Προβολή σε ευθεία - Ελάχιστα Τετράγωνα - Οίζουσες
0 likes5,520 views
θεωρία και παραδείγματα
![Παραδείγµατα
∙ Προβολή του
1
2
3
στο
1
1
1
∙ Πίνακας προβολής στο
1
1
1
και στο
[
cos θ
sin θ
]
6](https://image.slidesharecdn.com/dialekseis-gr-algebras-3-151214055648/85/-17-320.jpg)
![Παράδειγµα
x1 − x2 = 2, x1 + x2 = 4, 2x1 + x2 = 8
AT
A =
[
6 2
2 3
]
, AT
b =
[
22
10
]
13](https://image.slidesharecdn.com/dialekseis-gr-algebras-3-151214055648/85/-34-320.jpg)
![Παράδειγµα
x1 − x2 = 2, x1 + x2 = 4, 2x1 + x2 = 8
AT
A =
[
6 2
2 3
]
, AT
b =
[
22
10
]
¯x =
[
23/7
8/7
]
, b − A¯x =
−1/7
−3/7
2/7
13](https://image.slidesharecdn.com/dialekseis-gr-algebras-3-151214055648/85/-35-320.jpg)
![Παράδειγµα
A =
3 −6
4 −8
0 1
, b =
−1
7
2
Q =
3
5 0
4
5 0
0 1
, R =
[
5 −10
0 1
]
Προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων QTb =
[
5
2
]
26](https://image.slidesharecdn.com/dialekseis-gr-algebras-3-151214055648/85/-51-320.jpg)
More Related Content
What's hot (20)
Similar to Προβολή σε ευθεία - Ελάχιστα Τετράγωνα - Οίζουσες (20)
Recently uploaded (20)
Προβολή σε ευθεία - Ελάχιστα Τετράγωνα - Οίζουσες
- 1. προβολή σε ευθεία - ελάχιστα τετράγωνα Μανόλης Βάβαλης 27/12/2015 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
- 2. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. 1
- 3. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. ⇕ Ax = 0, b = AT y 1
- 4. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. ⇕ Ax = 0, b = AT y ⇕ bT x = 1
- 5. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. ⇕ Ax = 0, b = AT y ⇕ bT x = (AT y)T x = 1
- 6. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. ⇕ Ax = 0, b = AT y ⇕ bT x = (AT y)T x = yT Ax = 1
- 7. N(A) = ( R(AT ) )⊥ Έστω x στοιχείο του μηδενόχωρου και b του χώρου γραμμών. ⇕ Ax = 0, b = AT y ⇕ bT x = (AT y)T x = yT Ax = y0 = 0 1
- 8. Προβολή σε ευθεία του Rn Να βρεθεί η προβολή p του b επάνω στην ευθεία που ορίζει το a ⇕ Να βρεθεί το πλησιέστερο στο b σημείο p της ευθείας που ορίζει το a 2
- 9. Προβολή σε ευθεία του Rn 3
- 10. Προβολή σε ευθεία του Rn 4
- 11. Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 5
- 12. Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 ∙ είναι η p = aTb aTa a 5
- 13. Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 ∙ είναι η p = aTb aTa a ∙ με αντίστοιχο πίνακα προβολής P = aaT aTa 5
- 14. Η προβολή p ενός διανύματος b ∈ Rn σε μια ευθεία a ∈ Rn που περνάει απο το 0 ∙ είναι η p = aTb aTa a ∙ με αντίστοιχο πίνακα προβολής P = aaT aTa ∙ που είναι συμμετρικός και τάξης 1 5
- 15. Παραδείγµατα ∙ Προβολή του 1 2 3 στο 1 1 1 6
- 16. Παραδείγµατα ∙ Προβολή του 1 2 3 στο 1 1 1 ∙ Πίνακας προβολής στο 1 1 1 6
- 17. Παραδείγµατα ∙ Προβολή του 1 2 3 στο 1 1 1 ∙ Πίνακας προβολής στο 1 1 1 και στο [ cos θ sin θ ] 6
- 19. Ανισότητα του Schwarz Αποδείξτε ότι |aT b| ≤ ||a||||b||, ∀a, b ∈ Rn 7
- 20. Εϕαρµογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b 8
- 21. Εϕαρµογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b /∈ R(A). 8
- 22. Εϕαρµογή Υπολογίστε x τέτοιο ώστε Ax = b και b /∈ R(A). 8
- 23. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b /∈ R(A) τότε 9
