![3
1  1
=
lim n 2  −1 + ÷ = −∞.
2 n →∞ ï£ n
3
x
lim f ( x) = lim = +∞.
x →+∞ x →+ 2( x + 1) 2
5o Asimptotat e funksionit. Drejtëza x = −1 është asimptotë vertikale e grafikut të
1
funksionit. Asimptotë horizontale nuk ka, kures drejtëza y = x − 1 është asimptotë e
2
pjerrtë. Me të vërtetë
f ( x) x3 1
a = lim = lim =
x →± ∞ x x →± ∞ 2 x ( x + 1) 2 2
 x3 1  2 x2 + x
b = lim ( f ( x) − ax) = lim  − x ÷ = − lim = −1
x →± ∞ x →± ∞ 2( x + 1) 2 2  x →± ∞ 2( x + 1) 2
ï£
6o Rritja dhe zvogëlimi i funksionit. Kemi:
 1 x 2 ( x + 3) 
 f '( x) − ÷ ⇒ ( f '( x) = 0) ⇒ ( x = 0) ∨ ( x = −3)).
ï£ 2 ( x + 1)3 
Formojmë tabelën:
x (−∞, −3) -3 (-3, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f' + 0 - ∃ + 0 +
f Z Max ] Z Z
Prej nga vërejmë se funksioni është zvogëlues në intervalin (-3, -1) kurse në
(−∞, −3) ∪ (−1, +∞) është rritës. Në pikën x = −3 funksioni ka maksimum dhe ate
 3
Max  −3, −3 ÷.
ï£ 8
7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e infeksionit. Kemi:
 3x 
 f "( x) = ÷ ⇒ (( f "( x) = 0) ⇒ ( x = 0)).
ï£ ( x + 1) 4 
Formojmë tabelën
x (−∞, −1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞)
f" - ∃ - 0 +
f konveks konveks Inf. Konkav
Prej nga vërejmë se funksioni i dhënë është konveks në (−∞, −1) ∪ (−1, 0), kurse konkav
në (0, +∞). Në pikën x = 0 funksioni ka infeksion dhe ate I (0, 0).](https://image.slidesharecdn.com/matematikaii-paraqitjagrafikeefunksionitfxm-130312111643-phpapp01/85/Paraqitja-grafike-e-funksionit-fxm-2-320.jpg)
![y
−3 −1
O 2 x
1
y= x −1
1 2
3
−3
8
Fig.
Shembull 2. Të shqyrtojmë dhe të paraqesim grafikisht funksioni
x3
f ( x) = .
x−2
Zgjidhje. 1o Zona e përkufizimit. Funksioni i dhënë është i përkufizuar për ato vlera të
ndryshme x për të cilat:
 x3 
 ≥ 0 ÷∧ ( x ≠2) ⇔ ( x ≤ 0 ∧ x − 2 < 0) ∧ x ≠2)
ï£ x−2 
∨ ( x ≥ 0 ∧ x − 2 > 0) ∧ x ≠2)
⇔ ( x ≤ 0 ∧ x < 2) ∨ ( x ≥ 0 ∧ x > 2)
⇔ (−∞, 0] ∪ (2, +∞).
2 Funksioni është josimetrik
o
3o Zerot dhe shenja e funksionit. Funksioni është jonegativ në tërë zonën e përkufizimit.
dhe ( f ( x ) = 0) ⇒ ( x = 0).
4o Të sjellurit në skaje të zonës së përkufizimit. Kemi:
x3
lim f ( x) = lim = +∞.
