Persamaan sturm
1 like862 views
Persamaan Sturm-Liouville mempelajari persamaan diferensial khusus dengan syarat batas tertentu. Persamaan tersebut memiliki solusi berupa fungsi-fungsi ortogonal yang terkait dengan nilai-nilai eigen. Teorema utama menyatakan bahwa nilai-nilai eigen harus positif agar memiliki solusi non-trivial, dan solusi-solusi terkait dengan nilai eigen yang berbeda akan ortogonal.
![untuk R B 0,1,2, . Jadi nilai-nilai eigennya adalah
2R < 1
?T B
2
untuk R B 0,1,2, . dan solusi persamaan diferensial di atas yang terkait dengan
nilai eigen ?T adalah
2R < 1
9T $8* B NO@ U V8
2
Selanjuntya, 9T $8* disebut fungsi eigen terkait dengan nilai eigen ?T .
Dari contoh di atas, persamaan diferensial akan mempunyai solusi non-
trivial jika ? H 0, dan tidak mempunyai solusi non-trivial jika ? W 0.
Teorema berikut memberikan pernyataan umum untuk persamaan diferensial tipe
Sturm-Viouville.
Teorema 1
Jika 9 adalah solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville yang terkait
dengan nilai eigen ? maka ? H 0 .
Bukti
Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas .
Keortogonal solusi-solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville
diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 2
Jika 9D dan 9E adalah dua solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville
berturut-turut yang terkait dengan nilai eigen ?D dan ?E , maka
Z
Y @$8*9D $8*9E $8*8 B 0
[
asalkan ?D ] ?E .
Bukti
Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas .](https://image.slidesharecdn.com/persamaansturm-120704223627-phpapp02/85/Persamaan-sturm-2-320.jpg)
Persamaan sturm
- 1. STURM-LIOU PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE Nama Sturm dan Liouville merujuk pada matematikawan swiss Jacques Sturm (1803-1855) dan matematika Perancis Joseph Liouville (1809-1882). Keduanya mempelajari masalah syarat tertentu dan perilaku solusinya. Ada dua alasan mengapa Persamaan diferensial perlu diberikan dalam kuliah ini : 1. Fungsi-fungsi ortogonal sebagai solusi persamaan diferensial yang memenuhi syarat batas Sturm-Viouville. 2. Penyelesaian persamaan differensial parsial menggunakan metode pemisahan variabel akan memerlukan persamaan diferensial tipe Sturm-Viouville. Persamaan diferensial Sturm-Viouville mempunyai bentuk / 67(8)9 / (8); < =>(8) < ?@(8)A9(8) B 0 yang terkait dengan syarat batas : CD 9(C) < CE 9 / (C) B 0 FD 9(F) < FE 9 / (F) B 0 dengan a) ? adalah nilai-eigen terkait dengan 9(8) b) CD , CE , FD , FE adalah bilangan-bilangan real c) 7, >, @ tiga fungsi yang continously differentiable pada =C, FA. d) 7(8) H 0 dan @(8) untuk setiap 8 I =C, FA . Contoh 1 Diberikan masalah syarat batas (? H 0) 9 // (8) < ?9(8) B 0 Dengan syarat batas : 9 / (0) B 0 dan 9(L) B 0 Solusi persamaan 9 // (8) < ?9(8) B 0 adalah 9(8) B MNO@(?8) < P@QR(?8) Dengan menggunakan syarat batas, maka solusi non-trivial akan diperoleh jika 2R < 1 ?B 2
- 2. untuk R B 0,1,2, . Jadi nilai-nilai eigennya adalah 2R < 1 ?T B 2 untuk R B 0,1,2, . dan solusi persamaan diferensial di atas yang terkait dengan nilai eigen ?T adalah 2R < 1 9T $8* B NO@ U V8 2 Selanjuntya, 9T $8* disebut fungsi eigen terkait dengan nilai eigen ?T . Dari contoh di atas, persamaan diferensial akan mempunyai solusi non- trivial jika ? H 0, dan tidak mempunyai solusi non-trivial jika ? W 0. Teorema berikut memberikan pernyataan umum untuk persamaan diferensial tipe Sturm-Viouville. Teorema 1 Jika 9 adalah solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville yang terkait dengan nilai eigen ? maka ? H 0 . Bukti Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas . Keortogonal solusi-solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville diberikan dalam teorema berikut. Teorema 2 Jika 9D dan 9E adalah dua solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Viouville berturut-turut yang terkait dengan nilai eigen ?D dan ?E , maka Z Y @$8*9D $8*9E $8*8 B 0 [ asalkan ?D ] ?E . Bukti Bukti dikerjakan oleh mahasiswa sebagai tugas .