�ݺ�ߣ

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI
FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC
DINAMICA STRUCTURILOR
MECANICE COMPLEXE
Coordonator ştiinţific:
Prof.univ.dr.ing. Cristian PAVEL
Doctorand:
Dip.Ing. Marius VLAD
Bucureşti -2014-
Disciplina electivă 1

SUBIECTE
Subiectul 1
 METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE ÎN STUDIUL
VIBRAȚIILOR SISTEMELOR DISCRETE
 Metoda iterației matriceale (METODA STODOLA)
Subiectul 2
 ANALIZA NUMERICĂ A VIBRAȚIILOR
 Transformata Fourier Discretă (DFT)
Transformata Fourier Rapidă (FFT)
Subiectul 3
 STABILITATEA MIȘCĂRII
 Sisteme dinamice neliniare.
Stabilitatea punctelor de echilibru. Portret de stare.

- Subiectul 1-
METODA ITERAȚIEI MATRICEALE (METODA STODOLA)
Din dezvoltarea determinantului pulsațiilor proprii se obțin,
în principiu, toate pulsațiile proprii ale unui sistem (de multe
ori nefiind necesare). Calculele devin foarte anevoioase când
numărul pulsațiilor proprii este mare, iar de multe ori nu este
necesară cunoașterea tuturor acestor valori.
Metoda Stodola oferă posibilitatea determinării celei mai mici
și celei mai mari pulsații proprii, precum și a formelor proprii
corespunzătoare acestora.

a) Pulsația proprie minimă
Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui sistem discret cu n grade
de libertate se pot scrie sub forma matriceală:
(1)       xmxk 
sau ținând seama că matricea coeficienților de influență,[α]
este [𝑘]−1 :
(2)
Pentru vibrații armonice, {x} = C∙cosωt, ecuația (2) devine:
(3)
       xmx  
       CmCk  2


sau va avea una dintre cele două forme:
(4 a)
(4 b)
Matricea coloană {C} = [C1, C2, ..., Cn]T definește forma
proprie corespunzătoare pulsației proprii ω.
       CmkC 
12

       CmC  2
Metoda iterației matriceale aplicată ecuației (4 a) permite
deteminarea pulsației minime (fundamentale) și a formei
proprii corespunzătoare. Pentru început se presupune o
formă proprie {C0}, care poate fi aleasă sub forma:
(5)   T
C 1,...,1,10 

Introducerea acestei prime aproximări în membrul
drept al ecuației (4a) reprezintă prima operație de iterație
matriceală și conduce la o valoare 𝜆1{𝐶1}:
(6)
Matricea {𝐶1} este rezultatul normalizării matricei
{𝐶1}′, astfel încât primul termen al său să fie 1. Dacă
diferența dintre ceilalți termeni ai matricelor {𝐶1} și {𝐶0} este
semnificativă, atunci se trece la o nouă iterație, ajungându-se
la matricea coloană {𝐶2} :
(7)
Operația de iterație matriceală se continuă până când
matricea obținută {𝐶 𝑛} este egală sau diferită foarte puțin de
precedenta, {𝐶 𝑛−1} . În acest caz se scrie egalitatea:
(8)
         1110
12
,
CCCmk 


       221
12
CCmk 


       nnn CCmk  

 1
12

din relația (8) se obține, prin identificare, valoarea pulsației
proprii minime:
(9)
Vectorul coloană {𝐶 𝑛} reprezintă forma proprie de vibrație
corespunzătoare primului mod de vibrație (cea de pulsație
minimă).
    12
min

 mkn
b) Pulsația proprie maximă
Valoarea acesteia se obține din ecuația (4 b), adusă la forma:
(10)
Folosind metoda iterației matriceale, prezentate, obținem:
(11)
       CmC 
 11
2
1


       nnn CCm  



1
11
2
1

Din relația (11) se obține pulsația proprie maximă:
(12)
Având forma proprie {𝐶 𝑛} corespunzătoare ultimului mod de
vibrație (cea de pulsație maximă).
    112
max
1 
 

 m
n
În majoritatea situațiilor practice și tehnice este suficientă
determinarea unui număr limitat de frecvențe proprii. Astfel,
metodele aproximative de determinare a acestor frecvențe –
printre care și metoda Stodola – stau la baza diferitelor
programe de calcul al vibrațiilor pe calculator.

