Makalah bab ii
Download as DOCX, PDF0 likes901 views
Pendekatan geometri Euclid membahas aksioma-aksioma geometri seperti kesejajaran, kongruensi, jumlah sudut segitiga, dan luas bangun datar seperti segitiga dan jajar genjang. Metode utama yang digunakan adalah membuktikan teorema-teorema melalui penggunaan aksioma, konstruksi geometri, dan logika.
Makalah bab ii
- 1. PENDEKATAN GEOMETRI EUCLID 1. PENDAHULUAN Panjang merupakan dasar dari geometri euclid, akan tetapi yang paling penting dalam geometri euclid adalah sudut atau luas daerah. Misalnya, teorema tentang jumlah sudut dalam segitiga dan teorema pythagoras dalam jumlah kuadrat sisi persegi. Euclid sering menggunakan luas daerah untuk membuktikan teorema tentang panjang, seperti teorema thales. Dalam sudut dikenal dengan SAS (sisi sudut sisi) untuk segitiga sama sisi dan ASA (sudut sisi sudut) Kemudian teori sudut ini digabungkan dengan teorema Thales dan memberikan dua pembuktian teorema Pythagoras. Dengan begitu, kita mempelajari lebih lanjut tentang ruang lingkup dari penggunaan penggaris dan jangka. Untuk menarik kesimpulan dari penyelidikan ini kita harus melewati proses pemotongan poligon menjadi potongan-potongan yang membentuk persegi, pemberian akar kuadrat dari setiap sisi dan konstruksi dari pentagon biasa. 2. PEMBAHASAN 2.1 Aksioma Kesejajaran Dalam Bab 1, kita telah mempelajari penggunaan empat sisi poligon yang semuanya adalah sudut siku-siku atau yang disebut persegi. Bentuk aksioma kesejajaran euclid adalah jika sebuah garis melewati dua garis maka terbentuk sudut dalam di satu sisi bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka akan terbentuk dua garis lurus pada sisinya. Pada Gambar 1 menunjukkan situasi yang dimaksud oleh aksioma kesejajaran Euclid ketika dua garis L dan M tidak sejajar. Jika ini kurang dari dua sudut siku-siku, maka L dan M bertemu akan bertemu di suatu titik.
- 2. N M 硫 留 L Gambar 1. Ketika garis tidak sejajar Maka dapat dikatakan jika L dan M tidak bertemu di suatu sisi, maka 留 + 硫 = . Dengan kata lain, jika L dan M adalah sejajar, maka 留 dan 硫 membentuk sudut lurus, dan sudut yang terbentuk oleh garis L, M dan N ditunjukkan oleh gambar 2. N M 留 留 留 留 L Gambar 2. Ketika garis sejajar Jumlah sudut segitiga. Jika 留, 硫, dan 粒 adalah sudut segitiga sembarang, maka 留 +硫+粒= Untuk membuktikannya, tarik sebuah garis L melalui salah satu titik sudut dan sejajar dengan sisi yang berada di hadapannya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3. 留 留 硫 L 粒 粒 Gambar 3. Jumlah sudut segitiga
- 3. Latihan 2.1.1 Tunjukkan bahwa jumlah sudut setiap segiempat adalah 2 . 2.1.2 Jelaskan mengapa konvek n-segi dapat dipotong menjadi n - 2 segitiga. 2.1.3 Gunakan diseksi dari n-segi menjadi segitiga untuk menunjukkan bahwa jumlah sudut konvek n-segi adalah (n 2) . Penyelesaian 2.1.1 留 硫 粒 I 粒 2.1.2 II 留 I: 留 + 硫 + 粒 = II: 留 + 硫 + 粒 = + I: 留 + 硫 + 粒 = 2 硫 + n segi dapat dipotong menjadi n 2 segitiga. + Misal n = 6. Dapat dibentuk menjadi: n 2 = 6 2 = 4 segitiga Perhatikan gambar Pada gambar ada tiga segitiga yaitu segitiga a, b dan c. 2.1.3 Satu segitiga memiliki jumlah sudut = , misal, n = 6. Maka, (n 2) = (6 2) = 4 2.2 Aksioma Kongruen Jika dua segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang sama, dan satu sudut antara sisi tersebut juga sama, maka sisi ketiga mereka dan dua sudut lainnya juga sama. Jadi dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan kongruen jika besar sudut dan panjang sisi yang bersesuaian sama.
