ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAK

•Download as DOCX, PDF•
•
Raden Ilyas
Raden Ilyas

Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye

1 of 12
Downloaded 321 times
Penyelesaian Persamaan Diferensial PD Tidak Eksak (Faktor Integral) Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i) dan memenuhi syarat Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 … (ii) karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi = u +M =u +N u( – ) = – (M –N ) RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL u(x, y) = Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu (a) FI u sebagai fungsi x saja karena u sebagai fungsi x saja, maka = dan =0
Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis u(x) = dx = Q dx = dx = dx = ln u u(x) = u(x) = dengan h(x) = (b) FI u sebagai fungsi y saja karena u sebagai fungsi y saja, maka = 0 dan = Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis u(y) = dy = -M dy =
dy = dy = ln u u(y) = u(y) = dengan h(y) = (c) FI u sebagai fungsi x dan y andaikan FI : u = u(x, y) misal bentuk peubah x, y = v maka FI : u = u(v) = … (iii) = … (iv) = … (v) Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka u(x, y) = – u(v) = u(v) =
= = = ln u = Jadi, FI : u(v) = dengan h(v) = Contoh : Tentukan Faktor Integral dan penyelesain PD dibawah ini : 1. (4 xy + 3y2 – x) dx + x(x + 2y) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = 4 xy + 3y2 – x N(x, y) = x(x + 2y) = 4x + 6y = 2x + 2y Jadi, =
= [fungsi dari x saja] maka FI adalah = = x2 sehingga diperoleh PD eksak adalah x2 (4 xy + 3y2 – x) dx + x3 (x + 2y) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = x2 (4 xy + 3y2 – x) = 4x3y + 3x2y2 – x3 F(x, y) = (4x3y + 3x2y2 – x3) dx + g(y) = x4y + x3y2 – x4 + g(y) = x4 + 2x3y + g’(y) karena = G(x, y), sehingga x4 + 2x3y + g’(y) = x3 (x + 2y) x4 + 2x3y + g’(y) = x4 + 2x3y g’(y) = 0 g(y) = C solusi PD : x4y + x3y2 – x4 + C 2. y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = xy + y2 + y N(x, y) = x2 + 3xy + 2x
= x + 2y + 1 = 2x + 3y + 2 Jadi, = = [fungsi dari y saja] maka FI adalah = =y sehingga diperoleh PD eksak adalah y2(x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = y2(x + y + 1) = xy2 + y3 + y2 F(x, y) = (xy2 + y3 + y2) dx + g(y) = x2y2 + xy3 + xy2 + g(y) = x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) karena = G(x, y), sehingga x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = xy(x + 3y + 2) x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = x2y + 3xy2 + 2xy g’(y) = 0
g(y) = C solusi PD : x2y2 + xy3 + xy2 + C 3. (2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = 2x3y2 – y N(x, y) = 2x2y3 – x = 4x3y – 1 = 4xy3 – 1 Jadi, – = (4x3y – 1) – (4xy3 – 1) = 4xy(x2 – y2) ambil : v = xy = y dan =x M = x(2x3y2 – y) N = y(2x2y3 – x) maka M –N = (2x4y2 – xy) – (2x2y4 – xy) = 2x2y2(x2 – y2) =
= dv = dv [fungsi x dan y] maka FI adalah u(x, y) = = = sehingga diperoleh PD eksak adalah (2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = (2x3y2 – y) 2x – F(x, y) = (2x – ) dx + g(y) = x2 + + g(y) = + g’(y) karena = G(x, y), sehingga + g’(y) = (2x2y3 – x)
+ g’(y) = 2y – g’(y) = 2y g(y) = y2 solusi PD : x2 + + y2 = 0 Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk + y= . misal P(x) = dan Q(x) = maka + P(x) y = Q(x) … (i) untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral. misal faktor integral nya adalah , kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh : + P(x) y = Q(x) … (ii) jika diambil y dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya (y )= + P(x) y sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh
(y ) = Q(x) kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh SOLUSI UMUM : y = Q(x) dx + C solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian =1 Contoh : Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini : 1. + 2xy = 4x Penyelesaian : Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil P(x) = 2x dan Q(x) = 4x Faktor Integral : = Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh y = Q(x) dx + C y = 4x dx + C y = 4x +C y = 2 d(x2) + C y =2 +c y=2+c 2. x = y + x3 + 3x2 – 2x Penyelesaian :
x – y = x3 + 3x2 – 2x [bagi dengan x] – y = x2 + 3x – 2 ambil P(x) = dan Q(x) = x2 + 3x – 2 Faktor Integral : = e-ln x = sehingga penyelesaiannya y = Q(x) dx + C y = (x2 + 3x – 2) dx + C y = (x + 3 – 2 ) dx + C y= x3 + 3x2 – 2x ln x + cx y= x3 + 3x2 – ln x2x + cx 3. xy’ – 2y = x3 ex Penyelesaian : x – 2y = x3 ex [bagi dengan x] – y = x2 ex ambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex Faktor Integral : = e-2 ln x = sehingga penyelesaiannya y = Q(x) dx + C
y = (x2 ex) dx + C y = ex dx + C y = ex + c y = x2 ex + c x2

