More Related Content
What's hot (19)
Similar to Permutasi dan Kombinasi (20)
Permutasi dan Kombinasi
- 1. A. Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu 1.2.3. ... (n- 2).(n-1).n sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3. ... (n-2).(n-1).n = n! 1.2.3. ... (n-2)(n-1)n = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1, sehingga n! = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1. 1! = 1 dan 0 ! = 1 Selanjutnya didefinisikan: Contoh: 1) 2! = 1.2 = 2.1 = 2 2) 5! = 1.2.3.4.5 = 5.4.3.2.1 = 120 3) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 4) B. Permutasi Di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan. Suatu susunan n objek dalam urutan tertentu disebut suatu permutasi dari n objek tersebut. Susunan sebarang r obyek (r 贈 n) dari n objek dalam urutan tertentu disebut permutasi r atau permutasi r objek dari n objek yang diketahui. Elemen pertama dari permutasi n objek dapat dipilih dalam n cara yang berbeda, berikutnya elemen kedua dalam permutasi dapat dipilih dalam n-1 cara, dan berikutnya elemen ketiga dalam permutasi dapat dipilih dalam n-2 cara. Begitu seterusnya, dengan cara yang sama,
- 2. kita dapatkan elemen ke-2 (elemen yang terakhir) dalam permutasi r objek dapat dipilih dalam n (r 1) cara atau n (r 1) = n r + 1 cara. Teorema 1 P(n,r) = n(n-1)(n-2) ...(n-r+1) atau Membuktikan (n(n-1)(n-2) .... (n-r+1) = adalah sebagai berikut: n(n 1)(n 2) .... (n r + 1) = =
- 3. Contoh: 1. P(5,3) = 2. Berapakah banyak cara 10 orang duduk pada suatu tempat yang hanya dapat di duduki oleh 3 orang ? Penyelesaian: Diket: n = 10 r = 3 P (10,3) = = 720 cara 3. Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda, jika putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi? Penyelesaian: Diket: n = 8 r = 8 P(8,8) = = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40.320 cara Jika r = n, maka didapatkan:
- 4. P(n,n) = = = = n ! Teorema Akibat Ada n! permutasi dari n objek P(n,n) = n ! atau: Contoh: 1. Ada 3 orang akan membeli makanan. Penjual melayani satu demi satu secara berurutan. Ada berapa macam urutan pada waktu melayani 3 orang pembeli tersebut? Jawab: Misal ketiga orang tersebut adalah A, B, dan C. Banyak urutan pada waktu melayani ketiga orang tersebut adalah P(3,3) = 3 ! = 3.2.1 = 6 urutan. Urutan dalam melayani tersebut adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Permutasi Dengan Pengulangan Kadang-kadang kita ingin mengetahui banyaknya permutasi dari objek-objek yang beberapa di antaranya sama. Untuk itu digunakan teorema seperti berikut ini. Teorema 2 Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri atas n 1 objek sama, n 2 objek sama, .... ,n r objek sama adalah: Andaikan kita ingin membentuk semua kemungkinan dari 4 huruf yang terdapat pada kata MAMMI. Dalam kata MAMMI terdapat huruf yang sama, yaitu M sebanyak 3 buah. Jika ketiga huruf M dibedakan, yaitu M1, M2, dan M3, maka ada 5! = 5.4.3.2.1 = 120 permutasi dari huruf- huruf M1, A, M2, M3, I. Perhatikan keenam permutasi berikut ini: M1M2M3AI M1M3M2AI M2M1M3AI M2M3M1AI M3M1M2AI M3M2M1AI Jika indeks dihapus, maka keenam permutasi tersebut menjadi sama. Keenam permutasi berasal dari kenyataan bahwa ada 3 ! = 6 cara berbeda dari penempatan tiga M dalam posisi
- 5. pertama pada permutasi. Oleh karena itu ada permutasi yang dapat dibentuk oleh 5 huruf dari kata MAMMI. Contoh: 1. Hitunglah banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada tiap kata berikut ini. a. PERMUTASI b. EKSAKTA c. MATEMATIKA Jawab a. Kata PERMUTASI yang terdiri atas 9 huruf yang berbeda. Maka banyaknya permutasi dari ke-9 huruf yang terdapat dalam kata PERMUTASI = 9 ! = 322880. b. Kata EKSAKTA terdiri atas 7 huruf. Ternyata di antaranya ada yang sama, yaitu huruf K (sebanyak 2 buah) dan huruf A (sebanyak 2 buah). Maka banyaknya permutasi ke-7 huruf pada kata EKSAKTA adalah c. Kata MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf, dan di antaranya ada huruf yang sama, yaitu huruf A (3 buah), huruf T (2 buah), dan M (2 buah). Maka banyaknya permutasi dari ke-10 huruf pada kata MATEMATIKA = C. Kombinasi Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang. Notasi banyak kombinasi r objek dari n objek adalah: C(n, r) atau
- 6. Contoh: 1. Jika dari suatu kepengurusan suatu organisasi yang terdiri dari 8 orang ingin membentuk pengurus inti 3 orang sebagai Ketua, Sekretaris, dan Bendahara, maka dapat dibentuk: C(8, 3) = = 56 pengurus inti yang berbeda 2. Sebuah kantong memuat 5 bola merah, 3 bola hijau, dan 4 bola biru. Tiga bola diambil secara acak. Berapa banyak cara pengambilan bola jika bola yang terambil adalah: a. Ketiganya berwarna merah b. Dua merah dan satu hijau Penyelesaian: a. Diket: n = 5 r = 3 C (5,3) = b. Banyaknya cara terambil 2 merah = C(5,2) Banyaknya cara terambil 1 hijau = C(3,1) Maka: C(5,2) x C(3,1) = = = 10 x 3 = 30 cara Teorema 3 C(n, n-r) = C(n, r) Bukti: C(n, n-r) = C(n, r) = Terbukti: C (n, n-r) = C (n, r) Teorema 4 C(n + 1, r) = C(n, r-1) + C(n, r)
- 7. Bukti: C(n+1, r) = C(n, r-1) = C(n, r) = C(n, r-1) + C(n, r) = = = = Terbukti: C (n+1, r) = C (n, r-1) + C (n, r) Contoh: 1) C(5, 3) = C(5, 2) = Jadi: C(5, 3) = C(5, 2) 2) C(6, 4) = C(5, 3) = ; C(5, 4) = Jadi: C(5, 3) + C(5, 4) = 10 + 5 = 15 = C(6, 4) BAB III
- 8. PENUTUP naniksafitri05@gmail.com A. Kesimpulan Susunan objek-objek yang memperhatikan urutan dinamakan Permutasi dengan rumus Susunan objek-objek yang tidak memperhatikan urutan seperti ini dinamakan Kombinasi dengan rumus B. Saran Dalam menyusun makalah ini, penulis menyadari sepenuhnya bahwa isi makalah ini belum sempurna dan masih kurang baik mengenai materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya dan alangkah baiknya juga apabila kita terus mengembangkan berbagai makalah-makalah tentang Ilmu Pengetahuan Statistik Matematika di tengah-tengah masyarakat luas secara khusus dalam mahasiswa agar lebih mengerti bagaimana langkah-langkah yang lebih mudah dalam memecahkan suatu masalah dalam suatu permutasi dan kombinasi pada Ilmu Statistika Matematika.