- 4. Aksioma SAS. Jika segitiga ABC dan ABC adalah sedemikian rupa |AB| = |AB|, Sudut ABC = sudut ABC , |BC| = |BC|. Maka |AC| = |AC|, Sudut BCA = sudut BCA dan Sudut CAB = sudut CAB Keadaan yang sama juga berlaku untuk ASA dan SSS, yang juga menunjukkan kekongruenan, akan tetapi tidak untuk SSA. Segitiga dengan dua sisi yang sama memiliki dua sudut yang sama besar. Segitiga seperti ini disebut sama kaki Teorema segitiga sama kaki. Jika segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka sudut yang berhadapan dengan sisi ini juga sama. Anggap bahwa segitiga ABC memiliki |AB| = |AC|. Kemudian segitiga ABC dan ACB, yang tentu saja segitiga sama yang kongruen oleh SAS (gambar 2.4). Sisi kiri mereka sama, sisi kanan mereka sama, dan begitu juga sudut antara sisi kiri dan kanan, karena mereka memiliki sudut yang sama yaitu sudut A. Akibat yang berguna dari ASA adalah teorema berikut tentang jajar genjang, yang memungkinkan kita untuk menentukan luas segitiga. Jajar genjang didefinisikan sebagai gambar yang dibatasi oleh dua pasang garis sejajardefinisi ini tidak mengatakan apapun tentang panjang sisinya. Teorema sisi jajar genjang. Sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah sama. Untuk membuktikan teorema ini jajar genjang dibagi menjadi dua segitiga oleh diagonal seperti pada gambar 4, dan akan dibuktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut kongruen. Karena segitiga-segitiga tersebut memiliki: Sisi yang sama yaitu AC. Sudut-sudut 留 yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk kesejajaran AD dan BC. Sudut-sudut 硫 yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk kesejajaran AB dan DC,
- 5. D 留 A 硫 硫 C 留 B Gambar 4. Membagi jajar genjang menjadi dua segitiga Latihan 2.2.1 Gunakan teorema sisi jajar genjang dan ASA untuk temukan segitiga yang kongruen pada gambar di bawah dan tunjukkan bahwa diagonal jajar genjang saling membagi dua. 2.2.2 Simpulkan bahwa diagonal belah ketupat atau jajar genjang yang sisisisinya sama bertemu di sudut siku-siku. (Petunjuk: Anda mungkin menggunakan SSS, yang mengatakan bahwa segitiga kongruen jika sisi yang sesuai mereka sama) Penyelesaian 2.2.1 Diketahui: Jajar Genjang ABCD Akan dibuktikan bahwa |AB| = |DC| dan |AD| = |BC| Bukti : Buat diagonal AC, ada ADC dan ABC |AC| berhimpit DAC = BCA = 留 (sudut dalam berseberangan) DCA = BAC = 硫 (sudut dalam berseberangan)
- 6. Maka, berdasarkan teorema Sudut Sisi Sudut (ASA) maka ADC ABC Sehingga terbukti bahwa | AB | = | DC | dan | AD | = | BC | 2.2.1 Diket : ABC sama kaki 硫= Akan dibuktikan bahwa 留 Bukti: Perhatikan ABD = ACD berhimpit Maka ADB kongruen dengan ACD (S,S,S) Akibatnya, ADB = terbukti bahwa 硫= ACD 留 D AC berpotongan dengan diagonal BD pad sudut 900 A C |AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Definisi Belah ketupat | BD | berhimpit B D ABD dan BCD | AB | = | BC | Sisi | AD | = | CD | Sisi | BD | = | BD | Sisi sehingga, ABD A O BCD | AD | = | CD | definisi segitiga sama kaki | OD | = | OD | berhimpit Akibatnya | OA | = | OC | AOD COD Maka OD Adalah garis Sumbu. Jadi , OD AC C