More Related Content

Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAK

  • 1. Penyelesaian Persamaan Diferensial PD Tidak Eksak (Faktor Integral) Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i) dan memenuhi syarat Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 … (ii) karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi = u +M =u +N u( – ) = – (M –N ) RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL u(x, y) = Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu (a) FI u sebagai fungsi x saja karena u sebagai fungsi x saja, maka = dan =0
  • 2. Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis u(x) = dx = Q dx = dx = dx = ln u u(x) = u(x) = dengan h(x) = (b) FI u sebagai fungsi y saja karena u sebagai fungsi y saja, maka = 0 dan = Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis u(y) = dy = -M dy =
  • 3. dy = dy = ln u u(y) = u(y) = dengan h(y) = (c) FI u sebagai fungsi x dan y andaikan FI : u = u(x, y) misal bentuk peubah x, y = v maka FI : u = u(v) = … (iii) = … (iv) = … (v) Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka u(x, y) = – u(v) = u(v) =
  • 4. = = = ln u = Jadi, FI : u(v) = dengan h(v) = Contoh : Tentukan Faktor Integral dan penyelesain PD dibawah ini : 1. (4 xy + 3y2 – x) dx + x(x + 2y) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = 4 xy + 3y2 – x N(x, y) = x(x + 2y) = 4x + 6y = 2x + 2y Jadi, =
  • 5. = [fungsi dari x saja] maka FI adalah = = x2 sehingga diperoleh PD eksak adalah x2 (4 xy + 3y2 – x) dx + x3 (x + 2y) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = x2 (4 xy + 3y2 – x) = 4x3y + 3x2y2 – x3 F(x, y) = (4x3y + 3x2y2 – x3) dx + g(y) = x4y + x3y2 – x4 + g(y) = x4 + 2x3y + g’(y) karena = G(x, y), sehingga x4 + 2x3y + g’(y) = x3 (x + 2y) x4 + 2x3y + g’(y) = x4 + 2x3y g’(y) = 0 g(y) = C solusi PD : x4y + x3y2 – x4 + C 2. y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = xy + y2 + y N(x, y) = x2 + 3xy + 2x
  • 6. = x + 2y + 1 = 2x + 3y + 2 Jadi, = = [fungsi dari y saja] maka FI adalah = =y sehingga diperoleh PD eksak adalah y2(x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = y2(x + y + 1) = xy2 + y3 + y2 F(x, y) = (xy2 + y3 + y2) dx + g(y) = x2y2 + xy3 + xy2 + g(y) = x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) karena = G(x, y), sehingga x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = xy(x + 3y + 2) x2y + 3xy2 + 2xy + g’(y) = x2y + 3xy2 + 2xy g’(y) = 0
  • 7. g(y) = C solusi PD : x2y2 + xy3 + xy2 + C 3. (2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0 Penyelesaian : misal : M(x, y) = 2x3y2 – y N(x, y) = 2x2y3 – x = 4x3y – 1 = 4xy3 – 1 Jadi, – = (4x3y – 1) – (4xy3 – 1) = 4xy(x2 – y2) ambil : v = xy = y dan =x M = x(2x3y2 – y) N = y(2x2y3 – x) maka M –N = (2x4y2 – xy) – (2x2y4 – xy) = 2x2y2(x2 – y2) =
  • 8. = dv = dv [fungsi x dan y] maka FI adalah u(x, y) = = = sehingga diperoleh PD eksak adalah (2x3y2 – y) dx + (2x2y3 – x) dy = 0 dx + dy = 0 Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak. ambil = (2x3y2 – y) 2x – F(x, y) = (2x – ) dx + g(y) = x2 + + g(y) = + g’(y) karena = G(x, y), sehingga + g’(y) = (2x2y3 – x)
  • 9. + g’(y) = 2y – g’(y) = 2y g(y) = y2 solusi PD : x2 + + y2 = 0 Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode Faktor Integral A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk + y= . misal P(x) = dan Q(x) = maka + P(x) y = Q(x) … (i) untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral. misal faktor integral nya adalah , kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh : + P(x) y = Q(x) … (ii) jika diambil y dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya (y )= + P(x) y sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh
  • 10. (y ) = Q(x) kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh SOLUSI UMUM : y = Q(x) dx + C solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian =1 Contoh : Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini : 1. + 2xy = 4x Penyelesaian : Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil P(x) = 2x dan Q(x) = 4x Faktor Integral : = Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh y = Q(x) dx + C y = 4x dx + C y = 4x +C y = 2 d(x2) + C y =2 +c y=2+c 2. x = y + x3 + 3x2 – 2x Penyelesaian :
  • 11. x – y = x3 + 3x2 – 2x [bagi dengan x] – y = x2 + 3x – 2 ambil P(x) = dan Q(x) = x2 + 3x – 2 Faktor Integral : = e-ln x = sehingga penyelesaiannya y = Q(x) dx + C y = (x2 + 3x – 2) dx + C y = (x + 3 – 2 ) dx + C y= x3 + 3x2 – 2x ln x + cx y= x3 + 3x2 – ln x2x + cx 3. xy’ – 2y = x3 ex Penyelesaian : x – 2y = x3 ex [bagi dengan x] – y = x2 ex ambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex Faktor Integral : = e-2 ln x = sehingga penyelesaiannya y = Q(x) dx + C
  • 12. y = (x2 ex) dx + C y = ex dx + C y = ex + c y = x2 ex + c x2