�ݺ�ߣ

Pernyataan Matematika
(statement)
Law
Postulate
Axiom
Theorem
Lemma
Corollary
Proposition
Conjecture
2

Pembuktian (proofing)
Proof: A logical argument made up of
statements that are supported by another
statement that is accepted as true
 Inductive Reasoning : Coming to a conclusion
based off of specific examples and observations
 Deductive Reasoning : Using facts, rules,
definitions, and properties to reach a logical
conclusion from given statements
3

Inductive Reasoning
Sequence atau series
Boolean atau Logic
 Negation dengan simbol “~”
 Compound statement
• Conjunction dengan kata “and”
• Disjuntion dengan kata “or” atau “xor”
 Conditional statement atau “If hypothesis Then
conclusion”
• Related conditional misalnya pq
• Converse misalnya qp
• Inverse misalnya ~p~q
• Contrapositive misalnya ~q~p
4

Deductive Reasoning
Law of Detachment : If pq is a true
statement and p is true, then q is true.
Law of Syllogism : If pq and qr are true
statements, then pr is a true statement.
Paragraph Proof
Algebraic Proof
5

Algebraic Proof
Properties of Equality Notes
Additional property Jika a = b, maka a+c = b+c
Subtraction property Jika a = b, maka a–c = b–c
Multiplication property Jika a = b, maka aXc = bXc
Division property Jika a = b dan c0, maka ac = bc
Reflexive property a = a
Symmetric property Jika a = b, maka b = a
Transitive property Jika a = b dan b = c, maka a = c
Substitution property Jika a = b, maka a dapat digantikan b
dalam persamaan atau ekspresi lain
Distributive property aX(b+c) = (aXb) + (aXc)
Commutative property a+b = b+a serta aXb = bXa
Associative property a+(b+c) = (a+b)+c serta
aX(bXc) = (aXb)Xc
6

Algebraic Proof
Properties of Equality Notes
Identity property of Additional a+0 = a
Identity property of Subtraction a–0 = a
Identity property of Multiplication aX1 = a
Identity property of Division a1 = a
Inverse property of Addition a+(-a) = 0
Inverse property of Multiplication aX(1/a) = 1
Multiplication property of Zero aX0 = 0
7

Algebraic Proof
Properties of Inequality Notes
Additional property Jika a > b, maka a+c > b+c
Subtraction property Jika a > b, maka a–c > b–c
Positive Multiplication property Jika a > b dan c>0, maka aXc > bXc
Negative Multiplication property Jika a > b dan c<0, maka aXc < bXc
Positive Division property Jika a > b dan c>0, maka ac > bc
Negative Division property Jika a > b dan c<0, maka ac < bc
Symmetric property Jika a > b, maka b < a
Transitive property Jika a > b dan b > c, maka a > c
8

Algebraic Proof
Properties of Segment Congruence Notes
Reflexive property AB  AB
Symmetric property Jika AB  CD, maka CD  AB
Transitive property Jika AB  CD dan CD  EF,
maka AB  EF
9
Properties of Angle Congruence Notes
Reflexive property A  A
Symmetric property Jika A  B, maka B  A
Transitive property Jika A  B dan B  C,
maka A  C
++Other postulates + Theorem

Kriteria Model Matematis
Sederhana
Sederhana dan mudah dipahami oleh stakeholder meski
tidak mahir matematika
Complete
Mencantumkan semua aspek yang signifikan dalam situasi
masalah terhadap ukuran kinerja keluaran
Mudah dimanipulasi
Memungkinkan dipergunakan untuk mencari solusi yang
terbaik dan menjawab masalah
10

Adaptif
Perubahan struktur pada situasi masalah dapat dengan
mudah diadopsi model dengan modifikasi relatif minor
untuk adaptasi
Mudah dikomunikasikan
Pemikiran system analyst dalam model mudah dimengerti
dan interaktif dengan pengguna untuk mempersiapkan,
memperbarui, mengubah dan memperbaiki secara cepat.
11