- 7. 2.3 Luas dan Kesamaan Prinsip logika yang digunakan adalah lima prinsip Euclid, yaitu: 1. Hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama satu dengan lainnya. 2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sesuatu yang sama, keutuhannya adalah sama. 3. Jika sama dikurangkan dari sesuatu yang sama, sisanya adalah sama. 4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain adalah sama satu dengan lainnya. 5. Keseluruhan lebih besar daripada sebagian. Kuadrat dari jumlah Sebagai contoh adalah persegi dan persegi panjang yang dinyatakan dengan rumus aljabar. Euclid tidak memiliki notasi aljabar, sehingga persamaan ini harus dinyatakan dalam kata-kata: Jika garis dipotong secara acak, kuadrat secara keseluruhan adalah sama dengan kuadrat pada segmen dan dua kali persegi panjang yang dikandung oleh segmen. Perhatikan gambar 5 berikut, Garisnya adalah a + b karena dipotong menjadi dua bagian a dan b. Gambar 5. Kuadrat dari sejumlah segmen garis Kuadrat pada garis adalah apa yang kita tulis sebagai (a + b)2. Kuadrat pada dua ruas a dan b adalah a2 dan b2. Persegi panjang "diisi" oleh ruas a dan b adalah ab Kuadrat (a + b)2 sama (dalam luas) jumlah a2, b2, dan dua bentuk dari ab
- 8. Latihan 2.3.1 Berikan diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac. 2.3.2 Berikan diagram untuk identitas a2 b2 = (a + b) (a b). 2.3.3 Buatlah gambar kubus dengan tepi a + b dan tunjukkan itu dipotong oleh bidang yang membagi setiap sisi menjadi panjang ruas a dan panjang ruas b. Penyelesaian 2.3.1 Diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac 1 b a a(b + c) = L1 + L2 = ab + ac 2 c 2.3.2 Diagram untuk identitas a2 b2 = (a + b) (a b) ab ab b ab b a a 1 2 ab 1 a+b ab b a2 b2 = L1 + L2 b 2 ab = a(a b) + b(a b) = a2 ab + ab b2 = (a + b)(a b) 2.3.3 Kubus dengan tepi a + b a b b 7 b a a a a 5 b a 1 2 a b 6 b 3 4 b b a a b Dimensi masing-masing kotak: 1. a, a, a 2. a, a, b 3. a, a, b 4. a, b, b 5. a, b, b 6. b, b, b 7. a, a, b 8. Bagian belakang pojok kiri, yaitu a, b, b
- 9. Identitas dari (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 dapat dicari dengan menjumlahkan masing-masing volume dari tiap-tiap kotak. (a + b)3 = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 = a3 + a2b + a2b + ab2 + ab2 + b3 + a2b + ab2 = a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 2.4. Luas Jajaran Genjang dan Segitiga Daerah yang bukan persegi panjang dapat ditunjukkan sama dengan persegi panjang dalam arti euclid adalah jajaran genjang. Gambar 6 menunjukkan bagaimana garis lurus dapat memotong jajar genjang menjadi potongan yang dapat membentuk persegi panjang. Gambar 6. Bentuk jajar genjang dan persegi panjang dari potongan yang sama Hanya satu pemotongan yang dibutuhkan pada gambar 6, akan tetapi banyak potongan yang dibutuhkan dalam jajaran genjang seperti gambar 7 Gambar 7. Kasus dimana lebih membutuhkan banyak pemotongan Berdasarkan gambar di atas, dibutuhkan dua potongan, yang menghasilkan potongan-potongan 1, 2, 3. Jumlah potongan bisa menjadi tidak beraturan besarnya. Untuk menghindari pemotongan dalam jumlah besar dengan memungkinkan pengurangan potongan serta penambahan. Gambar 8 menunjukkan bagaimana mengubah persegi panjang menjadi jajar genjang dengan OR sebagai alas dan OP sebagai tingginya. Kita perlu hanya menambah sebuah segitiga, dan kemudian menguranginya dengan segitiga sama.
