![Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
14](https://image.slidesharecdn.com/anastrofoiantistrofoi-151030083358-lva1-app6892/85/-37-320.jpg)
![Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
14](https://image.slidesharecdn.com/anastrofoiantistrofoi-151030083358-lva1-app6892/85/-38-320.jpg)
![Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
14](https://image.slidesharecdn.com/anastrofoiantistrofoi-151030083358-lva1-app6892/85/-39-320.jpg)
![Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
14](https://image.slidesharecdn.com/anastrofoiantistrofoi-151030083358-lva1-app6892/85/-40-320.jpg)
![Άσκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα
[
1 3
2 4
]
είναι ο
[
−2 3
2
1 −1
2
]
.
Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1
Α)
[
1 2
3 1
]
Β)
[
1
0
]
Γ)
[
0
3
]
Δ)
[
1
2 0
−0 1
]
Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
[
1 3
2 4
]
x =
[
1
2
]
άρα
[ ] [ ] [ ] 14](https://image.slidesharecdn.com/anastrofoiantistrofoi-151030083358-lva1-app6892/85/-41-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (15)
Similar to Ανάστροφοι και Αντίστροφοι Πίνακες (20)
Recently uploaded (20)
Ανάστροφοι και Αντίστροφοι Πίνακες
- 1. αντίστροϕος πίνακα Μάγδα Φώτη 30/10/2015 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
- 2. Διαδικαστικά ∙ Φροντιστήρια δεν θα πραγματοποιηθούν σήμερα και αύριο. 1
- 3. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας δίνει τον ταυτοτικό πίνακα. 2
- 4. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας δίνει τον ταυτοτικό πίνακα. AA−1 = A−1 A = I 2
- 5. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας δίνει τον ταυτοτικό πίνακα. AA−1 = A−1 A = I Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που αναιρεί την δράση του εν λόγω πίνακα. 2
- 6. Αντίστροϕος - Αντιστρέψιµος Πίνακας Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που συμβολίζουμε με A−1, ο οποίος αν πολλαπλασιαθεί με τον A μας δίνει τον ταυτοτικό πίνακα. AA−1 = A−1 A = I Αντίστροφος του πίνακα A είναι ο πίνακας που αναιρεί την δράση του εν λόγω πίνακα. Αντιστρέψιμος πίνακας είναι κάθε πίνακας που έχει αντίστροφο. 2
- 7. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I 3
- 8. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D 3
- 9. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 3
- 10. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 D−1 = 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9 ∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = 3
- 11. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 D−1 = 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9 ∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P. ∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒ ( Ek,l(p) )−1 = 3
- 12. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 D−1 = 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9 ∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P. ∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒ ( Ek,l(p) )−1 = Ek,l(−p). 3
- 13. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 D−1 = 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9 ∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P. ∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒ ( Ek,l(p) )−1 = Ek,l(−p). E3,1 (6) = 1 0 0 0 0 1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 1 , 3
- 14. Παραδείγµατα Αντίστροϕων Πινάκων ∙ I−1 = I ∙ D διαγώνιος πίνακας ⇒ D−1 διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα αντίστροφα αντίστοιχα στοιχεία του D D = 1 0 0 0 6 0 0 0 9 D−1 = 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 9 ∙ P πίνακας αντιμετάθεσης ⇒ P−1 = P. ∙ Ek,l(p) θεμελειώδης πίνακας ⇒ ( Ek,l(p) )−1 = Ek,l(−p). E3,1 (6) = 1 0 0 0 0 1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 1 , ( E3,1 (6) )−1 = E3,1 (−6) = 1 0 0 0 0 1 0 0 −6 0 1 0 0 0 0 1 3
- 15. Υπολογισµός Αντίστροϕου Πίνακα Να υπολογισθεί ο αντίστροφος ενός δοθέντος πίνακα A A ( A−1 ) = I → Avj = ej , j = 1, 2, . . . , n όπου vj η j-στη στήλη του A−1 και όπου ej η j-στη στήλη του I. Αλγόριθμος 1. Λύνω γιά j = 1, . . . , n τα γραμμικά συστήματα Avj = ej . 2. Τα vj είναι οι αντίστοιχες στήλες του A−1. 4
- 16. Ορισµός αντιστρόϕου Ο αντίστροφος ενός πίνακα A είναι ένας άλλος πίνακας B τέτοιος ώστε AB = BA = I Ο αντίστροφος συνήθως συμβολίζεται με A−1. 5
- 17. Αντίστροϕος του αντίστροϕου Θεώρημα Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Δηλαδή ( A−1 )−1 = A . Proof. 6
- 18. Αντίστροϕος του αντίστροϕου Θεώρημα Ο αντίστροφος του αντίστροφου ενός πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Δηλαδή ( A−1 )−1 = A . Proof. AA−1 = A−1 A = I. 6
- 19. Αντίστροϕος γινοµένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. 7
- 20. Αντίστροϕος γινοµένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B−1 A−1 . Proof. 7
- 21. Αντίστροϕος γινοµένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B−1 A−1 . Proof. ( B−1 A−1 ) (AB) = B−1 ( A−1 A ) B = B−1 IB = B−1 B = I. 7
