![Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей через точку
с абсциссой х [а; b+ и перпендикулярной оси Ох. Будем предполагать, что
1) функция S(x) непрерывна на *а; b];
2)для любых x1 и x2 из *а; b] сечения тела D плоскостями х = x1 и х = x1 таковы,
что одно из них проектируется в другое.](https://image.slidesharecdn.com/random-130126094754-phpapp01/85/-4-320.jpg)
![Отрезок [а; b] точками
xi a
b a
i, i 0,1,....,т,
n
b a
разобьем на п отрезков *хi—1 ; хi+ длины xi xi xi 1
n
Пусть тi и Mi — наименьшее и наибольшее значения функции S(x) на отрезке
[хi—1 ; хi] .
Плоскостями х = хi, где i = 1, 2, ..., п — 1, тело D разобьем на n слоев. Выделим i-й слой,
соответствующий отрезку *хi—1 ; хi+, и построим два цилиндра высрты Δ хi :
один с основанием площади Mi , содержащий i-й слой, а другой с основанием
площадитi , содержащийся в i-м слое
Объемы этих цилиндров равны Mi Δ хi и тi Δ хi.
Произведя указанные построения для каждого слоя,
получим два ступенчатых тела D'n и D"n таких,
что D'n < D < D''n.Их объемы равны
n n
V 'n mi xi V ''n M i xi
i 1 i 1
Так как функция S(x) непрерывна, то V'n и V"n при п —> ∞
b
имеют один и тот же предел, равный S ( x)dx
a b
S ( x)dx
Следовательно, объем тела D вычисляется по формуле a](https://image.slidesharecdn.com/random-130126094754-phpapp01/85/-5-320.jpg)
![Телом вращения называется такое тело, которое
плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой
(оси вращения), пересекается по кругам, с центрами на
этой прямой.
Y=f(x)> 0,
Каждая плоскость, перпендикулярная оси OX и
пересекающая отрезок [a;b] этой оси в точке x, даёт в
сечении с телом круг радиуса f(x) и площади S ( x) * f ( x)
b
2
b
Из формулы S ( x)dx получаем V f 2 dx
a
. a](https://image.slidesharecdn.com/random-130126094754-phpapp01/85/-6-320.jpg)
More Related Content
What's hot (9)
Viewers also liked (19)
Similar to вычисление объема тела по площадям его параллельных (20)
вычисление объема тела по площадям его параллельных
- 1. • Работу выполнил: • Мазур Артём Андреевич • Гр 1-11 • 25.01.2013
- 2. • Вычисление объема тела по площадям его параллельных сечений
- 3. • Древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением. Среди замечательных греческих ученых V - IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит и Евдокс Книдский. • Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут V = 2 см3.
- 4. Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х [а; b+ и перпендикулярной оси Ох. Будем предполагать, что 1) функция S(x) непрерывна на *а; b]; 2)для любых x1 и x2 из *а; b] сечения тела D плоскостями х = x1 и х = x1 таковы, что одно из них проектируется в другое.
- 5. Отрезок [а; b] точками xi a b a i, i 0,1,....,т, n b a разобьем на п отрезков *хi—1 ; хi+ длины xi xi xi 1 n Пусть тi и Mi — наименьшее и наибольшее значения функции S(x) на отрезке [хi—1 ; хi] . Плоскостями х = хi, где i = 1, 2, ..., п — 1, тело D разобьем на n слоев. Выделим i-й слой, соответствующий отрезку *хi—1 ; хi+, и построим два цилиндра высрты Δ хi : один с основанием площади Mi , содержащий i-й слой, а другой с основанием площадитi , содержащийся в i-м слое Объемы этих цилиндров равны Mi Δ хi и тi Δ хi. Произведя указанные построения для каждого слоя, получим два ступенчатых тела D'n и D"n таких, что D'n < D < D''n.Их объемы равны n n V 'n mi xi V ''n M i xi i 1 i 1 Так как функция S(x) непрерывна, то V'n и V"n при п —> ∞ b имеют один и тот же предел, равный S ( x)dx a b S ( x)dx Следовательно, объем тела D вычисляется по формуле a
- 6. Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам, с центрами на этой прямой. Y=f(x)> 0, Каждая плоскость, перпендикулярная оси OX и пересекающая отрезок [a;b] этой оси в точке x, даёт в сечении с телом круг радиуса f(x) и площади S ( x) * f ( x) b 2 b Из формулы S ( x)dx получаем V f 2 dx a . a