- Subiectul 2 -
Transformata Fourier Discretă (DFT)
Transformata Fourier Rapidă (FFT)
Analiza numerică se bazează pe scheme de calcule
matematice pe calculator. În prezent există programe
specializate în prelucrarea numerică a semnalelor aleatoare,
precum și aparate bazate pe analize numerice în domeniul
vibrațiilor (analizoare în timp real, corelatoare, etc.)
Interesul principal în măsurările de vibrații îl constituie
evaluarea spectrului de frecvență al procesului aleator
{𝑥 𝑡 }prin prelucrarea numerică a seriilor de timp discrete
{𝑥 𝑘} . Această evaluare se obține direct, calculând
transformata Fourier a seriei de timp {𝑥 𝑘} sau indirect, din
transformata Fourier a funcției de autocorelație. Procedeul
prin care se calculează transformata Fourier pe baza unui
calcul numeric, poartă numele de Transformata Fourier
Discretă (DFT).

DFT se obține din exprimarea complexă a unui semnal:
(1)
În care coeficienții complecși 𝑋 𝑛 se determină cu relațiile:
(2)
Cantitatea de sub integrală capătă o valoare discretă la
timpul 𝑡 𝑘 = 𝑘∆𝑡:
(3)
unde, cu 𝑁 = 𝑇/∆𝑡 s-a notat numărul de eșantioane pe
durata 𝑇 .
Substituind (3) în (2), integrala mediată se poate înlocui
printr-o sumă de forma:
(4)




n
n
ti
n
n
eXtx 
)(
;
2
0
0
a
X  


T
T
t
ki
n dtetx
T
X
0
2
)(
1 
N
nk
i
k
T
tk
nki
T
t
ni
k exetkxetx
k
 222
)()(











1
0
21 N
k
N
nk
i
kn tex
tN
X


După simplificarea relației (4), se obține expresia formală a
transformatei Fourier directă a seriei {𝑥 𝑘}:
(5)
și a transformatei Fourier discretă inversă:
(6)
Domeniul componentelor 𝑋 𝑛 a fost redus de la 𝑛 = 0 la
𝑛 = 𝑁 − 1, pentru a menține simetria perechilor de
transformate Fourier și ele corespund armonicelor de
frecvență , în care frecvența fundamentală este
. Prin reducerea valorilor lui 𝑛, nu se pierd
informații despre armonicele superioare 𝑁 − 1, numărul
acestora fiind limitat de durata ∆𝑡.
1,...,2,1,0;
1 1
0
2
 



Nnex
N
X
N
k
N
nk
i
kn

1,...,2,1,0;
1
0
2
 


NneXx
N
k
N
nk
i
kn

t
n
T
n
nffn

 0
tNT
f


11
0

Distanța între componentele transformatei Fourier 𝑋 𝑛 este:
(7)
În care 𝑓𝑆 = 1/∆𝑡este frecvența de eșantionare. Intervalul de
frecvență ∆𝑓 definește rezoluția care poate fi obținută, având
la dispoziție 𝑁 valori eșantionate cu frecvența 𝑓𝑆 .
N
f
TnT
ff S



11
0
Transformata Fourier Rapidă (FFT) este un algoritm rapid,
adaptat pentru prelucrarea pe calculator a DFT.
Ideea care stă la baza algoritmului FFT constă în calculul
DFT al unui șir de valori {𝑥 𝑟} în funcție de de DFT pentru
două subșiruri ce-l compun pe acesta, unul cu eșantioane
pare, altul cu cele impare. În acest scop se poate scrie
succesiv, pornind de la relația (5):

(8)
Notând cu 𝑌𝑛 și 𝑍 𝑛 transformatele Fourier discrete (DFT)
pentru cele două subșiruri, potrivit definiției se scrie:
(9)
(10)
Introducând (10), (9) în (8) se obține:
(11)
Cu notația:
(12)
ecuația (11) devine:
(13)






  






 1
0
1
0
2/
22
2/
21
0
2 2 211
N N
k k
N
nk
i
k
N
n
i
N
nk
i
k
N
k
N
nk
i
kn ezeey
N
ex
N
X






1
0
2/
22
2/
1
N
k
N
nk
i
kn ez
N
Z

)12/(,...,2,1,0;
2
1 2








NnZeYX n
N
n
i
nn

N
i
eW
1
2

  )12/(,...,2,1,0;
2
1
 NnZWYX n
n
nn

Ecuația (13) se aplică doar pentru valori ale lui 𝑛
cuprinse între 0 și N/2-1, doar pentru jumătate din
coeficienții 𝑋 𝑛.
Cealaltă jumătate a coeficienților se determină direct, ținând
sema de faptul că 𝑌𝑛 și 𝑍 𝑛 sunt funcții periodice, de perioadă
N/2. Ca urmare, ecuația (13) se extinde pe întreg domeniul
de valori după cum urmează:
(14)
Aceste ultime două relații constituie esența
algoritmului FFT, de implementare pe calculator, iar
procedeul este întâlnit și sub numele de fluture (butterfly).
 n
n
nn ZWYX 
2
1
 n
n
nN
n
ZWYX 
 2
1
2
 12/,...,2,1,0  Nn

- Subiectul 3 -
Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de
echilibru. Portret de stare.
Sunt în continuare prezentate câteva variante de trasare a
traiectoriilor de stare:
1. Prin metode analitice se pot integra în raport cu variabila t
relațiile (2) și se poate obține o relație care să exprime
dependența dintre 𝑥1(𝑡) și 𝑥2(𝑡), în care variabila t să fie
implicită, nu explicită. Graficul accestei funcții pentru
diferite condiții inițiale reprezintă portretul de stare al
sistemului (2). Metoda este adesea anevoioasă.

