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Matematika SMA : Integral Page 1
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 = 𝐬𝐢𝐧( 𝒂 + 𝒃) + 𝐬𝐢𝐧( 𝒂 − 𝒃)
𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒃 = 𝐬𝐢𝐧( 𝒂 + 𝒃) − 𝐬𝐢𝐧( 𝒂 − 𝒃)
𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒃 = 𝐜𝐨𝐬( 𝒂 + 𝒃) + 𝐜𝐨𝐬( 𝒂 − 𝒃)
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒃 = 𝐜𝐨𝐬( 𝒂 − 𝒃) − 𝐜𝐨𝐬( 𝒂 + 𝒃)
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus Dasar:
 ∫ sin( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
 ∫ cos( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
sin( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
 ∫ sec2( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
tan( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
 ∫ cosec2( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cotan( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
 ∫ sec( 𝑎𝑥 + 𝑏)tan( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
sec( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
 ∫ cosec( 𝑎𝑥 + 𝑏) cotan( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cosec( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶
Contoh
1. ∫ sin(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = −
1
3
cos(3𝑥 + 2) + 𝐶
2. ∫ sec4𝑥 tan4𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
sec 4𝑥 + 𝐶
3. ∫ 2cos3𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sin 4𝑥 − sin 2𝑥) 𝑑𝑥
= −
1
4
cos4𝑥 − (−
1
2
cos 2𝑥) + 𝐶
=
1
2
cos2𝑥 −
1
4
cos4𝑥 + 𝐶
4. ∫ sin5
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Dengan menggunakan teknik substitusi, maka
Misal 𝑢 = sin 𝑥
𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥
∫ sin5
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢5
𝑑𝑢 =
1
6
𝑢6
+ 𝐶 =
1
6
sin6
𝑥 + 𝐶
5.
∫ sin 6𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= [−
1
6
cos6𝑥]
0
𝜋
= (−
1
6
cos6𝜋) − (−
1
6
cos0)
= (−
1
6
∙ 1) − (−
1
6
∙ 1)
= 0

 Jika 𝑛 genap, maka :
 Jika 𝑛 ganjil, maka :
Contoh
∫ sin3
𝑥 𝑑𝑥
Jawab
Karena 𝑛 = 3, maka sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥 dan 𝑢 = cos 𝑥
∫ sin3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑥 sin2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫sin 𝑥 (1 − cos2
𝑥) 𝑑𝑥
= ∫(sin 𝑥 − sin 𝑥 cos2
𝑥) 𝑑𝑥
= −cos 𝑥 − ∫ sin 𝑥 cos2
𝑥 𝑑𝑥
Jika 𝑢 = cos 𝑥 maka 𝑑𝑢 = −sin 𝑥 𝑑𝑥
∫ sin3
𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 − ∫ −𝑢2
𝑑𝑢
= −cos 𝑥 +
1
3
𝑢3
+ 𝐶
= −cos 𝑥 +
1
3
cos3
𝑥 + 𝐶
Contoh
∫ cos4
𝑥 𝑑𝑥
Jawab
Karena 𝑛 = 4, maka cos2
𝑥 =
1
2
(1 + cos2𝑥)
∫ cos4
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos2
𝑥)2
𝑑𝑥
= ∫(
1
2
(1 + cos2𝑥))
2
𝑑𝑥
= ∫
1
4
(1 + 2 cos2𝑥 + cos2
2𝑥) 𝑑𝑥
∫sin 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 , ∫cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥
sin2
𝑥 =
1
2
(1 − cos2𝑥)
cos2
𝑥 =
1
2
(1 + cos 2𝑥)
sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥 , 𝑢 = cos 𝑥
cos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥 , 𝑢 = sin 𝑥

