際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Istorija matematike

Download as PPTX, PDF
Mirjana Kokeri
Mirjana Kokeri

Nemanja To邸i VII-3 -Jovan Jovi VII-3 -Aleksa Deni VII-3 -ore Radoii VII-3

1 of 38
Download to read offline
Istorija matematike
Matematika Mesopotamije O Mesopotamija, predruje izmeu i oko Eufrata i Tigrisa, bila je kolevka jedne od, ili, mo釘da bolje reeno nekoliko najstarijih kultura. Govorei o matematici stare Mesopotamije predrazumijevamo ostav邸tinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca, Akaana, Kaldejaca i drugih naroda koji su u pojedinim razdobljima obitavali na delovima tog predruja. Takoe se esto izraz 束vavilonski損 koristi kao sinonim za mesopotamski.
Kako su raunali ? O Na邸i izvori informacija koji se odnose na nivo mesopotamijske matematike vrlo su obimni. Mnogo stotina tablica u klinastom pismu bavi se problemima 邸to bismo ih danas zvali algebarskim ili se bave geometrijskim odnosima. Naeno je mnogo stotina tablica koje slu釘e za raunanje. Vavilonci su se slu釘ili tablicama kao 邸to se mi danas slu釘imo npr. logaritamskim tablicama. Meu tablicama mno釘enja bile su i tablice koje bismo mogli zvati tablicama recipronih vrednosti pomou kojih su Vavilonci deljenje mogli svoditi na mno釘enje. Osim tih tablica, imali su i tablice za kvadrat i kub te za drugi i trei koren. Naene su i njihove tablice za vrednosti od u rasponu od n = 1 do n = 30, kojima su na primer, mogli re邸avati kubne jednacine oblika za zadano, poznato a i nepoznato n.
Matematiki zapisi na kamenim 沿鉛看温馨温
O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvi邸e iz dveju glasovitih papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog (levo) i Moskovskog (desno dolje). Rhindov papirus je 1858. otkrio 邸kotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak duljine 6 m, 邸irine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g. pr. Kr. i verovatno je nastao tako 邸to je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se uva u British Museumu u Londonu, a sadr釘i 87 matematikih problema
Stari Egipani imali su razvijeni decimalni sistem i svoje oznake za brojeve: Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgor prema dolje. Razliito pisanje ne stvara probleme kod itanja bojeva jer egipatski nain pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratiki su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lonariji. Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadne jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se govei rogovi, za broj pet morska zvezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora)
DECIMALNI BROJEVI BROJEVI
Istorija matematike
Matematika drevne Kine Poeci razvoja matematike Ne zna se tono kada se u Kini poela razvijati matematika, ali pretpostavlja se da je to bilo u 3. veku pre Hrista. Prema starim kronikama 鄭uti car Huang Ti (vladao Kinom u 27.veku pre nove ere) dao je naredbe svojim predanicima tj. zadao im je zadatke 邸ta moraju istra釘ivati. Tako je trima naucnicima dao zadatak da proriu pomou Sunca, Meseca i zvezda. etvrtom naucniku dao je zadatak da stvori muzicke note, petom naucniku Tai Naou naredeo je da konstruise seksagezimalni sistem (Chia Tsu), 邸esti naucnik Li Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a poslednji sedmi naucnik dobio je zadatak da regulise svih tih 邸est ve邸tina te razradi kalendar.
Brojevi u Kini U Kini su ljudi, kao i u veini drugih zemalja, najpre raunali na prste, a ve u 2. veku pre nove ere u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablic. Kasnije se u Kini raunalo pomou 邸tapia (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi 邸tapii su bili jednake veliine, a trgovci i su ih naje邸e nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi 邸tapii, brojevi od 6 9 su prikazivani kao jedan vertikalni 邸tapi te kombinacija od nekoliko horizontalnih 邸tapia. Nakon uvoenja negativnih brojeva, 邸tapii za raunanje su se izraivali u dve boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeu e se pojaviti abakus. Abakus je pretea dana邸njih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza 釘ica po kojima su se mogli pomerati kamenii. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se ponegde u Kini trgovci jo邸 uvek njimeS vremenom kinesko se pismo malo promenilo i oblikovalo. U sledeoj tablici mo釘emo videti savremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva mo釘e se nai i u Japanu i Koreji. slu釘e.
