐标原点的对称点 的坐标 ——————。 2 、求点 A ( 2 , 3 )对于点 B ( -1 , 1 )的对 称点的坐标 ————。 (-2 , -3 ) ( -4 , -1 ) 3 、求点 A ( 2 , 3 )对于任意一点 B ( a,b ) 的对称点的坐标 ________ 。 ( 2a-2,2b-3)
  • 3. 点对于特殊直线的对称点 二、点对于直线对称 1 、求点 A ( 3 , 2 )对于下列直线对称点的坐标: ( 1) Y = 0 (2) X = 0 (3) Y = X (4) Y = - X . (3,-2) . (-3,2) . (2,3) . (-2,-3) X Y 0 Y =X Y=-X . (3,2)
  • 4. 点对于任意直线的对称点 2 、求点 A ( 3 , 2 )对于直 2X+Y+2=0 的对称点的坐标 . (a,b) 解:设所求点的坐标  为( a,b), 则 解得 a = -5,b = -2. X Y 0 . (3,2) 2X+Y+2=0 2 b-2 a-3 = 2 1 2 a+3 + b+2 2 +2=0
  • 5. 三 、直线对于点对称 1 、求直线 X-Y+2=0 对于点 (1,-1) 对称的直线 L 的方程 解法一 (转移点法 ) . P:(x,y ) . (2-x,-2-y) 解:在 L 上任取点 P ,求出 P 点对于 (1,-1) 的对称点 (2-x,-2-y) ,代入 X-Y+2=0 得所求方程为 X-Y-6=0 0 X Y X-Y+2=0 . ( 1,-1)
  • 6. 另解 解法二: . (待定系数法) 解:设所求方程为 X-Y+C=0 ,求出 ( 0 , 2 )点对于 ( 1 , -1 )的对称点代入所设得 C=-6 ,则方程可求 解法三: 也可求出( 0 , 2 )和( -2 , 0 )的对称点利用两点式写出方程 ( 2 , -4 ) 0 x y X-Y+2=0 . (1,-1) . 2 -2
  • 7. 四、直线对于直线对称 四、直线对于直线对称 1 、求直线 2X-Y+1=0 对于直线 (1) Y=0 (2) X=0 (3) Y=X (4) Y=-X 对称的直线方程 。 解: (转移点法) ( 1 ) ( X , -Y ) ( 2 ) ( -X , Y ) ( 3 ) ( Y , X ) ( 4 ) ( -Y , -X ) 2X-Y+1=0 代入 2X+Y+1=0 2X+Y-1=0 2Y-X+1=0 X-2Y+1=0 所求
  • 8. 2 、求直线 X-2Y-1=0 对于直线 ( 1 ) Y=X+1 ( 2 ) Y= - X+1 对称的直线的方程 。 解 : 同上 , 由转移点法 得 ,(1) Y-2X-4=0 (2) 2X-Y-2=0 小结:以上两例相当于由方程 (1),(2) (斜率仅限 ±1 )里直接解出 X 、 Y ,再代入已知直线方程即可。
  • 9. 法一: ( 转移点法 ) 解得 法二:由 θ 1 = θ 2 可得 由点斜式可求直线方程为 5 Y+2X-1=0 。 3 、求直线 X-2Y+1=0 对于直线 Y=2X+1 对 称的直线方程 X Y 0 X-2Y+1=0 Y=2X+1 θ 1 θ 2 k=- 5 2 又 X-2Y+1=0 Y=2X+1 k-k 1 1+k.k 1 = k 1 - k 2 1+k 1 .k 2 得交点 (- 3 1 3 1 ) ,
  • 10. 小结 ( 1 ) 对于对称的问题最基本的是点对于点对称和点对于线对称 ( 2 ) 解决问题的通法是转移点法 ( 3 ) 也可用待定系数法及两直线所成的角的公式来解决