= ∫
1
4
(1 + 2cos2𝑥 +
1
2
(1 + cos4𝑥)) 𝑑𝑥
= ∫
1
4
(1 + 2 cos2𝑥 +
1
2
+
1
2
cos 4𝑥) 𝑑𝑥
= ∫
1
4
(
3
2
+ 2 cos2𝑥 +
1
2
cos4𝑥) 𝑑𝑥
=
1
4
(
3
2
𝑥 + 2 ∙
1
2
sin 2𝑥 +
1
2
∙
1
4
cos4𝑥) + 𝐶
=
3
8
𝑥 +
1
4
sin 2𝑥 +
1
32
cos4𝑥 + 𝐶
 Jika 𝑚, 𝑛 keduanya genap genap, maka :
 Jika 𝑚 ganjil, maka :
 Jika 𝑛 ganjil, maka :
Contoh
∫ sin4
𝑥 cos5
𝑥 𝑑𝑥
Jawab
Karena 𝑚 = 4 dan 𝑛 = 5 maka gunakan cos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥 dan 𝑢 = sin 𝑥
𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥
∫ sin4
𝑥 cos5
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin4
𝑥 cos4
𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ sin4
𝑥 (cos2
𝑥)2
cos 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ sin4
𝑥 (1 − sin2
𝑥)2
cos 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ 𝑢4(1 − 𝑢2)2
𝑑𝑢
= ∫ 𝑢4(1 − 2𝑢2
+ 𝑢4) 𝑑𝑢
= ∫( 𝑢4
− 2𝑢6
+ 𝑢8) 𝑑𝑢
∫ sin 𝑚 𝑥 cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥
sin2
𝑥 =
1
2
(1 − cos2𝑥)
cos2
𝑥 =
1
2
(1 + cos 2𝑥)
sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥 , 𝑢 = cos 𝑥
cos2
𝑥 = 1 − sin2
𝑥 , 𝑢 = sin 𝑥

=
1
5
𝑢5
− 2 ∙
1
7
𝑢7
+
1
9
𝑢9
+ 𝐶
=
1
5
sin5
𝑥 −
2
7
sin7
𝑥 +
1
9
sin9
𝑥 + 𝐶
Contoh
∫ sin3
𝑥 cos2
𝑥 𝑑𝑥
Jawab
Karena 𝑚 = 3 dan 𝑛 = 2 maka gunakan sin2
𝑥 = 1 − cos2
𝑥 dan 𝑢 = cos 𝑥
𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥
∫ sin3
𝑥 cos2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin2
𝑥 cos2
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − cos2
𝑥)cos2
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(1 − 𝑢2) 𝑢2(−𝑑𝑢)
= ∫(−𝑢2
+ 𝑢4) 𝑑𝑢
= −
1
3
𝑢3
+
1
5
𝑢5
+ 𝐶
= −
1
3
sin3
𝑥 +
1
5
sin5
𝑥 + 𝐶
Contoh
∫ sin4
𝑥 cos4
𝑥 𝑑𝑥
Jawab
Karena 𝑚 = 4 dan 𝑛 = 4 maka gunakan cos2
𝑥 =
1
2
(1 + cos2𝑥),sin2
𝑥 =
1
2
(1 − cos2𝑥)
∫ sin4
𝑥 cos4
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sin2
𝑥 cos2
𝑥)2
𝑑𝑥
= ∫ (
1
2
(1 − cos2𝑥) ∙
1
2
(1 + cos2𝑥))
2
𝑑𝑥
= ∫ (
1
4
(1 − cos2
2𝑥))
2
𝑑𝑥
= ∫ (
1
4
sin2
2𝑥)
2
𝑑𝑥
= ∫
1
16
(
1
2
(1 − cos 4𝑥))
2
𝑑𝑥
= ∫
1
64
(1 − 2cos4𝑥 + cos2
4𝑥) 𝑑𝑥

=
1
64
∫(1 − 2 cos4𝑥 +
1
2
(1 + cos8𝑥)) 𝑑𝑥
=
1
64
∫(1 − 2 cos4𝑥 +
1
2
+
1
2
cos8𝑥) 𝑑𝑥
=
1
64
∫(
3
2
− 2 cos4𝑥 +
1
2
cos8𝑥) 𝑑𝑥
=
1
64
(
3
2
𝑥 − 2 ∙
1
4
sin 4𝑥 +
1
2
∙
1
8
sin 8𝑥) + 𝐶
=
3
128
𝑥 −
1
128
sin 4𝑥 +
1
1.024
sin 8𝑥 + 𝐶
LATIHAN YUKS!
1. ∫ cos2
𝑥 𝑑𝑥
2. ∫ cos3
𝑥 𝑑𝑥
3. ∫ sin5
𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ sin7
3𝑥 cos2
3𝑥 𝑑𝑥
5. ∫ sin4
2𝑥 cos4
2𝑥 𝑑𝑥

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Integral Fungsi Trigonometri

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