Legenda o lo shu Budui da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su Kinezi do邸li na ideju da stvore sistem brojeva i istra釘ivanja koje je dovelo do razvoja matematike: Prema legendi, kralj Yu je primio dva bo釘anska dara. Prvi dar je primio od bo釘anske Kornjae dok je prelazio 鄭utu reku. Na Kornjainim leima je bila zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo shu, za koji se vjeruje da sadr釘i osnove kineske matematike
Najva転nija dostignua 1. daje se postupak izraunavanja povr邸ine trougla, etverouglakruga, kru釘nog odseka i iseka. Obrauju se i razlomci; date su korektne metode za njihovo sabiranje, oduzimanje, mno釘enje i deljenje 2. obrauje se kamatni raun 3. govori o produ釘enim razmerama 4. obrauje se vaenje drugog i treeg korena, te pribli釘ni proraun opsega kruga date povr邸ine i precnika kugle datog obima 5. ui se kako se rauna obim prizme, piramide, valjka, prikraene (krnje) piramide 6. obrauje se ono 邸to bismo zvali raunom smese 7. obrauju se problemi sistema od dveju jednacina sa dve nepoznate 8. ispituju se problemi 邸to vode na sistem od vi邸e linearnih jednacina sa vise nepoznatih 9. re邸ava se pravougaoni trougao pomou 束Pitagorine損 teoremae,neke oblike kvadratne jednacine
Kineski brojevi 2000 godine pne. Savremeni brojevi
Matematika nije nezavisna od ljudi koji je stvaraju. Staroindijska matematika bila je prete釘no aritmetiko-algebarski orjentisana, za razliku od starogrke matematike koja je bila prete釘no geometrijski orjentisana. Naravno, Grka matematika nije bila iskljuivo geometrija, niti je staroindijska matematike bila bez geometrije; re je samo o usmerenju koje je dominiralo. U staroindijskoj literaturi nema velikih dela iskljuivo posveenih matematici; matematika je prisutna tek kao deo, kao pojedinano poglavlje u astronomskim ili astrolo邸kim delima STAROINDIJSKA MATEMATIKS
Na primeru emo ilustrovati kako su stari Indijci na raunskim 沿鉛看温馨温 predijeljenim na polja obavljali mno釘enje,ispisujui i bri邸ui brojeve na pesku kojim bi posipali plou. Ako je trebalo, recimo, pomno釘iti 415 sa 327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stub raunske ploe. U svako dijagonalom predeljeno polje ispisali bi zatim parcijalni proizvod odgovarajuih poznatih, npr. u tree polje prvog reda ispisali bi poznate jedan i pet, jer je pet puta tri jednako petnaevek Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za nulu tu nije potreban jer ga mo釘e nadomestiti prazno polje). Sabirali su brojeve po dijagonalnim prugama poev邸i od donjega desnog ugla (uz prenos u dalju prugu ulevo eventualnih desetica kao i pri na邸em mno釘enju) KAKO SU RAUNALI
PRIMER RACUNANJA U STAROJINDIJI
O epohi formiranja grke matematike mo釘emo da zakljuujemo samo na osnovu manjih fragmenata, koji se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapa釘anja filozofa i drugih autora koji nisu bili samo matematiari. U vreme pojave prvih zapisa o grkoj matematici, grki pomorci i trgovci su bili ve nauili od svojih egipatskih mu邸terija, da za pisanje upotrebljavaju papirus, koji se mogao lak邸e nositi i uvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. U meusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i pomorci ovladali su pismeno邸u, bez uticaja neke mone svestenike kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, paktinim potrebama. Starogrka matematika
Period tokom koga su grke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike mo釘e se podeliti u tri velike faze. Prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, prote釘e se od Talesa i Pitagore do Demokrita, pribli釘no od 600-400. godine pre n.e. Osnovu druge faze predstavlja uenje Platona (430-349. godine pre n.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine pre n.e.), Platonovog uenika. Euklidova smrt prethodi za nekoliko godina Arhimedovom roenju (oko 287. godine pre n.e.) ija naklonost ka pronalascima predstavlja poetak tree faze. Treu fazu tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama i jak oseaj za praktinu primenu matematike. Razvoj Starogrke matematike
Starogrki matematiari Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu sauvana i poznata su samo po naslovu. Sauvana su dela: Elementi, Data, Optika i dr. Negevo najuvenije delo su "Elementi", koje je uticalo na zapadno akademsko mi邸ljenje. Smatra se da su nastali oko 325-te godine pre n.e. dok je Euklid jo邸 釘iveo u Atini. Elementi su podeljeni u trinaest knjiga; cetiri prve posvecene su geometriji u ravni i bave se proucavanjem poligonalnih ili kruznih figura.
Starogrki matemariari U matematici se vi邸e zna i pominje Pitagora, verovatno zbog toga 邸to je za sobom ostavio 邸kolu tzv. pitagorejce koji su se uprkos i naj釘e邸em proganjanju, odr釘ali dugo posle njegove smrti. Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje doneo u mnogome iz Egipta. Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznaajnijih matematikih teorema. Na osnovu nje je stvoren fraktal koji se naziva pitagorino drvo.
ARAPSKI DOPRINOSI MATEMATICI Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grke antike nauke do kasnog srednjeg veka u Europi nije bilo va釘nih dogaaja u matematici osim prevoenja grkih tekstova na arapski koji su tako - ne direktno preko rimskog naslea, ve indirektno preko arapskih osvajanja - postali dostupni Europi srednjeg veka. No, zapravo je doprinos arapskog predruja matematici mnogo vei od samog prevoenja i prenosa predataka. Dana邸nja matematika zapadnog stila mnogo je slinija matematici kakvu susreemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrkim. Mnoge ideje koje su pripisane Europljanima kasnog srednjeg veka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Ovde emo opisati razdoblje od 8. do 15. veka
ARAPSKI MATEMATIARI Prvi veliki arapski matematiar je Al- Khwarizmi (punim imenom Abu' Abdallah Muhammad ibn Musa al- Magusi al-Khwarizmi alChoresmi). 鄭ivio je otprilike 780.g. - 850.g. i bio je uenik u Kui mudrosti, a kasnije je delovao pred za邸titom kalifa al-Ma'muna. Pisao je o algebri, geometriji i astronomiji.
