Задачи Пятой олимпиады Эйлера учителей Санкт-Петербурга
- 1. Уважаемые коллеги! Вам предлагаются два блока заданий: №1 – №7. «Математический» (задачи для решения). №8 – №12. «Методический» (задания, моделирующие работу учителя). Среди предложенных заданий есть и достаточно трудные; присылайте Ваши решения, даже если Вам не удалось выполнить некоторые из этих заданий. Единственное условие ― в работе должны быть представлены задания из обоих блоков. Желаем успеха! Жюри конкурса I. Математический блок 1. Найдите число натуральных корней уравнения x x 1 . 2010 2011 2. Решите уравнение 2 log 3 (ctg x) log 2 (cos x) . 3. Пусть a 0, b 0, c 0 и a b c 1 . Докажите, что a bc b ca c ab 3 . a bc b ca c ab 2 4. Две непересекающиеся окружности расположены так, что одна из их общих внутренних касательных перпендикулярна одной из их общих внешних касательных. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными и третьей общей касательной данных окружностей, если их радиусы — r1 и r2 . 5. Найдите все натуральные значения n такие, что число n 4 64n является составным. 6. Сфера касается всех ребер тетраэдра, два противоположных ребра которого равны a и b, а все остальные ребра равны между собой. Найдите радиус этой сферы. 7. Функция f (x ) непрерывна и положительна и f ( x 1) f ( x) при всех действительных x. 1 f ( x 0,5) а) Докажите, что f ( x) dx 1 . 0 1 f ( x ) б) Найдите все значения такие, что f ( x) dx 1 . 0 1
- 2. II. Методический блок А. Ниже приводятся решения двух задач (№№8,9). Оцените каждое из решений и полученные ответы. Укажите все ошибки и недочеты. 8. Решите уравнение 3 4x 5 . log 2 x Ответ: {2} . Решение. Функция y log 2 x ― функция возрастающая, значит, y 3 ― log 2 x функция убывающая. С другой стороны, y 4 x 5 ― функция возрастающая, следовательно, уравнение 3 4 x 5 имеет не более одного корня. Подбором log 2 x находим x 2 . 9. Из двух групп лыжников общей численностью 100 человек составили сборную команду из 15 человек. Первая группа выделила p% своего состава, а вторая — 10% своего состава. Сколько всего лыжников в каждой группе? Ответ: 50 и 50, 20 и 80, 10 и 90. Решение. Обозначим через x число лыжников в первой группе, а через y ― число лыжников во второй группе. Тогда x 500 , x y 100, p 10 где 15 p 100 . 100( p 15) px 10 y 1500 y p 10 , 500 Поскольку x ― целое число, то p 10 ― также целое число, следовательно, число p 10 является делителем 500. Перебором находим ответ: p x y 20 50 50 35 20 80 60 10 90 Б. Решите задачи №№10,11,12 возможно большим числом способов (различными считаются способы, использующие различные математические идеи, а также различные технические приемы реализации одной и той же идеи). Укажите место каждого из использованных Вами способов решения в школьном курсе математики. 10. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен квадрат ABDE в той полуплоскости, которой не принадлежит треугольник ABC. Найдите расстояние от вершины С прямого угла данного треугольника до центра квадрата, если известно, что BC a , AC b . 11. Решите уравнение 27 x 7 3 7 3x 6 6 . 12. Докажите неравенство P 4 R , где P ― периметр, а R ― радиус описанной окружности остроугольного треугольника. 2