- 22. Αντίστροϕος γινοµένου Θεώρημα Ο αντίστροφος του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο, με αντίστροφη σειρά, των αντιστρόφων τους. Δηλαδή (AB)−1 = B−1 A−1 . Proof. ( B−1 A−1 ) (AB) = B−1 ( A−1 A ) B = B−1 IB = B−1 B = I. (AB) ( B−1 A−1 ) = A ( BB−1 ) A−1 = AIA−1 = AA−1 = I. 7
- 23. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. 8
- 24. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε B 8
- 25. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε B = BI 8
- 26. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε B = BI = B(AC) 8
- 27. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε B = BI = B(AC) = (BA)C = 8
- 28. Μοναδικότητα αντιστρόϕου Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος αυτός είναι μοναδικός. Proof. Έστω ότι υπάρχουν δύο αντίστροφοι του A ο B και ο C. Τότε B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. 8
- 29. Αντίστροϕος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε ∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b 9
- 30. Αντίστροϕος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε ∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b ∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Proof. Ax = b 9
- 31. Αντίστροϕος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε ∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b ∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Proof. Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b 9
- 32. Αντίστροϕος και λύσεις Θεώρημα Αν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα A τότε ∙ υπάρχει μοναδική λύση του συστήματος Ax = b για οποιοδήποτε b ∙ και η μόνη λύση του ομογενούς συστήματος είναι η μηδενική. Proof. Ax = b ⇒ A−1 Ax = A−1 b ⇒ x = A−1 b. 9
- 33. Ύπαρξη αντιστρόϕου Θεώρημα O αντίστροφος ενός πίνακα A υπάρχει ανν όλα τα οδηγά στοιχεία μετά την απαλοιφή με οδήγηση του A είναι μη μηδενικά. Proof. Για να υπάρχει πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις στήλες του. Πρέπει δηλαδή τα συστήματα Avj = ej για j = 1, 2, . . . , n να έχουν όλα λύση. 10
- 34. Αντίστροϕος τριγωνικού Θεώρημα O αντίστροφος ενός άνω(κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω(κάτω) τριγωνικός πίνακας. Proof. Εύκολη αλλά θέλει τον χρόνο της και είναι βαρετή. 11
- 35. εξέταση προόδου
- 36. Άσκηση EA = 1 0 0 0 1 π 0 0 1 2 2 4 0 1 −3 −2 7 4 =?? Α) 2 2 4 −2π 1 + 7π −3 + 4π −2 7 4 Β) 2 2 4 0 1 −3 2π − 2 2π + 7 4π + 4 Γ) 2 2 4 + 2π 0 1 −3 + π −2 7 4 + 7π Δ) 2 2 4 0 1 −3 −2 π + 7 4 − 3π 13
- 37. Άσκηση Ο αντίστροφος του πίνακα [ 1 3 2 4 ] είναι ο [ −2 3 2 1 −1 2 ] . 14
- 38. Άσκηση Ο αντίστροφος του πίνακα [ 1 3 2 4 ] είναι ο [ −2 3 2 1 −1 2 ] . Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 14
- 39. Άσκηση Ο αντίστροφος του πίνακα [ 1 3 2 4 ] είναι ο [ −2 3 2 1 −1 2 ] . Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) [ 1 2 3 1 ] Β) [ 1 0 ] Γ) [ 0 3 ] Δ) [ 1 2 0 −0 1 ] 14
- 40. Άσκηση Ο αντίστροφος του πίνακα [ 1 3 2 4 ] είναι ο [ −2 3 2 1 −1 2 ] . Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) [ 1 2 3 1 ] Β) [ 1 0 ] Γ) [ 0 3 ] Δ) [ 1 2 0 −0 1 ] Δικαιολογήστε την απάντησή σας 14
- 41. Άσκηση Ο αντίστροφος του πίνακα [ 1 3 2 4 ] είναι ο [ −2 3 2 1 −1 2 ] . Ποιά είναι η λύση του συστήματος 2x1 + 4x2 = 2 x1 + 3x2 = 1 Α) [ 1 2 3 1 ] Β) [ 1 0 ] Γ) [ 0 3 ] Δ) [ 1 2 0 −0 1 ] Δικαιολογήστε την απάντησή σας Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων [ 1 3 2 4 ] x = [ 1 2 ] άρα [ ] [ ] [ ] 14
- 42. Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε πραγματικό αριθμό r ̸= 0 ισχύει (rA)−1 = 1 r A−1 15
- 43. Άσκηση Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε πραγματικό αριθμό r ̸= 0 ισχύει (rA)−1 = 1 r A−1 ( 1 r A−1 )rA = (r( 1 r A−1 ))A = A−1 A = I 15
- 44. Άσκηση Είναι ο πίνακας A = 1 2 3 1 2 4 1 2 5 Αντιστρέψιμος? A Ναι. B Όχι. Γ Ίσως. D Τα έχω χαμένα. 16
- 45. Άσκηση Είναι ο πίνακας B = 1 1 1 2 2 2 3 4 5 αντιστρέψιμος? Α Ναι. Β Όχι. Γ Ίσως. 17
- 46. Άσκηση Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα 1 1 1 2 −1 0 3 4 5 x = 0 0 0 έχει σαν λύση μόνον την x = ⃗0 τι ισχύει για το σύστημα 1 1 1 2 −1 0 3 4 5 x = −1 7 −3 ? 18
- 47. Άσκηση Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα 1 1 1 2 −1 0 3 4 5 x = 0 0 0 έχει σαν λύση μόνον την x = ⃗0 τι ισχύει για το σύστημα 1 1 1 2 −1 0 3 4 5 x = −1 7 −3 ? Α Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x. Β Υπάρχει το πολύ μια λύση x. Γ Και τα δύο απο τα παραπάνω Δ Τίποτε απο τα παραπάνω. 18
- 48. Άσκηση Η ισότητα (A + B)T = AT + BT ισχύει Α Για κάθε ζεύγος n × n πινάκων A και B. Β Για κανένα ζεύγος n × n πινάκων A και B. Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n πινάκων A και B ενώ για άλλα δεν ισχύει 19
- 49. Άσκηση Η ισότητα (A + B)−1 = A−1 + B−1 ισχύει Α Για κάθε ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B. Β Για κανένα ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B. Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B ενώ για άλλα δεν ισχύει 20