Layak sesuai tujuan studi masalah
Pengembangan model membutuhkan waktu tidak lebih
dari batas pengambilan keputusan, dan mempergunakan
biaya tidak lebih dari penghematan yang diperoleh.
Menghasilkan informasi yang bermanfaat
Keluaran dari model dengan lugas menggambarkan solusi
yang dapat dijadikan dasar pengambilan keputusan.
12

Karakteristik Model Matematis
 BerdasarkanTujuan (purpose)
 Optimasi
Model yang digunakan untuk mencari nilai optimal
(terbaik = maksimasi/minimasi)
 Eksplanasi
Model yang digunakan untuk menunjukkan interaksi
variabel yang mempengaruhi perilaku sistem
 Deskripsi
Model yang digunakan untuk menggambarkan perilaku
sistem
13

 Berdasarkan cara analisa (mode of analysis)
 Analitik
Model yang menggunakan teknik matematika dan
statistika untuk menghasilkan informasi yang optimal.
 Numerik
Model yang menggunakan iterasi numerik untuk
menghasilkan informasi yang mendekati optimal
(estimation / heuristic)
14

 Berdasarkan perlakuan keacakan (treatment of
randomness)
 Deterministik
Model yang tidak mengandung nilai keacakan, sehingga
perilaku sistem dapat diperkirakan secara pasti
 Probabilistik
Model yang mengandung nilai keacakan, sehingga
perilaku sistem tidak dapat diperkirakan secara pasti.
 Stokastik
Model yang mengandung nilai keacakan yang
dipengaruhi oleh waktu, sehingga perilaku sistem tidak
dapat diperkirakan secara pasti.
15

 Berdasarkan penerapan (generality of application)
 Untuk semua kasus homogen
Model yang dapat digunakan untuk kasus-kasus yang
mempunyai kemiripan
 Untuk kasus tertentu.
Model yang dibuat untuk kasus tertentu saja
16

Klasifikasi Formulasi Matematis
 Berdasarkan interaksinya dengan waktu,
 Fungsi statis (stationary or time-invariant)
 Fungsi dinamis (time-variant)
 Berdasarkan ketergantungan dinamikanya pada
waktu,
 Fungsi diskrit
 Fungsi kontinyu
 Fungsi gabungan (hybrid)
17

 Berdasarkan korelasi dengan variabel bebasnya,
 Fungsi Linier
 Fungsi Nonlinier
 Berdasarkan banyaknya variabel bebasnya,
 Regresi sederhana
 Regresi berganda
18

 Berdasarkan interaksi variabel bebasnya terhadap
fungsi,
 Distributed parameter
Masing-masing variabel memberikan interaksi terhadap
fungsi secara terpisah
 Lumped parameter
Variabel-variabel memberikan interaksi terhadap fungsi
secara bersama-sama.
19

 Berdasarkan tingkat derivatif fungsi diferensial,
 Homogenous
 Heterogenous
 Berdasarkan tingkat probabilitas variabel
bebasnya,
 Deterministik
 Stokastik/probabilistik
20

 Berdasarkan keberadaan konstanta faktor pengali
variabel bebasnya,
 Definisional (Definitional Equation)
Persamaan hanya menunjukkan fungsi interaksi variabel
bebasnya saja tanpa adanya penambahan konstanta
lain
 Empiris (Empirical Based Equation)
Persamaan menunjukkan fungsi interaksi variabel bebas
yang berkaitan pula dengan adanya konstanta lain yang
memberikan bobot fungsi interaksinya. Konstanta yang
disertakan dalam persamaan diperoleh dari analisa
regresi.
21

Variabel atau Peubah
22
MODEL
POLICY
VARIABLE
FEEDBACK
VARIABLE
EXTERNAL
VARIABLE
RANDOM
VARIABLE
DETERMINISTIC
VARIABLE
RESPONSE
VARIABLE

