ºÝºÝߣ

ºÝºÝߣShare a Scribd company logo

teorema bolzano analisis real

•Download as PPTX, PDF•
•
Elsa Novyarti
Elsa Novyarti
1 of 12
Downloaded 16 times
3.2.3 Teor em a W r st r ass ei Bol zano- Kumpulan yang tak berhingga dan terbatas di R1 selalu mempunyai titik limit.
Bukti : Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas, maka ada selang tertutup [a,b] yang mengandung S. Bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian yang sama panjang, maka salah satu selang bagian ini pastilah mengandung tak berhingga banyaknya anggota S sebab jika kedua selang bagian itu mengandung berhingga banyaknya anggota S, maka S adalah kumpulan berhingga. Sebutlah [a1, b1] selang bagian yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S. Jika kedua selang bagian itu mengandung tak berhingga banyaknya
Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi dua selang bagian yang sama panjang seperti di atas, sebutlah [a2, b2] selang bagian dari [a1, b1] yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S. Proses di atas dilanjutkan terus untuk memperoleh koleksi terbilang selang bagian yang bersifat : 1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ; 2. bn + an = ; 3. S n [an, bn] suatu kumpulan berhingga Jelaslah (an) adalah barisan monoton naik dan terbatas di atas, jadi p = sup {an ; n N } ada. Demikian pula (bn) adalah suatu barisan monoton turun dan terbatas di
Selanjutnya, karena an – bn = , maka atau p = q Sekarang akan dibuktikan bahwa p S’. Misalkan r > 0 sebarang maka untuk n yang cukup besar an – bn < . Untuk ini berlaku [an ; bn] C N (p ; r) sehingga N (p ; r) n S adalah suatu kumpulan tak berhingga. Maka terbuktilah p S’. Teorema a. Kumpulan yang tak berhingga b. Kumpulan yang terbatas R1 c. Selalu mempunyai titik limit
Bukti : 1. Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga 2. dan terbatas 3. karena S terbatas 4. maka ada selang tertutup [a,b] yang mengandung S 5. bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian yang sama panjang 6. maka salah satu selang bagian ini pastilah mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 7. sebab jika kedua selang bagian itu mengandung berhingga banyaknya
9. Sebutlah [a1, b1] selang bagian yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 10. Jika kedua selang bagian itu mengandung tak berhingga banyaknya anggota S, ambillah selang bagian kiri sebagai [a1, b1] 11. Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi dua selang bagian yang sama panjang seperti di atas 12. sebutlah [a2, b2] selang bagian dari [a1, b1] yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 13. Proses di atas dilanjutkan terus untuk memperoleh koleksi terbilang selang bagian yang bersifat : 1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ; 2. bn + an = ;
14.jelaslah (an) adalah barisan monoton naik 15.dan jelaslah (an) terbatas di atas 16.jadi p = sup {an ; n N } 17.p = ada 18.demikian pula (bn) adalah suatu barisan monoton turun 19.dan (bn) terbatas di bawah 20.jadi q = 21.q = inf {bn : n N } ada 22.selanjutnya karena an – bn = , 23.maka =
24.atau q = p 25.sekarang akan dibuktikan bahwa p S’. 26.misalkan r > 0 sebarang 27.maka untuk n yang cukup besar bn – an < 28.untuk n ini berlaku [an ; bn] C N (p ; r) 29.sehingga N (p ; r) n S adalah suatu kumpulan tak berhingga 30.maka terbuktilah p S’.
ANALISIS TEOREMA 1. Premis 1 2. Premis 2 3. Kesimpulan BUKTI 1. UKP dari premis 1 2. UKP dari premis 2 3. Dari poin 2
4. Kesimpulan dari poin 3 dan konsep himpunan terbatas 5. UKP dari poin 4 6. Kesimpulan dari poin 5 dan poin 1 7. Kontradiksi poin 6 8. Kesimpulan dari poin 7 dan konsep himpunan berhingga 9. UKP dan dari poin 6 10.UKP dan dari poin 9 11.Dari poin 10 dan dari poin 5 12.UKP dari poin 11 13.Poin (12) dilanjutkan terus menerus
13. (1) karena [an+1 ; bn+1] di dapatian dengan membagi [an, bn] (2) dari poin 4, 11, dimana selang [a , b] dibagi dua secara berkelanjutan (3) dari poin (2) dan poin 12 14. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton naik 15. Dari point 14 dan teorema 2.1.10 serta poin 13 (1) 16. Dari poin 15 dan teorema pendukung 2.1.10 17. Dari poin 16 dan definisi limit barisan 18. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton turun 19. Dari poin 13 (1) dan 18
22.Dari poin 13 dan 12 23.Dari poin 22 dan teorema pendukung 2.3.3 24.Dari poin 16, poin 20, dan poin 23 25.Pernyataan yang akan dibuktikan 26.UKP 27.UKP dan dari poin 26 28.Dari poin 26, 27, dan 28 29.Dari poin 29, poin 1 dan konsep himpunan berhingga 30.Dari poin 30, 26 dan definisi kumpulan titik limit