2. Se poate determina direct ecuația traiectoriilor de stare:
𝑑 𝑥1
𝑑 𝑥2
=
𝑓1(𝑥1, 𝑥2)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2)
= 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
În ipoteza că 𝑓: ℛ2
→ ℛ2
este Lipschitziană, se poate scrie:
𝑥2 𝑡 = 𝑥20 + 𝑥10
𝑥1(𝑡)
𝑓( 𝑥. 𝑥2) 𝑑𝑥.
3. Metoda grafo-analitică (metoda izoclinelor) se bazează
pe observația că 𝑚 =
𝑑𝑥1
𝑑𝑥2
reprezintă panta la traiectoria
de stare în punctul (𝑥1, 𝑥2). O familie de izocline 𝑚 =
𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑐𝑡 se reprezintă grafic prin segmente
corespunzătoare pantei 𝑚. Pe baza acestor segmente se
pot trasa aproximativ traiectoriile de stare necesare.

4. Liniarizarea în jurul punctului de echilibru.
5. Se folosesc metode numerice de integrare pentru
determinarea traiectoriilor de stare.
Considerente generale
Fie sistemul dinamic neliniar autonom, invariant în timp:
𝑥 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ ℜ+
, 𝑓: ℜ 𝑛
→ ℜ 𝑛
(Lipschitziană) (1)
Se notează 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 ∈ ℜ 𝑛 condiția inițială.
Definiții:
1.Punctele 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 pentru care 𝑓 𝑎 = 0 𝑛, unde 0 𝑛 = [0 … 0] 𝑇
se numesc puncte de echilibru ale sistemului (1).
Observație: Un sistem dinamic neliniar poate admite un unic
punct de echilibru, un număr finit (diferit de 1) de puncte de
echilibru, o infinitate de puncte de echilibru sau nici un punct
de echilibru.

2. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛
al sistemului (1) este stabil
dacă ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿 > 0 astfel încât
𝑥0 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑥 𝑡 − 𝑎 < 𝜀.
3. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1) este global
stabil dacă este stabil ∀𝑥0.
al sistemului (1) este asimtotic
stabil dacă este stabil și lim
𝑡→∞
𝑥 𝑡 − 𝑎 = 0.
asimtotic stabil dacă este asimtotic stabil ∀𝑥0.
Observație: Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ 𝑛 al sistemului (1)
poate fi global asimtotic stabil numai dacă este unic.

al sistemului (1) este instabil
dacă nu este stabil.
instabil dacă este instabil ∀𝑥0 ≠ 𝑎.
Stabilitatea punctelor de echilibru se poate analiza ușor pe
baza traietoriilor de stare corespunzătoare unor puncte
reprezentative în raport cu punctele de echilibru.
Un punct de echilibru asimtotic stabil este atractor, în sensul
că atrage traiectoriile de stare ce pleacă dintr-o vecinătate a
punctului de echilibru. Propietatea nu este valabilă pentru
orice vecinătate. Mulțimiea de atracție a punctului de
echilibru include toate punctele din planul stărilor din care
pleacă traiectorii de stare atrase de punctul de echilibru.

Un punct de echilibru instabil este repulsor, în sensul că
pentru orice o vecinătate a sa se vor putea considera
traiectorii de stare care să plece dintr-un punct al respectivei
vecinătăți și care să fie respinse de punctul de echilibru.
O reprezentare simplă a traiectoriilor de stare se poate
obține în cazul sistemelor de ordinul II.
Pentru sistemele autonome de ordinul II, relația (1) se poate
scrie sub forma:
𝑥1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2)
𝑥2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) (2)
𝑓1,2: ℜ → ℜ, 𝑥1,2 ∈ ℜ.
Punctele de echilibru se pot determina rezolvând sistemul
algebric de ecuații:
𝑓1 𝑥1, 𝑥2 = 0
𝑓2 𝑥1, 𝑥2 = 0

Vă multumesc pentru
atenția acordată .
04.06.2013

�ݺ�ߣ

Prezentare electiva 1 ing.vlad marius DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE

More Related Content

What's hot (9)

Similar to Prezentare electiva 1 ing.vlad marius DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE (20)

More from Marius Vlad (6)

Prezentare electiva 1 ing.vlad marius DINAMICA STRUCTURILOR MECANICE COMPLEXE