![Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線
式を展開してみましょう。
m:ノットの数?6つ
n:次数???? 2次
ノットベクトル
t = [0,1,2,3,4,5]](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-28-320.jpg)
![Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線
m:ノットの数?6つ
n:次数???? 2次
t = [0,1,2,3,4,5]](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-29-320.jpg)
![Computer Aided Design m:ノットの数?6つ
B-Spline n:次数???? 2次
B-スプライン曲線 制御点の数?? 3つ
t = [0,1,2,3,4,5]](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-30-320.jpg)
![Computer Aided Design t = [0,1,2,3,4,5]
B-Spline ノットは1ずつ単純増加
t - ti
ti+1 - ti bi,0
t - ti
bi,1
ti+2 - ti ti+2 - t bi+1,0
ti+2 - ti+1
bi,2
t - ti+1
ti+2 - ti+1 bi+1,0
ti+3 - t
bi+1,1
ti+3 - ti+1 ti+3 - t
bi+2,0
ti+3 - ti+2](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-31-320.jpg)
![Computer Aided Design
B-Spline
i=0,...,2 のとき
t = [0,1,2,3,4,5]
1
0.75
P0 P1 P2
0.5 * *
*
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-39-320.jpg)
![Computer Aided Design m:ノットの数?7つ
B-Spline n:次数???? 2次
制御点を増やしてみる 制御点の数?? 4つ
t = [0,1,2,3,4,5,6]](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-41-320.jpg)
![Computer Aided Design
B-Spline
i=0,...,3 のとき
t = [0,1,2,3,4,5,6]
1
0.75
P0 P1 P2 P3
0.5
0.25
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-42-320.jpg)
![Computer Aided Design
Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7]
1
0.75
P0 P1 P2 P3
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-49-320.jpg)
![Computer Aided Design
Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7,8]
1
P0 P1 P2 P3 P4
0.75
0.5
0.25
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-50-320.jpg)
![Computer Aided Design
B-Spline
非一様Bスプライン曲線
n次のB-Splineの場合、n+1個ノットを重ねれば
セグメントの端点を制御点に一致させることが出来る
2次の場合、t=[0,0,0,1,2,3,4,5,5,5]など。
3次の場合、t=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]など。](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-56-320.jpg)
![Computer Aided Design
B-Spline
両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線は、
同じ次数のベジェ曲線と等しい
ex) ノットベクトル＝[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]の３次B-Spline
は、3次Bezier曲線と等しい](https://image.slidesharecdn.com/20120612designtheory3rd-120620082231-phpapp01/85/SFC-Design-theory-2012-6-20-60-320.jpg)
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- 43. Computer Aided Design B-Spline 制御点4点の2次B-splineをプログラムで確認 http://www.openprocessing.org/sketch/64342
- 44. Computer Aided Design Bezier ちなみに、2次のベジェ曲線は 1 P0 P2 P4 0.75 0.5 P1 P3 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 -0.25
- 45. Computer Aided Design Cubic B-Spline 3次のB-スプライン曲線を考えてみる
- 46. t - ti ti+1 - ti bi,0 Computer Aided Design t - ti bi,1 ti+2 - ti ti+2 - t bi+1,0 Cubic B-Spline ti+2 - ti+1 t - ti bi,2 ti+3 - t t - ti+1 ti+2 - ti+1 bi+1,0 ti+3 - t bi+1,1 ti+3 - ti+1 ti+3 - t ti+3 - ti+2 bi+2,0 bi,3 t - ti ti+2 - ti bi+1,0 t - ti+1 bi+1,1 ti+3 - ti+1 ti+3 - t bi+2,0 ti+3 - ti+2 ti+4 - t bi+1,2 ti+4 - ti+1 t - ti+2 ti+3 - ti+2 bi+2,0 ti+4 - t bi+2,1 ti+4 - ti+2 ti+4 - t ti+4 - ti+3 bi+3,0
- 47. Computer Aided Design Cubic B-Spline i=0 のとき
- 48. Computer Aided Design Cubic B-Spline 1 0.75 0.5 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
- 49. Computer Aided Design Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7] 1 0.75 P0 P1 P2 P3 0.5 0.25 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
- 50. Computer Aided Design Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7,8] 1 P0 P1 P2 P3 P4 0.75 0.5 0.25 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8
- 51. Computer Aided Design Cubic Bezier 1 P3 P6 0.75 P0 0.5 P1 P2 P4 P5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
- 52. Computer Aided Design B-Spline n次(n=1～6)のB-Splineをプログラムで確認 http://www.openprocessing.org/sketch/64344
- 53. Computer Aided Design B-Spline n次のB-splineは、セグメントの接続点(ノット)で Cn-1連続性を持つ 3次以上のB-splineを用いれば、曲率連続の自由曲線 を描くことが出来る
- 54. Computer Aided Design B-Spline しかし、B-splineは制御点を通らないため扱いにくい 端点を指定出来た方がCADにおいて扱いやすい
- 55. Computer Aided Design B-Spline 非一様Bスプライン曲線 ノットベクトルを非一様に増加する値にし、 ノットを多重化させる事で制御点から始まる曲線や 制御点を通る曲線、制御点で折れる線等の指定を 可能にした曲線の表現形式
- 56. Computer Aided Design B-Spline 非一様Bスプライン曲線 n次のB-Splineの場合、n+1個ノットを重ねれば セグメントの端点を制御点に一致させることが出来る 2次の場合、t=[0,0,0,1,2,3,4,5,5,5]など。 3次の場合、t=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]など。
- 57. Computer Aided Design B-Spline n次(n=1～6)の始点と終点にノットを重ねた 非一様なB-Splineをプログラムで確認 http://www.openprocessing.org/sketch/64345
- 58. Computer Aided Design B-Spline CADソフトウェア上で曲線の連続性を確認
- 59. Computer Aided Design B-Spline 両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線と ベジェ曲線の比較 http://www.openprocessing.org/sketch/64347
- 60. Computer Aided Design B-Spline 両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線は、 同じ次数のベジェ曲線と等しい ex) ノットベクトル＝[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]の３次B-Spline は、3次Bezier曲線と等しい
- 61. Computer Aided Design B-Spline 多重ノットにした端点は最初の制御点と一致するが、 その点において他のB-Spline曲線と接続しても連続性は 保証されない。(Bezierと同様) 連続性を保って接続したい場合は注意が必要
- 62. Computer Aided Design NURBS 非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)
- 63. Computer Aided Design NURBS 非一様有理Bスプライン曲線(NURBS) 各制御点に重みを与えて、制御点毎に影響の強さを変える →１制御点レベルでの細かい調整が可能になる
- 64. Computer Aided Design NURBS 非一様有理Bスプライン曲線(NURBS) * * *
- 65. Computer Aided Design NURBS 非一様有理Bスプライン曲線(NURBS) 有理曲線ではないベジェ曲線、B-Splineでは厳密な 円弧を描画することが出来ない 円弧等の円錐曲線を数学的に正しく描画するために 有理曲線が使われる
- 66. Computer Aided Design NURBS NURBSをプログラムで確認 http://www.openprocessing.org/sketch/64350