Sum
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本文总结了用裂项法求和的几种类型，包括一般形式、特定分数结构，以及复合型分数的求和方法，提供了对应的案例分析。文档展示了每种方法的原理和计算步骤，旨在帮助读者掌握分数和的求解技巧。具体内容涵盖了自然数苍和办的不同情况下的求和实例。
![分数裂项求和方法总结
（1） 用裂项法求
1
( 1)n n +
型分数求和
分析：因为
1 1
1n n
?
+
＝
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n n n
+
? =
+ + +
（n 为自然数）
所以有裂项公式：
1 1 1
( 1) 1n n n n
= ?
+ +
【例1】 求
1 1 1
......
10 11 11 12 59 60
+ + +
× × ×
的和。
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ...... ( )
10 11 11 12 59 60
1 1
10 60
1
12
= ? + ? + + ?
= ?
=
（2） 用裂项法求
1
( )n n k+
型分数求和
分析：
1
( )n n k+
型。（n,k 均为自然数）
因为
1 1 1 1 1
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
n k n
k n n k k n n k n n k n n k
+
? = ? =
+ + + +
所以
1 1 1 1
( )
( )n n k k n n k
= ?
+ +
【例2】 计算
1 1 1 1 1
5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
+ + + +
× × × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 13 2 13 15
= ? + ? + ? + ? + ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15
= ? + ? + ? + ? + ?
1](https://image.slidesharecdn.com/sum-130522134108-phpapp02/85/Sum-1-320.jpg)
![1 1 1
[ ]
2 5 15
1
15
= ?
=
（3） 用裂项法求 ( )
k
n n k+
型分数求和
分析：
( )
k
n n k+
型（n,k 均为自然数）
1 1
n n k
?
+
＝
( ) ( )
n k n
n n k n n k
+
?
+ +
＝
( )
k
n n k+
所以
( )
k
n n k+
＝
1 1
n n k
?
+
【例3】 求
2 2 2 2
......
1 3 3 5 5 7 97 99
+ + + +
× × × ×
的和
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) ...... ( )
3 3 5 5 7 97 99
1
1
99
98
99
= ? + ? + ? + + ?
= ?
=
（4） 用裂项法求
2
( )( 2 )
k
n n k n k+ +
型分数求和
分析：
2
( )( 2 )
k
n n k n k+ +
（n,k 均为自然数）
2 1 1
( )( 2 ) ( ) ( )( 2 )
k
n n k n k n n k n k n k
= ?
+ + + + +
【例4】 计算：
4 4 4 4
......
1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99
+ + + +
× × × × × × × ×
2](https://image.slidesharecdn.com/sum-130522134108-phpapp02/85/Sum-2-320.jpg)
![1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ...... ( ) ( )
1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 99
1 1
1 3 97 99
3200
9603
= ? + ? + + ? + ?
× × × × × × × ×
= ?
× ×
=
（5） 用裂项法求
1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + +
型分数求和
分析：
1
( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + +
（n,k 均为自然数）
1 1 1 1
( )
( )( 2 )( 3 ) 3 ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k k n n k n k n k n k n k
= ?
+ + + + + + + +
【例5】 计算：
1 1 1
......
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ...... ( )]
3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20
1 1 1
[ ]
3 1 2 3 18 19 20
1139
20520
= ? + ? + + ?
× × × × × × × × × × × ×
= ??
× × × ×
=
（6） 用裂项法求
3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + + 型分数求和
分析：
3
( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k+ + +
（n,k 均为自然数）
3 1 1
( )( 2 )( 3 ) ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )
k
n n k n k n k n n k n k n k n k n k
= ?
+ + + + + + + +
【例6】 计算：
3 3 3
......
1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20
+ + +
× × × × × × × × ×
3](https://image.slidesharecdn.com/sum-130522134108-phpapp02/85/Sum-3-320.jpg)
Sum
- 1. 分数裂项求和方法总结 （1） 用裂项法求 1 ( 1)n n + 型分数求和 分析：因为 1 1 1n n ? + ＝ 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n + ? = + + + （n 为自然数） 所以有裂项公式： 1 1 1 ( 1) 1n n n n = ? + + 【例1】 求 1 1 1 ...... 10 11 11 12 59 60 + + + × × × 的和。 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ...... ( ) 10 11 11 12 59 60 1 1 10 60 1 12 = ? + ? + + ? = ? = （2） 用裂项法求 1 ( )n n k+ 型分数求和 分析： 1 ( )n n k+ 型。（n,k 均为自然数） 因为 1 1 1 1 1 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) n k n k n n k k n n k n n k n n k + ? = ? = + + + + 所以 1 1 1 1 ( ) ( )n n k k n n k = ? + + 【例2】 计算 1 1 1 1 1 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 + + + + × × × × × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 7 2 7 9 2 9 11 2 11 13 2 13 15 = ? + ? + ? + ? + ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 = ? + ? + ? + ? + ? 1
- 2. 1 1 1 [ ] 2 5 15 1 15 = ? = （3） 用裂项法求 ( ) k n n k+ 型分数求和 分析： ( ) k n n k+ 型（n,k 均为自然数） 1 1 n n k ? + ＝ ( ) ( ) n k n n n k n n k + ? + + ＝ ( ) k n n k+ 所以 ( ) k n n k+ ＝ 1 1 n n k ? + 【例3】 求 2 2 2 2 ...... 1 3 3 5 5 7 97 99 + + + + × × × × 的和 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ...... ( ) 3 3 5 5 7 97 99 1 1 99 98 99 = ? + ? + ? + + ? = ? = （4） 用裂项法求 2 ( )( 2 ) k n n k n k+ + 型分数求和 分析： 2 ( )( 2 ) k n n k n k+ + （n,k 均为自然数） 2 1 1 ( )( 2 ) ( ) ( )( 2 ) k n n k n k n n k n k n k = ? + + + + + 【例4】 计算： 4 4 4 4 ...... 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 + + + + × × × × × × × × 2
- 3. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 99 1 1 1 3 97 99 3200 9603 = ? + ? + + ? + ? × × × × × × × × = ? × × = （5） 用裂项法求 1 ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + + 型分数求和 分析： 1 ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k+ + + （n,k 均为自然数） 1 1 1 1 ( ) ( )( 2 )( 3 ) 3 ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 )n n k n k n k k n n k n k n k n k n k = ? + + + + + + + + 【例5】 计算： 1 1 1 ...... 1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20 + + + × × × × × × × × × 1 1 1 1 1 1 1 [( ) ( ) ...... ( )] 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20 1 1 1 [ ] 3 1 2 3 18 19 20 1139 20520 = ? + ? + + ? × × × × × × × × × × × × = ?? × × × × = （6） 用裂项法求 3 ( )( 2 )( 3 ) k n n k n k n k+ + + 型分数求和 分析： 3 ( )( 2 )( 3 ) k n n k n k n k+ + + （n,k 均为自然数） 3 1 1 ( )( 2 )( 3 ) ( )( 2 ) ( )( 2 )( 3 ) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k = ? + + + + + + + + 【例6】 计算： 3 3 3 ...... 1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20 + + + × × × × × × × × × 3
- 4. 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ...... ( ) 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20 1 1 1 2 3 18 19 20 1139 6840 = ? + ? + + ? × × × × × × × × × × × × = ? ? × × × × = （七）用裂项法求复合型分数和（例题略） 4