- 10. Gambar 8. Persegi panjang dan jajar genjang dengan alas dan tinggi yang sama Dimulai dengan persegi panjang OPQR dan menambahkan segitiga RQT, kemudian dikurangi dengan segitiga OPS, hasilnya adalah jajar genjang OSTR. Dengan demikian, jajar genjang sama (dalam luas) terhadap persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama. Dari hal ini diperoleh: Luas jajar genjang = alas x tinggi Untuk menemukan luas segitiga ABC, lihat bahwa hal tersebut dapat dipandang sebagai setengah dari jajaran genjang dengan menambahkan segitiga kongruen ACD seperti yang ditunjukkan pada gambar 9. Gambar 9. Segitiga sebagai setengah jajar genjang Jelas, luas segitiga ABC + luas segitiga ACD = luas jajar genjang ABCD, dan dua segitiga "bertepatan" (karena mereka adalah kongruen), sehingga kedua segitiga tersebut memiliki luas yang sama berdasarkan pemikiran Euclid nomor 4. Dengan demikian, Luas Segitiga = alas x tinggi. Latihan 2.4.1 Diberikan segitiga dengan sisi tertentu yang ditetapkan sebagai alas, tunjukkan bagaimana menemukan ketinggian dengan konstruksi penggaris dan jangka.
- 11. Berdasarkan gambar 8. 2.4.2 Atas dasar apa |PQ| = |ST|? 2.4.3 Atas dasar apa |PS| = |QT|? 2.4.4 Dengan aksioma kongruensi apa yang membuat segitiga OPS kongruen dengan segitiga RQT? Penyelesaian 2.4.1 Cara menentukan tinggi segitiga dengan konstruksi penggaris dan jangka Misal diketahui segitiga sembarang ABC dengan AB sebagai alas dan titik C sebagai puncak segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Perpanjang garis AB atau alas segitiga 2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C yang melalui perpanjangan ruas garis AB, sehingga diperoleh dua titik potong busur tersebut dengan perpanjangan garis AB. Misal kita beri nama titik P dan Q. 3. Buat busur lingkaran di bawah perpanjangan garis AB masing-masing dengan pusat P dengan jari-jari |PC| dan pusat Q dengan jari-jari |QC|. 4. Tarik garis dari C ke perpotongan dua busur tersebut. Akan didapat perpotongan garis tersebut dengan alas segitiga yang diberi nama R. Maka ruas garis CR adalah tinggi segitiga. Karena CR tegak lurus dengan AB. 2.4.2 Berdasarkan definisi jajar genjang yaitu sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah sama. Maka pada jajar genjang OSTR, |ST| = |OR| karena OR merupakan alas dari persegi panjang OPQR maka |OR| = |PQ| sehingga |PQ| = |ST|.