ARAPSKI MATEMATICAR Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji, 953.g. - 1029.g.),bagdatski matematiar i in釘injer, smatra se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i zamenila ih aritmetikim, 邸to je osnova moderne algebre. Tako npr. svoenje na potpun kvadrat provodi isto algebarski.
ARAPSKI BROJEVI Indijski nain zapisivanja brojeva bio je temelj europskom nainu zapisivanja koji je danas jako pro邸iren. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu ve je njihov medij bio arapski narod. Poprilino razliiti brojevni sistemi su simultano kori邸ceni na arapskom poluotoku dugi niz godina. Postojalo je najmanje 3 razliita brojevna sistema: - raunanje na prste: brojevi se pi邸u reima; ovaj nain rauna su koristili trgovci i raunovoe; - seksagesimalni sistem: brojevi oznaeni arapskim slovima, koristio se naje邸e za astronomiju; -indijski dekadni sistem: poznate su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle razliite oblike poznatih; ispoetka su ih koristili na pra邸njavim 沿鉛看温馨温 koje su omoguavale isto 邸to i danas ploa i
Smatra se da je srednji vek razdoblje mraka i razdoblje u kojem se nije dogaalo ni邸ta va釘no u naucnom pogledu. Mladi su europski narodi do kraja 12. veka prihvatili relativno siroma邸no starorimsko matematiko nasljee: meu ostalim tzv. quadrivium koji se je sastojao od aritmetike, muzike, geometrije i astronomije. Ta su se otkrica pred imenom matematike esto i (zlo)upotrebljavala u astrologiji, pa nije udno da neki spisi toga vremena, govorei o matematiarima i drugim mranjacima, ne nalaze za njih mnogo lepih rei. Sve do 11. veka poznavanje Euklidovih Elemenata u Europi je bilo vrlo se malo znalo .
Anicius Manlius Severinus Boethius roen je 477. godine u blizini Rima. Boetije je bio vrlo dobro 邸kolovan. Teno je govorio grki i bio je vrlo dobro upoznat s radom grkih filozofa, pa povjesniari smatraju da je studirao u Atini ili Alexandriji, iako za to nema dokaza. Obrazovanje je Boetiju bilo vrlo va釘no. Svoj je talenat koristio za pisanje i prevoenje. Njegovo razumevanje matematike je bilo na vrlo niskom nivou, a i tekstovi koje je pisao o aritmetici bili su vrlo lo邸i
Gerbert je roen oko 940. godine u Aurillacu, regiji Auvergne, centralna Francuska. Gerbert je uio arapske brojeve, tako da je mogao raunati u glavi, 邸to je bilo vrlo te邸ko s rimskim brojevima. Takoe je prouavao abakus, ak je i konstruiseo jedan divovski. Oznaio je pred lae u Reimskoj katedrali kao abakus i napravio je mnogo velikih diskova umesto zrna abakusa. Skupio je oko 邸ezdeset i etiri lana katedralske 邸kole da mu pomognu. Dao im je 邸tapove kojima su gurali diskove, a on je seo na crkveni kor od kuda je mogao videti ceo pred. On je davao instrukcije, a asistenti su micali diskove kao da igraju shuffleboard.
MATEMATIKA NOVOG VEKA Kao 邸to je nekad starogrka matematika svojim ostvarenjima veoma zasenila sve 邸to je u toj nauke dotle uinjeno u prija邸njim velikim kulturama Azije i Afrike, tako je novovekovna matematika Evrope neuporedivo nadma邸ila sve 邸to je u matematici dotle bilo ostvareno.
MATEMATIKA DO 20.VEKA U razdoblju od sredine 17. do sredine 19. veka dakle unutar nekih dvesta godina - matematika je obogaena mnogo vi邸e negoli tokom itava svog dotada邸njeg razvoja za vreme vi邸e od dve hiljade godina. U 17. su veku za matematiku nastupila, sazreli su uslovi za njen veliki procvat. U korenima su tog sazrevanja svakako mnoga otkria koja su tek pripremila put za kasniji gotovo eksplozivni rast: bez tih otkria do njega ne bi bilo do邸lo.
NOVA OKRIA Algebra je zakoraila daljim koracima napred kada su tri italijanska renesansna matematiara nasla resenje kubne jednacine. Matematiari renesanse znaju da se svaka kubna jednacina moze svesti na oblik bez kvadratnog lana putem linearne supstitucije. Stoga je dovoljno znati resiti jednacine oblika x 3 +px+q=0. Napomenimo jos i da u renesansi, iako su ponegde poznati, negativni brojevi jos nisu opsteprihvaeni te su stoga u renesansnom shvatanju jednacine x 3 +px=q i x 3 =px+q razliiti tipovi kubne jednacine.