 Variabel eksternal (external variable)
Variabel yang tidak dapat dikendalikan, namun
mempengaruhi perilaku sistem. Terkadang disebut juga
dengan exogenous, environmental atau uncontrollable
variable.
 Variabel kebijaksanaan / asumsi (policy variable)
Variabel yang dapat dikendalikan bahkan dapat ditentukan
dengan asumsi. Terkadang disebut juga dengan decision
atau controllable variable.
23

 Variabel acak (random variable)
Variabel yang menggambarkan keacakan / probabilitas
perilaku sistem
 Variabel pasti (deterministic variable)
Variabel yang mengarahkan perilaku sistem agar dapat
diprediksikan.
24

 Variabel respon (response variable)
Variabel yang merupakan keluaran dari sistem yang
menunjukkan state yang menjadi fokus pemodelan.
Terkadang disebut juga dengan dependent variable.
 Variabel umpan balik (feedback variable)
Variabel yang merupakan keluaran dari sistem yang
berbalik dan mempengaruhi perilaku sistem pada waktu
selanjutnya.
25

Formulasi Matematis
Deterministik
 Analisa Regresi
 Regresi Linier
 Regresi Nonlinier
 Regresi Polinomial
 Regresi Berganda
 Optimasi
 Turunan atau pendekatan Differensial
 Maksimasi/minimasi dengan batasan kendala
 Aljabar linier
 Vektor
 Matriks
26

Formulasi Matematis Probabilistik
 Variabel Acak dan distribusi
 Probabilitas
 Probabilitas kumulatif
 Ekspektasi
 Pendekatan kalkulus
 Differensial
 Integral
 Pendekatan rantai markov
 Probability on node
 Probability on arrow
27

Pendekatan Heuristik
Pendekatan algoritma atau prosedur yang berdasarkan logika
berpikir yang rasional dan sistematis dalam menyelesaikan
permasalahan dan menemukan solusi alternatif
 Trial & error  Metode delphi
 Tabel  Metode transportation
 Penelusuran  Simulasi annealing
 Batu pijakan  Theory of constraint
 Metode Numerik  Interpolasi
28

Kasus Divisi
Minyak Pelumas
29

Identifikasi Variabel
Independent Variable (input)
Uncontrollable variable
 di : customer order pattern
 s: production setup cost per batch
 v: unit product value
 h : product handling cost per unit
 r: investment holding cost /$ per year
30

Independent Variable (input)
Controllable variable
 dc : cutoff for big or small order
 Q : stock replenishment size
31

Dependent Variable
Component variable (intermediate)
 C1 : order pattern by special production runs
 C2 : order pattern met from stock
 :
 :
 C14 : value of annual demand
32

Dependent Variable
Performance variable (output)
 TC(Q): total annual operating cost
33

Pemodelan Matematis
C1 : order pattern by special prod. runs
[order pattern by special production runs] merupakan
[customer order pattern] yang melebihi [cutoff for big or small
order]
C1  di
Where
C1  di = C1 if di > dc
C1  di =  if di < dc
34

Pemodelan Matematis
C2 : order pattern met from stock
[order pattern met from stock] merupakan [customer order
pattern] yang kurang dari [cutoff for big or small order]
C2  di
Where
C2  di = C2 if di < dc
C2  di =  if di > dc
35

Pemodelan Matematis
C3 : annual volume by special prod. run
[annual volume by special prod. run] merupakan total jumlah
[order pattern by special production run]
C3 = Sum (C1)
36

Pemodelan Matematis
C4 : annual number of special prod. run
[annual number of special prod. run] merupakan banyaknya
kejadian [order pattern by special production run]
C4 = Count(C1)
37

Pemodelan Matematis
C5 : annual volume met from stock
[annual volume met from stock] merupakan total jumlah [order
pattern met from stock]
C5 = Sum (C2)
38