- 12. 2.4.3 Berdasarkan gambar |QT| = |QS| + |ST| dan |PS| = |QS| + |PQ|, sedangkan diketahui panjang |PQ| = |ST|. |PS| = |QS| + |PQ| |PS| = |QS| + |ST| |QT| = |QS| + |ST| Jadi |PS| = |QT| 2.4.4 Diketahui | PO | = | QR | sisi | PS | = | QT | sisi | OS | = | RT | sisi Berdasarkan aksioma SSS, akibatnya OPS RQT 2.5.Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras. Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dua sisi pendek sama dengan kuadrat dari sisi miring. Euclid membuktikannya dengan cara persegi di sisi miring dibagi menjadi dua persegi panjang seperti ditunjukkan pada Gambar 10. Kemudian akan ditunjukkan bahwa luas persegi abu-abu terang sama dengan luas persegi panjang abu-abu terang dan luas persegi abu-abu gelap sama dengan luas persegi panjang abu-abu gelap, sehingga jumlah dari terang dan gelap adalah persegi di sisi miring. Gambar 10. Membagi persegi untuk pembuktian euclid
- 13. Pertama akan dibuktikan bahwa luas dari persegi abu-abu terang akan sama dengan luas persegi panjang abu-abu terang dengan cara menunjukkan luas setengah dari persegi abu-abu terang akan sama dengan setengah dari luas persegi panjang abu-abu terang. Dimulai dengan sebuah segitiga abu-abu terang yang merupakan setengah dari luas persegi abu-abu terang, dan berturut-turut menggantinya dengan segitiga yang sama alas dan tingginya, dan berakhir dengan sebuah segitiga yang jelas merupakan setengah dari persegi panjang abu-abu terang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Luas segitiga CDF adalah setengah dari persegi CDEF Anggap CD sebagai alas segitiga dan CF adalah tingginya. Perhatikan segitiga CDG, anggap CD sebagai alasnya dan CF sebagai tingginya. Oleh karena itu segitiga CDG memiliki luas yang sama dengan segitiga CDF karena memiliki alas dan tinggi yang sama. Perhatikan segitiga BCF dengan segitiga CDG di atas, |CF| = |DC| karena merupakan sisi-sisi dari persegi CDEF, |BC| = |CG| karena merupakan sisi-sisi dari persegi ABCG, dan memiliki besar sudut yang sama pada titik C. Jadi segitiga BCF dan segitiga CDG merupakan segitiga yang kongruen berdasarkan aksioma SAS. Anggap BC sebagai alas segitiga dan CH adalah tinggi segitiga.
- 14. Perhatikan segitiga BCH, anggap BC adalah alasnya dan CH sebagai tingginya. Oleh karena itu luas segitiga BCH sama dengan luas segitiga BCF karena memiliki alas dan tinggi yang sama. Gambar 11. Merubah bentuk segitiga tanpa merubah luasnya Berdasarkan langkah-langkah di atas, dapat disimpulkan bahwa pada gambar 10 luas dari setengah persegi abu-abu terang sama dengan luas dari setengah persegi panjang abu-abu terang. Yang mengakibatkan luas persegi abu-abu terang sama dengan luas persegi panjang abu-abu terang. Dengan cara yang sama akan diperoleh juga untuk persegi dan persegi panjang abu-abu gelap. Sehingga teorema phytagoras dapat terbukti. Latihan 2.5.1 Pastikan bahwa (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan (7, 24, 25) adalah segitiga sikusiku. 2.5.2 Bagaimana kita bisa yakin bahwa panjang a, b, c > 0 dengan bersama-sama tepat akan membentuk segitiga? (Petunjuk: Tunjukkan bahwa a + b > c.) Segitiga siku-siku dapat digunakan untuk membangun panjang irasional tertentu. Sebagai contoh, kita lihat di Bagian 1.5 bahwa segitiga siku-siku dengan sisi 1, 1 memiliki sisi miring . 2.5.3 Mulai dari segitiga dengan sisi 1, 1, dan dan jangka yang membangun , temukan konstruksi penggaris . 2.5.4 Oleh karena itu, dapatkan konstruksi untuk n = 2, 3, 4, 5, 6, ....
- 15. Penyelesaian: 2.5.1 terbukti terbukti terbukti 2.5.2 Panjang segitiga a, b, c > 0 dengan , akan dibuktika bahwa a+b>c Misal: Sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi pendeknya a = x dan b = x dengan x > 0. Teorema Pythagoras: c2 = a2 + b2 c a=x c2 = x2 + x2 c2 = 2x2 b=x c=x a+b=x+x a + b = 2x Kita tahu bahwa 2 lebih besar dari 2 > 2.x > . x 2x > x a+b > c Terbukti , dengan x > 0 maka:
- 16. 2.5.3 Diketahui segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi: 1, 1, . Langkah-langkah untuk mendapatkan panjang sisi dengan menggunakan konstruksi penggaris dan jangka: 1. Perpanjang garis AC 2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari |BC| 3. Buat garis tegak lurus terhadap garis AC yang melalui titik C dan berpotongan dengan busur lingkaran. Misal di D. 4. Segitiga ACD adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku d C. Sehingga teorema phytagoras berlaku. 2.5.4 Konstrusi , jika n = 2, 3, 4, 5, ...