- 24. Ελάχιστα Τετράγωνα Αν Ax = b και b /∈ R(A) τότε μια προσέγγιση της λύσης x είναι η λύση y του συστήματος Ay = p όπου p η προβολή του b στον R(A). 9
- 25. Ελάχιστα Τετράγωνα Ax = b 10
- 26. Ελάχιστα Τετράγωνα Ax = b ⇒ AT Ax = AT b 10
- 27. Ελάχιστα Τετράγωνα Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = ( AT A )−1 AT b 10
- 28. Ελάχιστα Τετράγωνα Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = ( AT A )−1 AT b Πράγματι AT (Ax − b) = 0 10
- 29. Ελάχιστα Τετράγωνα Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = ( AT A )−1 AT b Πράγματι AT (Ax − b) = 0 10
- 30. Παράδειγµα 1 4 1 5 0 6 x = 4 5 6 11
- 31. Θεώρηµα (χωρίς απόδειξη) Έστω A ∈ Rm×n και b /∈ Rn τότε ∙ Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b 12
- 32. Θεώρηµα (χωρίς απόδειξη) Έστω A ∈ Rm×n και b /∈ Rn τότε ∙ Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του συστήματος Ax = b ικανοποιεί την εξίσωση AT Ax = AT b ∙ Εάν οι στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες τότε ο AT A είναι αντιστρέψιμος και x = ( AT A )−1 AT b. 12
- 33. Παράδειγµα x1 − x2 = 2, x1 + x2 = 4, 2x1 + x2 = 8 13
- 34. Παράδειγµα x1 − x2 = 2, x1 + x2 = 4, 2x1 + x2 = 8 AT A = [ 6 2 2 3 ] , AT b = [ 22 10 ] 13
- 35. Παράδειγµα x1 − x2 = 2, x1 + x2 = 4, 2x1 + x2 = 8 AT A = [ 6 2 2 3 ] , AT b = [ 22 10 ] ¯x = [ 23/7 8/7 ] , b − A¯x = −1/7 −3/7 2/7 13
- 36. Τα διανύσματα q1, q2, . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν ∙ είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. 14
- 37. Τα διανύσματα q1, q2, . . . , qk ∈ Rn είναι ορθοκανονικά όταν ∙ είναι ορθογώνια μεταξύ τους και έχουν μήκος 1. ∙ δηλαδή όταν qT i qj = { 0, i ̸= j; 1, i = j. 14
- 38. Ορθογώνιος Πίνακας Ένας τετραγωνικός πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος εάν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές. 15
- 39. Ιδιότητες Ορθογώνιου Πίνακα Q−1 = QT ||Qx|| = ||x|| (Qx)T(Qx) = xTx ( ˆQx, Qy) = ( ˆx, y) 16
- 40. Βρες τις συντεταγμένες ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ενός σημείου στον n-διάστατο χώρο. 17
- 41. Βρες τις συντεταγμένες ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ενός σημείου στον n-διάστατο χώρο. ⇕ Γράψε ένα διάνυσμα b ∈ Rn σαν γραμμικό συνδυασμό ενός συνόλου ορθοκανονικών διανυσμάτων q1 , q2 , . . . , qn ∈ Rn . 17
- 42. ⇕ Υπολόγισε x1, x2, . . . , xn ∈ R τ.ω. b = x1q1 + x2q2 + . . . xnqn 18
- 43. ⇕ Υπολόγισε x1, x2, . . . , xn ∈ R τ.ω. b = x1q1 + x2q2 + . . . xnqn ⇕ b = (qT 1 b)q1 + (qT 2 b)q2 + . . . + (qT n b)qn 18
- 44. προβολή σε επίπεδο = άθροισμα των προβολών σε ορθοκανονικές συντεταγμένες 19
- 45. Κατασκευή ορθοκανονικών διανυσµάτων b′ = b − ( qT 1 b ) q1 20
- 46. Η λύση ελαχίστων τετραγώνων του Qx = b όταν o Q ∈ Rm×n έχει ορθοκανονικές στήλες και b /∈ R(Q) είναι x = QT b 21
- 47. Διαδικασία Gram − Schmidt Πρόβλημα: Δίδονται a, b, c ∈ Rn γραμμικά ανεξάρτητα κατασκευάστε q1 , q2 , q3 ορθοκανονικά. Λύση: 1. q1 = a ||a|| 2. q2 = b′ ||b′ || , b′ = b − (qT 1 b)q1 3. q3 = c′ ||c′|| , c′ = c − (qT 1 c)q1 − (qT 2 c)q2 22
- 48. Παράδειγµα a = 1 0 1 , b = 1 0 0 , c = 2 1 0 23