POZNATI MATEMATIARI Descartes, veliki filozof (1596.-1650.) upotrebio je (ve od pre poznatu) metodu koordinatnog prouavanja ovisnosti jedne veliine (funkcije) o drugoj (varijabli) da bi povezao geometriju s algebrom: geometrijska su se pitanja sada mogla formulisati, izuavati i re邸avati algebarskim sredstvima, a algebarske veze mogle su se ilustrovati geometrijski.
Matematika 20. veka U ovom razdoblju razvila su se mnoga predruja matematike kao 邸to su teorija verovatnosti, matematika logika, teorija skupova te infinitezimalni raun. Za poslednjih stotinak godina stvoreno je u matematici vi邸e od svega onoga 邸to je stvoreno u itavoj istoriji te nauke do poetka toga razdoblja. Matematika 20. veka bele釘i veliki broj poznatih matematiara koji su uvelike doprineli onom 邸to danas nazivamo modernom matematikom.
Nova otkria Teorija skupova predstavlja va釘an temelj matematike, a trenutno se najvi邸e vezuje uz matematiku logiku. Njena istorija bitno se razlikuje od istoriji ostalih predruja matematike. Mnoge grane matematike dugo su se razvijale dokle god njihove ideje ne bi evoluirale do ultimatnog 束flasha損 ili inspiracije, naje邸e doprinosom veeg broja matematiara koji bi, veinom istovremeno, do邸li do 束otkria損 istaknute vrednosti. S druge strane, teorija skupova nastala je zahvaljujui jednom oveku Georgu Cantoru, da bi tek kasnije, od 1890. do 1930. postala sredi邸njim predmetom matematikih rasprava
Poznati matematiari 20. veka Albert Einstein (Ulm,1879. - 1955.), fiziar-teoretiar i najistaknutiji stvaratelj novog doba u fizici. Sve do svoje tree godine Albert nije progovorio, ali je pokazivao neverovatnu radoznalost i briljantnu mo shvaanja kompliciranih matematikih koncepata. U doba od 12 godina sam je sebe nauio geometriju. Otkrio je niz osnovnih zakona prirode (brzinu svetlosti kao maksimalnu brzinu, dilataciju vremena i novu interpretaciju dilatacije du釘ina, te ekvivalentnost mase i energije, korpuskularnu prirodu svetlosti i princip ekvivalencije te osnovu opste teorije relativnosti).
Poznati matematiari 20. veka Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845.Vek Petersburg, Russia 1918. Halle, Germany) bio je nemaki matematiar. Najpoznatiji je kao osniva teorije skupova. Uspostavio je va釘nost bijekcije meu skupovima, definisao beskonane i dobro ureene skupove. Definisao je kardinalne i ordinalne brojeve i njihovu aritmetiku. Bio je prvi koji je prouavao hipotezu kontinuuma koja se bavi tezom da ne postoji skup ija je snaga vea od skupa prirodnih brojeva, a manja od skupa realnih brojeva.
Poznati matematiari 20. veka John Forbes Nash roen je 1928. u Zapadnoj Virdziniji. Na sveuili邸tu Princeton, u vreme kad su tamo radili naucnici poput Alberta Einsteina i Johna von Neumanna, bio je smatran udom od deteta. Ve pre navr邸ene 30. godine bio je poznat na Princetonu i kasnije matematikom odseku na MIT-u po sposobnosti razumevanja i re邸avanja te邸kih matematikih problema koji su za njegove kolege bili gotovo nere邸ivi. Njegov je najvei doprinos na predruju teorije igre koja je revolucionalizirala ekonomiju, a izneo ju je u svojoj disertaciji od 27 stranica "Nekooperativne igre" koju je napisao u doba od 21 godine. Postao je izvanredni profesor u svojim 20-tim godinama i smatrali su ga genijem.
-Nemanja To邸i VII-3 -Jovan Jovi VII-3 -Aleksa Deni VII-3 -ore Radoii VII-3 AUTORI:
kRAJ

More Related Content

Istorija matematike

  • 2. Matematika Mesopotamije O Mesopotamija, predruje izmeu i oko Eufrata i Tigrisa, bila je kolevka jedne od, ili, mo釘da bolje reeno nekoliko najstarijih kultura. Govorei o matematici stare Mesopotamije predrazumijevamo ostav邸tinu Sumerana, Babilonaca, Asiraca, Akaana, Kaldejaca i drugih naroda koji su u pojedinim razdobljima obitavali na delovima tog predruja. Takoe se esto izraz 束vavilonski損 koristi kao sinonim za mesopotamski.