- 17. 2.6 Bukti dari Teorema Thales Teorema Thales. Sebuah garis yang ditarik sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong dua sisi lainnya secara proporsional. Misal segitiga ABC, dengan sisi-sisinya AB dan AC dipotong oleh PQ sejajar dengan sisi BC (Gambar 12). Karena PQ sejajar dengan BC, segitiga PQB dan PQC dengan alas PQ memiliki ketinggian yang sama, yaitu jarak antara garis yang sejajar. Oleh karena itu mereka memiliki luas yang sama. Gambar 12. Sisi segitiga dipotong dengan sejajar Jika kita menambahkan segitiga APQ untuk masing-masing segitiga PQB dan PQC, kita mendapatkan segitiga AQB dan APC. Oleh karena itu, kedua segitiga tersebut juga memiliki luas yang sama. Sekarang perhatikan dua segitiga APQ dan PQB yang membentuk segitiga AQB dengan alas AB. Mereka memiliki tinggi yang sama terhadap alas AB, yaitu jarak tegak lurus dari Q ke AB. Oleh karena itu, alas mereka adalah dalam perbandingan luasnya: Demikian pula pada segitiga APQ dan PQC yang membentuk segitiga APC:
- 18. Karena luas PQB sama dengan luas PQC, sisi kanan kedua persamaan adalah sama, dan begitu juga sisi kirinya. Artinya, Dengan kata lain, garis PQ memotong sisi AB dan AC secara proporsional. Latihan Misalkan ada beberapa garis sejajar P1Q1, P2Q2, P3Q3, ... terhadap sisi BC dari segitiga ABC. tunjukkan bahwa Penyelesaian Garis P1Q1 Garis P2Q2
- 19. Begitu juga untuk garis P3Q3, akan diperoleh: Dan seterusnya, jadi: 2.7 Sudut Dalam Lingkaran Invarian sudut dalam lingkaran. Jika A dan B adalah dua titik pada lingkaran, kemudian, untuk semua titik C pada salah satu busur yang menghubungkan mereka, ACB sudut konstan. Untuk membuktikan invarian, tarik garis dari A, B, C ke pusat lingkaran O, bersama dengan garis yang membentuk sudut ACB (Gambar 13). Karena semua jari-jari lingkaran adalah sama, |OA| = |OC|. Jadi segitiga AOC adalah sama kaki, dan sudut 留 di dalamnya adalah sama berdasarkan teorema segitiga sama kaki. Sudut 硫 di segitiga BOC adalah sama karena alasan yang sama. Karena jumlah sudut segitiga sembarang adalah , maka sudut O pada segitiga AOC adalah 2留 dan sudut di O pada segitiga BOC adalah 2硫. Oleh karenanya sudut ketiga di O yaitu sudut AOB, adalah 2(留 + 硫), karena total sudut dalam satu lingkaran adalah 2. Akan tetapi sudut AOB adalah konstan, sehingga 留 + 硫 juga konstan, dan 留 + 硫 justru sudut pada C. Hal penting dalam teorema ini adalah ketika A, O, dan B terletak pada garis lurus dan melalui titik pusat lingkaran, maka 2 (留 + 硫) = . Dalam kasus ini, 留 + 硫 = /2, sehingga didapatkan teorema berikut.
- 20. Teorema sudut dalam setengah lingkaran. Jika A dan B adalah ujung diameter lingkaran, dan C adalah titik lain pada lingkaran, maka sudut ACB adalah sudut siku-siku. 留 硫 留 硫 硫 留 2(留 + 硫) Gambar 13. Sudut 留 + 硫 dalam lingkaran
- 21. DAFTAR PUSTAKA Stillwell, John. 2005. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.