![Matemtiques II
Melanie Nogu辿 Fructuoso
1
1
TEMA 7
OPTIMITZACIO SENSE
RESTRICCIONS
Anem a veure el prop嘆sit:
Si tenim un problema [P], que hem dopt f(x) s.a. (subjecte a) tal
que:
{ } ( )
Per classificar les formes quadrtiques podem utilitzar dos m竪todes:
- Per elements de la diagonal si 辿s una matriu diagonal.
Una matriu 辿s diagonal si:
( )
a. Definida positiva si
b. Definida negativa si
c. Semidefinida positiva si
d. Semidefinida negativa si
e. Indefinida si
- Pel m竪tode de la regla de Sylvester: usarem els menors principals
diagonals o dominants.
( )
a. Q 辿s definida positiva si
b. Q 辿s definida negativa si 辿s a dir, alternen signes
comen巽ant per negatiu.
c. Q 辿s indefinida si almenys un dels menors principals dordre parell 辿s negatiu.
Per trobar els 嘆ptims tenim dues condicions:
i. Condici坦 necessria de primer ordre (CNPO).](https://image.slidesharecdn.com/matematiques-optimitzacio-srestriccions-130621025359-phpapp02/85/Matematiques-optimitzacio-srestriccions-1-320.jpg)
Matematiques optimitzacio srestriccions
- 1. Matemtiques II Melanie Nogu辿 Fructuoso 1 1 TEMA 7 OPTIMITZACIO SENSE RESTRICCIONS Anem a veure el prop嘆sit: Si tenim un problema [P], que hem dopt f(x) s.a. (subjecte a) tal que: { } ( ) Per classificar les formes quadrtiques podem utilitzar dos m竪todes: - Per elements de la diagonal si 辿s una matriu diagonal. Una matriu 辿s diagonal si: ( ) a. Definida positiva si b. Definida negativa si c. Semidefinida positiva si d. Semidefinida negativa si e. Indefinida si - Pel m竪tode de la regla de Sylvester: usarem els menors principals diagonals o dominants. ( ) a. Q 辿s definida positiva si b. Q 辿s definida negativa si 辿s a dir, alternen signes comen巽ant per negatiu. c. Q 辿s indefinida si almenys un dels menors principals dordre parell 辿s negatiu. Per trobar els 嘆ptims tenim dues condicions: i. Condici坦 necessria de primer ordre (CNPO).
- 2. Matemtiques II Melanie Nogu辿 Fructuoso 2 2 ( ) Hi ha un paral揃lelisme amb les funcions duna variable, les quals les derivvem i les igualvem a 0. No obstant, aqu鱈 es mira el gradient, format per les parcials i siguala a 0. ii. Condici坦 suficient de segon ordre (CSSO). - Si lHessiana en el possible 嘆ptim 辿s definida positiva MNIM LOCAL - Si lHessiana en el possible 嘆ptim 辿s definida negativa MXIM LOCAL - Si lHessiana en el possible 嘆ptim 辿s indefinida PUNT DE SELLA Un punt de sella 辿s, si visualitzem una sella de muntar a cavall, hi ha uns punts cr鱈tics els quals poden ser un mxim o b辿 un m鱈nim, per aix嘆 anul揃la el gradient. A m辿s tenim la condici坦 suficient de globalitat dels extrems locals: - Si f 辿s convexa i 辿s un m鱈nim local 辿s m鱈nim global - Si f 辿s c嘆ncava i 辿s un mxim local 辿s un mxim global Caracteritzaci坦 de les funcions c嘆ncaves/convexes: Si ( ) 辿s definida positiva per tot x f 辿s CONVEXA Si ( ) 辿s definida negativa per tot x f 辿s CNCAVA EXEMPLE I Troba i classifica els punts cr鱈tics daquesta funci坦: ( ) 1. CNPO ( ) (1) (2) (1) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) (3)+(5) PC(0,0) (3)+(6) PC(0,1/2) (4)+(5) PC(4,0)
- 3. Matemtiques II Melanie Nogu辿 Fructuoso 3 3 (4)+(6) PC(4,1/2) 2. CSSO Classificar PC (0,0) ( ) ( ) PC (0,1/2) ( ) ( ) PC (4,0) ( ) ( ) PC(4,1/2) ( ) ( ) PC (0,0) MXIM PC (0, 遜) PUNT DE SELLA PC (4,0) PUNT DE SELLA PC (4, 遜 ) MNIM