  • 3. Kako su raunali ? O Na邸i izvori informacija koji se odnose na nivo mesopotamijske matematike vrlo su obimni. Mnogo stotina tablica u klinastom pismu bavi se problemima 邸to bismo ih danas zvali algebarskim ili se bave geometrijskim odnosima. Naeno je mnogo stotina tablica koje slu釘e za raunanje. Vavilonci su se slu釘ili tablicama kao 邸to se mi danas slu釘imo npr. logaritamskim tablicama. Meu tablicama mno釘enja bile su i tablice koje bismo mogli zvati tablicama recipronih vrednosti pomou kojih su Vavilonci deljenje mogli svoditi na mno釘enje. Osim tih tablica, imali su i tablice za kvadrat i kub te za drugi i trei koren. Naene su i njihove tablice za vrednosti od u rasponu od n = 1 do n = 30, kojima su na primer, mogli re邸avati kubne jednacine oblika za zadano, poznato a i nepoznato n.
  • 4. Matematiki zapisi na kamenim 沿鉛看温馨温
  • 5. O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajvi邸e iz dveju glasovitih papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog (levo) i Moskovskog (desno dolje). Rhindov papirus je 1858. otkrio 邸kotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak duljine 6 m, 邸irine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g. pr. Kr. i verovatno je nastao tako 邸to je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se uva u British Museumu u Londonu, a sadr釘i 87 matematikih problema
  • 6. Stari Egipani imali su razvijeni decimalni sistem i svoje oznake za brojeve: Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgor prema dolje. Razliito pisanje ne stvara probleme kod itanja bojeva jer egipatski nain pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratiki su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lonariji. Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadne jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se govei rogovi, za broj pet morska zvezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora)
  • 9. Matematika drevne Kine Poeci razvoja matematike Ne zna se tono kada se u Kini poela razvijati matematika, ali pretpostavlja se da je to bilo u 3. veku pre Hrista. Prema starim kronikama 鄭uti car Huang Ti (vladao Kinom u 27.veku pre nove ere) dao je naredbe svojim predanicima tj. zadao im je zadatke 邸ta moraju istra釘ivati. Tako je trima naucnicima dao zadatak da proriu pomou Sunca, Meseca i zvezda. etvrtom naucniku dao je zadatak da stvori muzicke note, petom naucniku Tai Naou naredeo je da konstruise seksagezimalni sistem (Chia Tsu), 邸esti naucnik Li Skouu dobio je zadatak da izgradi brojeve i umjetnost aritmetike, a poslednji sedmi naucnik dobio je zadatak da regulise svih tih 邸est ve邸tina te razradi kalendar.
  • 10. Brojevi u Kini U Kini su ljudi, kao i u veini drugih zemalja, najpre raunali na prste, a ve u 2. veku pre nove ere u Kini su imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u tablic. Kasnije se u Kini raunalo pomou 邸tapia (od bambusa, slonove kosti ili metala). Svi 邸tapii su bili jednake veliine, a trgovci i su ih naje邸e nosili stalno sa sobom u torbi. Brojevi od 1 - 5 bili su prikazivani kao horizontalne crtice, odnosno kao polegnuti bambusovi 邸tapii, brojevi od 6 9 su prikazivani kao jedan vertikalni 邸tapi te kombinacija od nekoliko horizontalnih 邸tapia. Nakon uvoenja negativnih brojeva, 邸tapii za raunanje su se izraivali u dve boje - crveni za pozitivne i crni za negativne brojeve. Mnogo kasnije, tek u 16. stoljeu e se pojaviti abakus. Abakus je pretea dana邸njih kalkulatora, a sastojao se od drvenog okvira i niza 釘ica po kojima su se mogli pomerati kamenii. On se koristio do usvajanja arapskih brojeva, a zanimljivo je to da se ponegde u Kini trgovci jo邸 uvek njimeS vremenom kinesko se pismo malo promenilo i oblikovalo. U sledeoj tablici mo釘emo videti savremene kineske znakove za brojeve. Isti zapis brojeva mo釘e se nai i u Japanu i Koreji. slu釘e.