More Related Content

teorema bolzano analisis real

  • 1. 3.2.3 Teor em a W r st r ass ei Bol zano- Kumpulan yang tak berhingga dan terbatas di R1 selalu mempunyai titik limit.
  • 2. Bukti : Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga dan terbatas. Karena S terbatas, maka ada selang tertutup [a,b] yang mengandung S. Bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian yang sama panjang, maka salah satu selang bagian ini pastilah mengandung tak berhingga banyaknya anggota S sebab jika kedua selang bagian itu mengandung berhingga banyaknya anggota S, maka S adalah kumpulan berhingga. Sebutlah [a1, b1] selang bagian yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S. Jika kedua selang bagian itu mengandung tak berhingga banyaknya
  • 3. Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi dua selang bagian yang sama panjang seperti di atas, sebutlah [a2, b2] selang bagian dari [a1, b1] yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S. Proses di atas dilanjutkan terus untuk memperoleh koleksi terbilang selang bagian yang bersifat : 1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ; 2. bn + an = ; 3. S n [an, bn] suatu kumpulan berhingga Jelaslah (an) adalah barisan monoton naik dan terbatas di atas, jadi p = sup {an ; n N } ada. Demikian pula (bn) adalah suatu barisan monoton turun dan terbatas di
  • 4. Selanjutnya, karena an – bn = , maka atau p = q Sekarang akan dibuktikan bahwa p S’. Misalkan r > 0 sebarang maka untuk n yang cukup besar an – bn < . Untuk ini berlaku [an ; bn] C N (p ; r) sehingga N (p ; r) n S adalah suatu kumpulan tak berhingga. Maka terbuktilah p S’. Teorema a. Kumpulan yang tak berhingga b. Kumpulan yang terbatas R1 c. Selalu mempunyai titik limit
  • 5. Bukti : 1. Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga 2. dan terbatas 3. karena S terbatas 4. maka ada selang tertutup [a,b] yang mengandung S 5. bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian yang sama panjang 6. maka salah satu selang bagian ini pastilah mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 7. sebab jika kedua selang bagian itu mengandung berhingga banyaknya
  • 6. 9. Sebutlah [a1, b1] selang bagian yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 10. Jika kedua selang bagian itu mengandung tak berhingga banyaknya anggota S, ambillah selang bagian kiri sebagai [a1, b1] 11. Selanjutnya, bagilah selang [a1, b1] menjadi dua selang bagian yang sama panjang seperti di atas 12. sebutlah [a2, b2] selang bagian dari [a1, b1] yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S 13. Proses di atas dilanjutkan terus untuk memperoleh koleksi terbilang selang bagian yang bersifat : 1. [an+1 ; bn+1] C [an, bn] ; 2. bn + an = ;
  • 7. 14.jelaslah (an) adalah barisan monoton naik 15.dan jelaslah (an) terbatas di atas 16.jadi p = sup {an ; n N } 17.p = ada 18.demikian pula (bn) adalah suatu barisan monoton turun 19.dan (bn) terbatas di bawah 20.jadi q = 21.q = inf {bn : n N } ada 22.selanjutnya karena an – bn = , 23.maka =
  • 8. 24.atau q = p 25.sekarang akan dibuktikan bahwa p S’. 26.misalkan r > 0 sebarang 27.maka untuk n yang cukup besar bn – an < 28.untuk n ini berlaku [an ; bn] C N (p ; r) 29.sehingga N (p ; r) n S adalah suatu kumpulan tak berhingga 30.maka terbuktilah p S’.
  • 9. ANALISIS TEOREMA 1. Premis 1 2. Premis 2 3. Kesimpulan BUKTI 1. UKP dari premis 1 2. UKP dari premis 2 3. Dari poin 2
  • 10. 4. Kesimpulan dari poin 3 dan konsep himpunan terbatas 5. UKP dari poin 4 6. Kesimpulan dari poin 5 dan poin 1 7. Kontradiksi poin 6 8. Kesimpulan dari poin 7 dan konsep himpunan berhingga 9. UKP dan dari poin 6 10.UKP dan dari poin 9 11.Dari poin 10 dan dari poin 5 12.UKP dari poin 11 13.Poin (12) dilanjutkan terus menerus
  • 11. 13. (1) karena [an+1 ; bn+1] di dapatian dengan membagi [an, bn] (2) dari poin 4, 11, dimana selang [a , b] dibagi dua secara berkelanjutan (3) dari poin (2) dan poin 12 14. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton naik 15. Dari point 14 dan teorema 2.1.10 serta poin 13 (1) 16. Dari poin 15 dan teorema pendukung 2.1.10 17. Dari poin 16 dan definisi limit barisan 18. Dari poin 13 (1) dan definisi barisan monoton turun 19. Dari poin 13 (1) dan 18
  • 12. 22.Dari poin 13 dan 12 23.Dari poin 22 dan teorema pendukung 2.3.3 24.Dari poin 16, poin 20, dan poin 23 25.Pernyataan yang akan dibuktikan 26.UKP 27.UKP dan dari poin 26 28.Dari poin 26, 27, dan 28 29.Dari poin 29, poin 1 dan konsep himpunan berhingga 30.Dari poin 30, 26 dan definisi kumpulan titik limit