- 49. Παραγοντοποίηση QR Κάθε πίνακας A ∈ Rm×n με γραμμικά ανεξάρτητες στήλες μπορεί να παραγοντοποιηθεί σαν γινόμενο ενός ορθοκανονικού πίνακα Q και ενός αντιστρέψιμου άνω τριγωνικου πίνακα R. Όταν m = n όλοι οι πίνακες είναι τετραγωνικοί και ο Q ορθογώνιος. 24
- 50. Ελάχιστα Τετράγωνα και Παραγοντοποίηση QR AT Ax = AT b A = QR Rx = Qb 25
- 51. Παράδειγµα A = 3 −6 4 −8 0 1 , b = −1 7 2 Q = 3 5 0 4 5 0 0 1 , R = [ 5 −10 0 1 ] Προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων QTb = [ 5 2 ] 26
- 52. οίζουσες
- 53. det(A), |A| Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×n στο R η οποία 1. Εξαρτάται γραμμικά από την πρώτη γραμμή του πίνακα 2. Αλλάζει το πρόσημο της κάθε φορά που εναλλάσουμε τις γραμμές του πίνακα 3. |I| = 1 28
- 54. Εξαρτάται γραµµικά από την πρώτη γραµµή Αν οι πίνακες A, B, C ταυτίζονται από την 2η γραμμή του και κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυασμός της 1ων γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός συνδυασμός των |B| και |C|. 29
- 55. Εξαρτάται γραµµικά από την πρώτη γραµµή a + ta′ b + tb′ c d = a b c d + t a′ b′ c d 30
- 56. Αν εναλλαχτούν δύο γραµµές αλλάζει πρόσηµο a b c d = − c d a b 31
- 57. Αν εναλλαχτούν δύο γραµµές αλλάζει πρόσηµο ∙ Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο ∙ Η 1η ιδιότητα γίνεται ”Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά από κάθε γραμμή της ξεχωριστά” 32
- 58. Ιδιότητες ∙ Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν ∙ Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής από μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλλοίωτη ∙ Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν ∙ Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου 33
- 59. Πορίσµατα ∙ |A| = ±|U| ∙ |A| = ± (γινόμενο των οδηγών) ∙ A αντιστρέψιμος ⇔ |A| ̸= 0 34
- 60. Υπολογισµός Ορίζουσας |A| = ai,1Ai,1 + ai,2Ai,2 + . . . + ai,nAi,n 35
- 61. Υπολογισµός Ορίζουσας |A| = ai,1Ai,1 + ai,2Ai,2 + . . . + ai,nAi,n ∙ Ai,j = (−1)i+j |Mi,j| (συνπαράγοντας) ∙ Mi,j είναι ο Ai,j από τον οποίο λείπει η iστη γραμμή και η jστη στήλη. 35
- 62. Υπολογισµός Ορίζουσας |A| = ai,1Ai,1 + ai,2Ai,2 + . . . + ai,nAi,n ∙ Ai,j = (−1)i+j |Mi,j| (συνπαράγοντας) ∙ Mi,j είναι ο Ai,j από τον οποίο λείπει η iστη γραμμή και η jστη στήλη. |A| = a1,iA1,j + a2,iA2,j + . . . + an,iAn,j 35
- 63. Παράδειγµα 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 36
- 65. Υπολογισµός του A−1 Τα στοιχεία του είναι οι συνπαράγοντες του Α ανεστραμμένοι και διαιρεμένοι με |A| 37
- 66. Υπολογισµός του A−1 Τα στοιχεία του είναι οι συνπαράγοντες του Α ανεστραμμένοι και διαιρεμένοι με |A| A−1 = |A|−1 Asymp 37
- 67. Ιδιότητα 9, |AB| = |A||B| Έστω δ(A) = |AB| |B| ∙ Αν A = I τότε δ(I) = 1 ∙ Αν εναλλάξουμε δύο γραμμές του A τότε ανάλογα εναλλάσσονται και οι γραμμές του AB ∙ Ένα γραμμικός συνδυασμός που εμφανίζεται στην 1η γραμμή του πίνακα A δίδει τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό στην 1η γραμμή του AB Άρα η δ(A) είναι ορίζουσα. Δηλαδή δ(A) = |A| 38
- 68. |A−1| = |A|−1 39
- 69. |A| = |AT | Έστω PA = LDU ∙ |P||A| = |L||D||U|, |AT ||PT | = |UT ||DT ||LT | ∙ |L| = |U| = |UT | = |LT | = 1 ∙ |D| = |DT | |P| = |PT | 40
- 71. Ιδιότητες |A| = |AT | ∙ Οι ιδιότητες 1 − 9 ισχύουν και για τις στήλες 41
- 72. Κανόνας του Κράµερ xj = det(Bj) det A 42