  • 11. Legenda o lo shu Budui da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, sve se oslanja na jednu legendu koja govori kako su Kinezi do邸li na ideju da stvore sistem brojeva i istra釘ivanja koje je dovelo do razvoja matematike: Prema legendi, kralj Yu je primio dva bo釘anska dara. Prvi dar je primio od bo釘anske Kornjae dok je prelazio 鄭utu reku. Na Kornjainim leima je bila zacrtana jedna figura, odnosno, dijagram zvan Lo shu, za koji se vjeruje da sadr釘i osnove kineske matematike
  • 12. Najva転nija dostignua 1. daje se postupak izraunavanja povr邸ine trougla, etverouglakruga, kru釘nog odseka i iseka. Obrauju se i razlomci; date su korektne metode za njihovo sabiranje, oduzimanje, mno釘enje i deljenje 2. obrauje se kamatni raun 3. govori o produ釘enim razmerama 4. obrauje se vaenje drugog i treeg korena, te pribli釘ni proraun opsega kruga date povr邸ine i precnika kugle datog obima 5. ui se kako se rauna obim prizme, piramide, valjka, prikraene (krnje) piramide 6. obrauje se ono 邸to bismo zvali raunom smese 7. obrauju se problemi sistema od dveju jednacina sa dve nepoznate 8. ispituju se problemi 邸to vode na sistem od vi邸e linearnih jednacina sa vise nepoznatih 9. re邸ava se pravougaoni trougao pomou 束Pitagorine損 teoremae,neke oblike kvadratne jednacine
  • 13. Kineski brojevi 2000 godine pne. Savremeni brojevi
  • 14. Matematika nije nezavisna od ljudi koji je stvaraju. Staroindijska matematika bila je prete釘no aritmetiko-algebarski orjentisana, za razliku od starogrke matematike koja je bila prete釘no geometrijski orjentisana. Naravno, Grka matematika nije bila iskljuivo geometrija, niti je staroindijska matematike bila bez geometrije; re je samo o usmerenju koje je dominiralo. U staroindijskoj literaturi nema velikih dela iskljuivo posveenih matematici; matematika je prisutna tek kao deo, kao pojedinano poglavlje u astronomskim ili astrolo邸kim delima STAROINDIJSKA MATEMATIKS
  • 15. Na primeru emo ilustrovati kako su stari Indijci na raunskim 沿鉛看温馨温 predijeljenim na polja obavljali mno釘enje,ispisujui i bri邸ui brojeve na pesku kojim bi posipali plou. Ako je trebalo, recimo, pomno釘iti 415 sa 327 ispisali bi te brojeve u glavni redak i stub raunske ploe. U svako dijagonalom predeljeno polje ispisali bi zatim parcijalni proizvod odgovarajuih poznatih, npr. u tree polje prvog reda ispisali bi poznate jedan i pet, jer je pet puta tri jednako petnaevek Kada su tako sva polja bila ispunjena (znak za nulu tu nije potreban jer ga mo釘e nadomestiti prazno polje). Sabirali su brojeve po dijagonalnim prugama poev邸i od donjega desnog ugla (uz prenos u dalju prugu ulevo eventualnih desetica kao i pri na邸em mno釘enju) KAKO SU RAUNALI
  • 16. PRIMER RACUNANJA U STAROJINDIJI
  • 17. O epohi formiranja grke matematike mo釘emo da zakljuujemo samo na osnovu manjih fragmenata, koji se nalaze u kasnijim radovima, kao i na osnovu zapa釘anja filozofa i drugih autora koji nisu bili samo matematiari. U vreme pojave prvih zapisa o grkoj matematici, grki pomorci i trgovci su bili ve nauili od svojih egipatskih mu邸terija, da za pisanje upotrebljavaju papirus, koji se mogao lak邸e nositi i uvati nego glinene tablice starih semitskih civilizacija. U meusobno udaljenim zajednicama istoga jezika, bogati trgovci i pomorci ovladali su pismeno邸u, bez uticaja neke mone svestenike kaste. Oni su bili spremni da prilagode korisno znanje, sticano na putovanjima, paktinim potrebama. Starogrka matematika
  • 18. Period tokom koga su grke mediteranske zajednice dale trajan doprinos razvoju matematike mo釘e se podeliti u tri velike faze. Prva, koja nije ostavila nikakvih pisanih tragova, prote釘e se od Talesa i Pitagore do Demokrita, pribli釘no od 600-400. godine pre n.e. Osnovu druge faze predstavlja uenje Platona (430-349. godine pre n.e.). Ona kulminira u Euklidovom sistemu, koji se veoma oslanjao na Eudoksa (408-355. godine pre n.e.), Platonovog uenika. Euklidova smrt prethodi za nekoliko godina Arhimedovom roenju (oko 287. godine pre n.e.) ija naklonost ka pronalascima predstavlja poetak tree faze. Treu fazu tj. aleksandrijsku fazu odlikuje odstupanje od formalizama i jak oseaj za praktinu primenu matematike. Razvoj Starogrke matematike
  • 19. Starogrki matematiari Euklid je napisao brojna dela, od kojih neka nisu sauvana i poznata su samo po naslovu. Sauvana su dela: Elementi, Data, Optika i dr. Negevo najuvenije delo su "Elementi", koje je uticalo na zapadno akademsko mi邸ljenje. Smatra se da su nastali oko 325-te godine pre n.e. dok je Euklid jo邸 釘iveo u Atini. Elementi su podeljeni u trinaest knjiga; cetiri prve posvecene su geometriji u ravni i bave se proucavanjem poligonalnih ili kruznih figura.
  • 20. Starogrki matemariari U matematici se vi邸e zna i pominje Pitagora, verovatno zbog toga 邸to je za sobom ostavio 邸kolu tzv. pitagorejce koji su se uprkos i naj釘e邸em proganjanju, odr釘ali dugo posle njegove smrti. Smatra se da je Pitagora, kao i Tales svoje znanje doneo u mnogome iz Egipta. Pitagorina teorema je jedna od osnovnih i najznaajnijih matematikih teorema. Na osnovu nje je stvoren fraktal koji se naziva pitagorino drvo.