x →−∞ x →−∞ x−2](https://image.slidesharecdn.com/matematikaii-paraqitjagrafikeefunksionitfxm-130312111643-phpapp01/85/Paraqitja-grafike-e-funksionit-fxm-3-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (18)
Paraqitja grafike e funksionit fxm
- 1. Konstruktimi i grafikut të funksionit Metodat për studimin e funksionit të shqyrtuara në paragrafët e mëparshëm të këtij kapitulli na japin mundësi të gjykojmë në mënyrë shumë të plotë mbi karakterin e ndryshimit të funksionit dhe mbi grafikun e tij, bile na lejojnë që këtë grafik ta ndërtojmë në mënyrë të plotë me më pakë punë. Nga ana tjetër grafiku i funksionit na bënë të mundur ti konstatojmë edhe disa veti të cilat nga formula me të cilën është dhënë funksioni është vështirë apo e pamundur të konstatohen. Për të ndërtuar grafikun e një funksioni zakonisht duhen bërë këto veprime: 1o Caktohet zona e përkufizimit (domena) e funksionit. 2o Shqyrtohet simetria e funksionit dhe perioda, nëse ai është periodik. 3o Gjenden zerot e funksionit dhe caktohet shenja në intervalet e përkufizimit. 4o Me ndihmën e limiteve të njëanshme studiohet të sjellurit e funksionit në skaje të zonës së përkufizimit. 5 Gjenden asimptotat. o 6o Gjenden intervalet e monotonisë dhe vlerat ekstreme. 7o Caktohen intervalet e konkavitetit, konveksitetit dhe pikat e infeksionit. 8o Në bazë të rezultateve të fituara konstruktohet grafiku. Shembull 1. Të shqyrtojmë dhe të paraqesim grafikisht funksioni x3 f ( x) = . 2( x + 1)2 Zgjidhje. 1o Zona e përkufizimit është ¡ {−1}. 2o Funksioni është jo simetrik dhe jo periodik 3o Zero dhe shenja e funksionit ( f ( x) = 0) ∧ (( x < 0) f ( x) < 0) ∧ (( x > 0) f ( x) > 0) 3 Të sjellurit e funksionit në skaje të zonës së përkufizimit. Kemi: o x3 lim f ( x) = lim = −∞ x →−∞ x →−∞ 2( x + 1) 2 3  1  −1 − ÷  1 lim− f ( x) = lim f  −1 − ÷ = lim ï£ n 2 x →−1 n →∞ ï£ n n →∞  1  2  −1 − + 1 ÷ ï£ n  3 1  1 = lim n 2  −1 − ÷ = −∞. 2 n →∞ ï£ n 3  1  −1 + ÷  1 lim+ f ( x) = lim f  −1 + ÷ = lim ï£ n 2 x →−1 n →∞ ï£ n  n →∞  1  2  −1 + + 1÷ ï£ n 
- 2. 3 1  1 = lim n 2  −1 + ÷ = −∞. 2 n →∞ ï£ n 3 x lim f ( x) = lim = +∞. x →+∞ x →+ 2( x + 1) 2 5o Asimptotat e funksionit. Drejtëza x = −1 është asimptotë vertikale e grafikut të 1 funksionit. Asimptotë horizontale nuk ka, kures drejtëza y = x − 1 është asimptotë e 2 pjerrtë. Me të vërtetë f ( x) x3 1 a = lim = lim = x →± ∞ x x →± ∞ 2 x ( x + 1) 2 2  x3 1  2 x2 + x b = lim ( f ( x) − ax) = lim  − x ÷ = − lim = −1 x →± ∞ x →± ∞ 2( x + 1) 2 2  x →± ∞ 2( x + 1) 2 ï£ 6o Rritja dhe zvogëlimi i funksionit. Kemi:  1 x 2 ( x + 3)   f '( x) − ÷ ⇒ ( f '( x) = 0) ⇒ ( x = 0) ∨ ( x = −3)). ï£ 2 ( x + 1)3  Formojmë tabelën: x (−∞, −3) -3 (-3, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞) f' + 0 - ∃ + 0 + f Z Max ] Z Z Prej nga vërejmë se funksioni është zvogëlues në intervalin (-3, -1) kurse në (−∞, −3) ∪ (−1, +∞) është rritës. Në pikën x = −3 funksioni ka maksimum dhe ate  3 Max  −3, −3 ÷. ï£ 8 7. Konkaviteti, konveksiteti dhe pikat e infeksionit. Kemi:  3x   f "( x) = ÷ ⇒ (( f "( x) = 0) ⇒ ( x = 0)). ï£ ( x + 1) 4  Formojmë tabelën x (−∞, −1) -1 (-1, 0) 0 (0, +∞) f" - ∃ - 0 + f konveks konveks Inf. Konkav Prej nga vërejmë se funksioni i dhënë është konveks në (−∞, −1) ∪ (−1, 0), kurse konkav në (0, +∞). Në pikën x = 0 funksioni ka infeksion dhe ate I (0, 0).
- 3. y −3 −1 O 2 x 1 y= x −1 1 2 3 −3 8 Fig. Shembull 2. Të shqyrtojmë dhe të paraqesim grafikisht funksioni x3 f ( x) = . x−2 Zgjidhje. 1o Zona e përkufizimit. Funksioni i dhënë është i përkufizuar për ato vlera të ndryshme x për të cilat:  x3   ≥ 0 ÷∧ ( x ≠2) ⇔ ( x ≤ 0 ∧ x − 2 < 0) ∧ x ≠2) ï£ x−2  ∨ ( x ≥ 0 ∧ x − 2 > 0) ∧ x ≠2) ⇔ ( x ≤ 0 ∧ x < 2) ∨ ( x ≥ 0 ∧ x > 2) ⇔ (−∞, 0] ∪ (2, +∞). 2 Funksioni është josimetrik o 3o Zerot dhe shenja e funksionit. Funksioni është jonegativ në tërë zonën e përkufizimit. dhe ( f ( x ) = 0) ⇒ ( x = 0). 4o Të sjellurit në skaje të zonës së përkufizimit. Kemi: x3 lim f ( x) = lim = +∞. x →−∞ x →−∞ x−2