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- 1. 東北大学 工学部 機械知能?航空工学科 2015年度 5セメスター?クラスD 計算機工学 大学院情報科学研究科 鏡 慎吾 http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/ 3. 数の表現 ― 符号つき整数 (教科書1.2節)
- 2. 2鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 負の数の表現 素朴な方法 (符号と絶対値法) 通常我々は，10進数の絶対値の前に – をつけて負の数を表す． 同様に，最上位ビットで符号を表し，残りで絶対値を表せばよい 10111011 符号ビット: 0: 正 1: 負 絶対値 問題点: ?ゼロの表現が2通り存在する ?加減算が煩雑になる → 通常は，2の補数表示と呼ばれる方式が用いられる
- 3. 3鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 「2の補数」表現による符号つき数 111 7 110 6 101 5 100 4 011 3 010 2 001 1 000 0 ３ビットの場合: 2進のビット列 符号なし数 -1 -2 -3 -4 3 2 1 0 2の補数表現による符号つき数 000から1ずつ減らして行ったと きの表現を素直に考えるとよい ? 一般にnビットの場合， – 2n-1 ～ (2n-1 – 1) の範囲の数を表せる ? MSBが1であれば，負 の数である C言語では，各種の整数型に符号 なし，符号つきの種類がある． signed int, unsigned int signed short, unsigned short signed char, unsigned char
- 4. 4鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 2の補数の定義 n ビットの 2 進数において，ある数 x の 「2の補数 (2’s complement)」とは， 2n – x である (8 ビットなら，256 – x になる) 2の補数表示による n ビットの符号つき数とは， ? 非負の数 x (0≦x ≦ 2n–1 – 1) を x の符号なし2進表示で， ? 負の数 –x (0 < x ≦ 2n–1) を x の「2の補数」，すなわち (2n – x) の符号なし2進表示で 表したものである
- 5. 5鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 2の補数が使われる理由 01111010 = 122(10) +) 11111111 = -1(10) 101111001 = 121(10) なぜこのようにうまく行くのか? → 循環しているのがミソ 8ビットの場合，28を足すと一巡して元の数に戻る 28 – 1 を足すと，元の数より 1 少ない数に落ち着く 28 – x を足すと，元の数より x 少ない数に落ち着く （= 減算） （符号と絶対値法だと，数の並ぶ順序が変わってしまうのでこうはいかない: 0, 1, 2, …, 126, 127, -0, -1, -2, …, -126, -127) はみ出したビットは捨てる 符号を気にせず加算?減算を実行することができる
- 6. 6鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 例題 ファミリーコンピュータ用ゲーム「スーパーマリオブラザーズ」(任 天堂(株), 1985年) には，「無限1up」「無限増殖」などと呼ばれる テクニックが存在したことが知られている．すなわち，ある操作を 行うことで，プレイヤストック数 (ゲームオーバになるまでに許容さ れるミスの回数，残機数) を際限なく増加させ続けることが可能で あった． 一方，プレイヤストックを一定数以上に増やしすぎると，その後 たった一度のミスでゲームオーバになってしまうという現象も生じ た．内部でどのような処理が行われていたか推測して述べよ．
- 7. 8鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 2の補数表現の符号つき数の操作 ? 加減算 ? 加算はそのまま計算するだけだということが分かった ? 減算は，『引く数」に負号をつけて2の補数で表し，加算を 実行すればよい: 100 – 30 = 100 + (-30) ? では，符号反転を行うには? ? 符号反転（2の補数変換） ? 「ビットを反転して1を足す」 ? 2の補数表現 と 普通の10進正負の数の相互変換
- 8. 9鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 符号反転 x = 30 (10) → 00011110 (2) -x = -30 (10) → ? (2) x の2の補数 = 2n – x = (2n – 1) – x + 1 111…111 (1がn個並んだもの) 11111111 -) 00011110 11100001 繰り下がりが起きない! 結局 1 と 0 を反転させるだけ (「1の補数」と呼ばれる) それに1を足すと，符号反転結 果が得られる 11100001 +) 00000001 11100010 結論: 符号反転をするには，各ビットを反転し，1を加えればよい 正→負，負→正 のどちらでもOK (∵2n – (2n - x) = x)
- 9. 10鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 10進の正負の数との変換 10進 → 2進: ? 絶対値を2進数で表現 ? 正の数であれば，それで終わり ? 負の数であれば，符号反転処理 2進 → 10進: ? MSBが0か1か? ? 0であれば非負なので，そのまま10進数へ変換 ? 1であれば負なので， ? 符号反転処理をしてから10進数へ変換し，負号を つける ? または，まず10進数へ変換して，それを2nから引 いて，負号をつける
- 10. 11鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 例題 1. 10010110 (2進8ビット，2の補数表現の符号つき数) を10進 数に変換せよ 2. –50 (10進数) を 8 ビットの2の補数表現の符号つき2進数で 表せ．
- 11. 12鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 例題 解答例 1. MSB = 1なので負の数である． 方法1) まず符号反転処理してから10進に変換し，負号をつける 10010110 → 01101001 +) 1 01101010 → 106 → -106 方法2) まず10進数に変換して，それを256から引いて負号をつける 10010110 → 01101001 +) 1 01101010 → 106 → -106 10010110 (正数だと思って変換) → 150 → -(256-150)= -106 2. 50 を符号反転する．50 = 32 + 16 + 2 = 00110010(2) なので， 11001101 + 1 = 11001110
- 12. 13鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 符号拡張とゼロ拡張 あるビット長の2進数を，より長いビット長の2進数に変換すると き，MSB 側を符号ビットで埋める方法を符号拡張と呼ぶ．2の 補数表示の符号つき数の拡張の際に用いられる． 11111111 11111000 = –8(10) 11111111 11111111 11111111 11111000 00000000 00001000 = 8 (10) 00000000 00000000 00000000 00001000 16ビットから32ビットへの符号拡張の例: これに対して，常にゼロで埋める方法をゼロ拡張と呼ぶ．符号 なし数の拡張に用いられる． = 8 (10) = –8(10) (–8 : 「あと8 増やせば 2n になる数」)
- 13. 14鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 練習問題 8ビットの符号つき数 (a) 00101100 (b) 11101101 (c) 10100101 をそれぞれ， 1) 10 進数，16進数で表せ 2) 符号を反転した数を，2の補数表示の符号つき数で表せ 3) 16ビットに符号拡張せよ 4) (a) を 3ビット右シフトし，元の数の8分の1になっている かどうか調べよ．
- 14. 15鏡 慎吾 (東北大学): 計算機工学 2015 (3) 練習問題 解答例 1) 10進数: (a) 44 (b) – 19 (c) – 91 16進数: (a) 2c (b) ed (c) a5 2) (a) 11010100 (b) 00010011 (c) 01011011 3) (a) 00000000 00101100 (b) 11111111 11101101 (c) 11111111 10100101 4) 000000101 (44/8 の小数点以下切捨てになっている) 1) 正の数は普通に変換する．負の数は，10進にしてから 28 から引くか，符号 反転してから10進にするか．どうせ(2)で符号反転するんだから，後者の方 が楽かも． 2) ビット反転して 1 を足す． 3) MSBで拡張する． 4) 定義どおり計算．