  • 21. ARAPSKI DOPRINOSI MATEMATICI Mnogi smatraju da u razdoblju od kraja grke antike nauke do kasnog srednjeg veka u Europi nije bilo va釘nih dogaaja u matematici osim prevoenja grkih tekstova na arapski koji su tako - ne direktno preko rimskog naslea, ve indirektno preko arapskih osvajanja - postali dostupni Europi srednjeg veka. No, zapravo je doprinos arapskog predruja matematici mnogo vei od samog prevoenja i prenosa predataka. Dana邸nja matematika zapadnog stila mnogo je slinija matematici kakvu susreemo u arapskim doprinosima, nego onoj u starogrkim. Mnoge ideje koje su pripisane Europljanima kasnog srednjeg veka i renesanse pokazale su se zapravo arapskim. Ovde emo opisati razdoblje od 8. do 15. veka
  • 22. ARAPSKI MATEMATIARI Prvi veliki arapski matematiar je Al- Khwarizmi (punim imenom Abu' Abdallah Muhammad ibn Musa al- Magusi al-Khwarizmi alChoresmi). 鄭ivio je otprilike 780.g. - 850.g. i bio je uenik u Kui mudrosti, a kasnije je delovao pred za邸titom kalifa al-Ma'muna. Pisao je o algebri, geometriji i astronomiji.
  • 23. ARAPSKI MATEMATICAR Al-Karaji (punim imenom Abu Bekr Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji, 953.g. - 1029.g.),bagdatski matematiar i in釘injer, smatra se prvom osobom koja je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i zamenila ih aritmetikim, 邸to je osnova moderne algebre. Tako npr. svoenje na potpun kvadrat provodi isto algebarski.
  • 24. ARAPSKI BROJEVI Indijski nain zapisivanja brojeva bio je temelj europskom nainu zapisivanja koji je danas jako pro邸iren. No, oni nisu odmah preneseni iz Indije u Europu ve je njihov medij bio arapski narod. Poprilino razliiti brojevni sistemi su simultano kori邸ceni na arapskom poluotoku dugi niz godina. Postojalo je najmanje 3 razliita brojevna sistema: - raunanje na prste: brojevi se pi邸u reima; ovaj nain rauna su koristili trgovci i raunovoe; - seksagesimalni sistem: brojevi oznaeni arapskim slovima, koristio se naje邸e za astronomiju; -indijski dekadni sistem: poznate su preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, tako da se u raznim krajevima koristilo donekle razliite oblike poznatih; ispoetka su ih koristili na pra邸njavim 沿鉛看温馨温 koje su omoguavale isto 邸to i danas ploa i
  • 25. Smatra se da je srednji vek razdoblje mraka i razdoblje u kojem se nije dogaalo ni邸ta va釘no u naucnom pogledu. Mladi su europski narodi do kraja 12. veka prihvatili relativno siroma邸no starorimsko matematiko nasljee: meu ostalim tzv. quadrivium koji se je sastojao od aritmetike, muzike, geometrije i astronomije. Ta su se otkrica pred imenom matematike esto i (zlo)upotrebljavala u astrologiji, pa nije udno da neki spisi toga vremena, govorei o matematiarima i drugim mranjacima, ne nalaze za njih mnogo lepih rei. Sve do 11. veka poznavanje Euklidovih Elemenata u Europi je bilo vrlo se malo znalo .
  • 26. Anicius Manlius Severinus Boethius roen je 477. godine u blizini Rima. Boetije je bio vrlo dobro 邸kolovan. Teno je govorio grki i bio je vrlo dobro upoznat s radom grkih filozofa, pa povjesniari smatraju da je studirao u Atini ili Alexandriji, iako za to nema dokaza. Obrazovanje je Boetiju bilo vrlo va釘no. Svoj je talenat koristio za pisanje i prevoenje. Njegovo razumevanje matematike je bilo na vrlo niskom nivou, a i tekstovi koje je pisao o aritmetici bili su vrlo lo邸i
  • 27. Gerbert je roen oko 940. godine u Aurillacu, regiji Auvergne, centralna Francuska. Gerbert je uio arapske brojeve, tako da je mogao raunati u glavi, 邸to je bilo vrlo te邸ko s rimskim brojevima. Takoe je prouavao abakus, ak je i konstruiseo jedan divovski. Oznaio je pred lae u Reimskoj katedrali kao abakus i napravio je mnogo velikih diskova umesto zrna abakusa. Skupio je oko 邸ezdeset i etiri lana katedralske 邸kole da mu pomognu. Dao im je 邸tapove kojima su gurali diskove, a on je seo na crkveni kor od kuda je mogao videti ceo pred. On je davao instrukcije, a asistenti su micali diskove kao da igraju shuffleboard.
  • 28. MATEMATIKA NOVOG VEKA Kao 邸to je nekad starogrka matematika svojim ostvarenjima veoma zasenila sve 邸to je u toj nauke dotle uinjeno u prija邸njim velikim kulturama Azije i Afrike, tako je novovekovna matematika Evrope neuporedivo nadma邸ila sve 邸to je u matematici dotle bilo ostvareno.