Pemodelan Matematis
C6 : annual number stock replenishment
[annual number stock replenishment] merupakan [annual
volume met from stock] dibagi dengan [stock replenishment
size]
C6 = C5 / Q
39

Pemodelan Matematis
C7 : average stock level
[average stock level] merupakan rata-rata stock level dengan
stock maksimum sebesar [stock replenishment size] yang
terjadi setelah stock habis dan perubahan stock dipengaruhi
oleh [order pattern met from stock]
[next stock] = [previous stock] – C2 (changing overtime)
If [next stock] < 0 then [next stock] = Q
Appproximation :
C7 = Q / 2
40

Pemodelan Matematis
C8 : average stock investment
[average stock investment] merupakan [average stock level]
dikalikan dengan [unit product value] sebagai modal yang
diam atau stagnan
C8 = C7 . v
 C8 = (Q / 2) . v
 C8 = (Q.v) / 2
41

Pemodelan Matematis
C9 : annual handling cost for big cust.
[annual handing cost for big customer] merupakan [annual
volume by special production run] dikalikan dengan [product
handling cost per unit]
C9 = C3 . h
 C9 = Sum (C1) . h
 C9 = Sum (di) . h for di > dc
42
D1

Pemodelan Matematis
C10 : annual setup cost for spec.prod.run
[annual setup cost for special production run] merupakan
[annual number of special production run] dikalikan dengan
[production setup cost per batch]
C10 = C4 . s
 C10 = Count (C1) . s
 C10 = Count (di) . s for di > dc
43
N1

Pemodelan Matematis
C11 : annual handling cost for small cust.
[annual handing cost for small customer] merupakan [annual
volume met from stock] dikalikan dengan [product handling
cost per unit]
C11 = C5 . h
 C11 = Sum (C2) . h
 C11 = Sum (di) . h for di < dc
44
D2

Pemodelan Matematis
C12 : annual setup cost for stock repl.
[annual setup cost for stock replenishment] merupakan
[annual number stock replenishment] dikalikan dengan
[production setup cost per batch]
C12 = C6 . s
 C12 = (C5 / Q) . s
 C12 = (Sum (C2) / Q). s
 C12 = (Sum (di) / Q). s for di < dc
45
D2

Pemodelan Matematis
C13 : annual stock holding cost
[annual stock holding cost] merupakan [average stock
investment] dikalikan dengan [investment holding cost /$ per
year]
C13 = C8 . r
 C13 = (C7 . v) . r
 C13 = ((Q / 2) . v). r
 C13 = (Q.v.r) / 2
46

Pemodelan Matematis
C14 : value of annual demand
[value of annual demand] merupakan total [annual volume by
special production] dan [annual volume met from stock]
dikalikan dengan [unit product value]
C14 = (C3 + C5) . v
 C14 = (Sum(C1) + Sum(C2)) . v
 C14 = (Sum{di>dc}+Sum{di<dc}).v
 C14 = Sum(di) . v
47
DALL

Pemodelan Matematis
TC(Q) : Total annual operating cost
[total annual operating cost] merupakan total semua biaya
operasional
TC(Q) = C9 + C10 + … + C14
 TC(Q) = (D1.h) + (N1.s) + (D2.h) + ((D2/Q).s) + ((Q /
2).v.r) + (DALL . v)
 TC(Q) = ((D1+D2).h) + ((N1+(D2/Q)).s) + ((Q/2).v.r)
+ (DALL . v)
 TC(Q) = (DALL.h) + ((N1+(D2/Q)).s) + ((Q/2).v.r) +
(DALL . v)
48
DALL

End of
�ݺ�ߣs ...
Modul Pemodelan Sistem
49

�ݺ�ߣ

Model matematika dan konsep perhitungan dasar

Recommended

More Related Content

Similar to Model matematika dan konsep perhitungan dasar (20)

Recently uploaded (6)

Model matematika dan konsep perhitungan dasar