  • 29. MATEMATIKA DO 20.VEKA U razdoblju od sredine 17. do sredine 19. veka dakle unutar nekih dvesta godina - matematika je obogaena mnogo vi邸e negoli tokom itava svog dotada邸njeg razvoja za vreme vi邸e od dve hiljade godina. U 17. su veku za matematiku nastupila, sazreli su uslovi za njen veliki procvat. U korenima su tog sazrevanja svakako mnoga otkria koja su tek pripremila put za kasniji gotovo eksplozivni rast: bez tih otkria do njega ne bi bilo do邸lo.
  • 30. NOVA OKRIA Algebra je zakoraila daljim koracima napred kada su tri italijanska renesansna matematiara nasla resenje kubne jednacine. Matematiari renesanse znaju da se svaka kubna jednacina moze svesti na oblik bez kvadratnog lana putem linearne supstitucije. Stoga je dovoljno znati resiti jednacine oblika x 3 +px+q=0. Napomenimo jos i da u renesansi, iako su ponegde poznati, negativni brojevi jos nisu opsteprihvaeni te su stoga u renesansnom shvatanju jednacine x 3 +px=q i x 3 =px+q razliiti tipovi kubne jednacine.
  • 31. POZNATI MATEMATIARI Descartes, veliki filozof (1596.-1650.) upotrebio je (ve od pre poznatu) metodu koordinatnog prouavanja ovisnosti jedne veliine (funkcije) o drugoj (varijabli) da bi povezao geometriju s algebrom: geometrijska su se pitanja sada mogla formulisati, izuavati i re邸avati algebarskim sredstvima, a algebarske veze mogle su se ilustrovati geometrijski.
  • 32. Matematika 20. veka U ovom razdoblju razvila su se mnoga predruja matematike kao 邸to su teorija verovatnosti, matematika logika, teorija skupova te infinitezimalni raun. Za poslednjih stotinak godina stvoreno je u matematici vi邸e od svega onoga 邸to je stvoreno u itavoj istoriji te nauke do poetka toga razdoblja. Matematika 20. veka bele釘i veliki broj poznatih matematiara koji su uvelike doprineli onom 邸to danas nazivamo modernom matematikom.
  • 33. Nova otkria Teorija skupova predstavlja va釘an temelj matematike, a trenutno se najvi邸e vezuje uz matematiku logiku. Njena istorija bitno se razlikuje od istoriji ostalih predruja matematike. Mnoge grane matematike dugo su se razvijale dokle god njihove ideje ne bi evoluirale do ultimatnog 束flasha損 ili inspiracije, naje邸e doprinosom veeg broja matematiara koji bi, veinom istovremeno, do邸li do 束otkria損 istaknute vrednosti. S druge strane, teorija skupova nastala je zahvaljujui jednom oveku Georgu Cantoru, da bi tek kasnije, od 1890. do 1930. postala sredi邸njim predmetom matematikih rasprava
  • 34. Poznati matematiari 20. veka Albert Einstein (Ulm,1879. - 1955.), fiziar-teoretiar i najistaknutiji stvaratelj novog doba u fizici. Sve do svoje tree godine Albert nije progovorio, ali je pokazivao neverovatnu radoznalost i briljantnu mo shvaanja kompliciranih matematikih koncepata. U doba od 12 godina sam je sebe nauio geometriju. Otkrio je niz osnovnih zakona prirode (brzinu svetlosti kao maksimalnu brzinu, dilataciju vremena i novu interpretaciju dilatacije du釘ina, te ekvivalentnost mase i energije, korpuskularnu prirodu svetlosti i princip ekvivalencije te osnovu opste teorije relativnosti).
  • 35. Poznati matematiari 20. veka Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845.Vek Petersburg, Russia 1918. Halle, Germany) bio je nemaki matematiar. Najpoznatiji je kao osniva teorije skupova. Uspostavio je va釘nost bijekcije meu skupovima, definisao beskonane i dobro ureene skupove. Definisao je kardinalne i ordinalne brojeve i njihovu aritmetiku. Bio je prvi koji je prouavao hipotezu kontinuuma koja se bavi tezom da ne postoji skup ija je snaga vea od skupa prirodnih brojeva, a manja od skupa realnih brojeva.
  • 36. Poznati matematiari 20. veka John Forbes Nash roen je 1928. u Zapadnoj Virdziniji. Na sveuili邸tu Princeton, u vreme kad su tamo radili naucnici poput Alberta Einsteina i Johna von Neumanna, bio je smatran udom od deteta. Ve pre navr邸ene 30. godine bio je poznat na Princetonu i kasnije matematikom odseku na MIT-u po sposobnosti razumevanja i re邸avanja te邸kih matematikih problema koji su za njegove kolege bili gotovo nere邸ivi. Njegov je najvei doprinos na predruju teorije igre koja je revolucionalizirala ekonomiju, a izneo ju je u svojoj disertaciji od 27 stranica "Nekooperativne igre" koju je napisao u doba od 21 godine. Postao je izvanredni profesor u svojim 20-tim godinama i smatrali su ga genijem.
  • 37. -Nemanja To邸i VII-3 -Jovan Jovi VII-3 -Aleksa Deni VII-3 -ore Radoii VII-3 AUTORI:
  • 38. kRAJ