【础07】惑星运动の数値シミュレーション【青森大学／ソフトウェア情报学部 铃木研究室】
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颁言语のプログラムを作成し、太阳の周りを回る地球の运动を计算した。计算方法にはオイラー法、修正オイラー法、シンプレクティック法の３つを用い、1000年の计算を行ってそれぞれの结果を比较した。オイラー法では正しい轨道が计算できなかったが、シンプレクティック法では1000年に渡って周期的な楕円运动を计算することができた。エネルギーの时间変化も计算し、エネルギー保存则の観点からも３つの手法を比较した。
![数値計算法
(2) 修正オイラー法
?仮の値(チルダ”~” という記号で示す)、を次式によって
求める。
??+1 = ?? + ?(??)??
?オイラー法と同様に ??で評価した ?(??) と仮の値 ??+1 で
評価した ?(??+1) との平均を使って ??+1 を求める
??+1 = ?? +
1
2
[? ?? + ? ??+1 ]??](https://image.slidesharecdn.com/a07-220218025915/85/A07-9-320.jpg)
![計算条件
? 地球に対するニュートンの運動方程式
?
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2
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2
地球の質量：
?=5.972 × 1024 [kg]
太陽の質量：
?=??1.988 × 1030 [kg]
万有引力定数：
?=??6.674 × 10?11 [m3/(kg ? s2)]
これをオイラー法、修正オイラー法、シンプレクティック法
を用いて計算する。](https://image.slidesharecdn.com/a07-220218025915/85/A07-11-320.jpg)
![計算条件
? 初期条件
初期位置：??0 = 1.496 × 1011
? , ??0 = ??0 = 0
初期速度：??0 = 0, ??0 = 2.98 × 104 ?
?
, ??0 = 0
? 時間刻み Δ?=0.01[年]
? 計算した時間 100000ステップ?1000年](https://image.slidesharecdn.com/a07-220218025915/85/A07-12-320.jpg)
![[DL輪読会]Deep High-Resolution Representation Learning for Human Pose Estimation](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/20190517hrnet-190517005504-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
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【础07】惑星运动の数値シミュレーション【青森大学／ソフトウェア情报学部 铃木研究室】
- 2. 背景 (1) 惑星の運動 ? 惑星はニュートンの運動法則によって動いて いる。 ? 惑星に働く力は主に太陽からの引力であり、 それはニュートンの重力法則に従う。 ? 惑星の運動においてはエネルギー保存則が 正確に成り立つ。
- 3. 背景 (2) ニュートンの運動法則 質量×加速度＝力 質量：物体の動きにくさを表す量 加速度：速度（＝位置の変化率）の変化率 質量と力が分かっていれば加速度が求まる。 加速度が分かれば運動が求まる。
- 5. 背景 (4) エネルギー保存則 運動エネルギー ＋ 位置エネルギー ＝ 一定 位置エネルギーが最大 運動エネルギーが最小 位置エネルギーが最大 運動エネルギーが最小 位置エネルギーが最小 運動エネルギーが最大 重力
- 6. 惑星運動の数学的定式化 ? ニュートンの運動方程式 ? ?2?? ??2 = ??, ? ?2?? ??2 = ??, ? ?2?? ??2 = ?? ? ? ? ?? = ? ?? ?2 ?? ? , ?? = ? ?? ?2 ?? ? , ?? = ? ?? ?2 ?? ? ? = ?? 2 + ?? 2 + ?? 2
- 7. 惑星運動の数学的定式化 ? 運動エネルギー ? 位置エネルギー ? 全エネルギー ? = 1 2 ? ??? ?? 2 + ??? ?? 2 + ??? ?? 2 ? = ?? ?? ? ? = ? + ? = 一定
- 8. 数値計算法 (1)オイラー法 ?時刻 ? = ?0 において初期条件 ? = ?0 が課された ? = ?(?) を 計算する数値解法 ?時間ステップ??を用いて、? を ??+1??? ?? と近似し、 ? ? を ?(??)と評価して ??+1 = ?? + ?(??)?? によって ?? から ??+1 を計算する。 ?? = 0,1,2 ? と計算する事で、初期値の ?0 からすべての ?? を 求めることができる。
- 9. 数値計算法 (2) 修正オイラー法 ?仮の値(チルダ”~” という記号で示す)、を次式によって 求める。 ??+1 = ?? + ?(??)?? ?オイラー法と同様に ??で評価した ?(??) と仮の値 ??+1 で 評価した ?(??+1) との平均を使って ??+1 を求める ??+1 = ?? + 1 2 [? ?? + ? ??+1 ]??
- 10. 数値計算法 (3) シンプレクティック法 ?ニュートンの運動方程式を計算するための特別な方法 である。 ?ニュートンの運動方程式 ? ?2? ??2 = ? ? を ? = ?? ?? として ?? ?? = ?, ?? ?? = ? ? ? と書き換える。 ?この方程式を ??+1 = ?? + ? ?? ? ?? ??+1 = ?? + ??+1?? と計算する。
- 11. 計算条件 ? 地球に対するニュートンの運動方程式 ? ?2?? ??2 = ?? ?? ?2 ?? ? , ? ?2 ?? ??2 = ?? ?? ?2 ?? ? , ? ?2?? ??2 = ?? ?? ?2 ?? ? , ? = ?? 2 + ?? 2 + ?? 2 地球の質量： ?=5.972 × 1024 [kg] 太陽の質量： ?=??1.988 × 1030 [kg] 万有引力定数： ?=??6.674 × 10?11 [m3/(kg ? s2)] これをオイラー法、修正オイラー法、シンプレクティック法 を用いて計算する。
- 12. 計算条件 ? 初期条件 初期位置：??0 = 1.496 × 1011 ? , ??0 = ??0 = 0 初期速度：??0 = 0, ??0 = 2.98 × 104 ? ? , ??0 = 0 ? 時間刻み Δ?=0.01[年] ? 計算した時間 100000ステップ?1000年
- 13. 計算結果（１年間の軌道） 最初の１年間 10年後の１年間 ? オイラー法は軌道が膨らんで いる。 ? 修正オイラー法とシンプレク ティック法は楕円軌道が描け ている。 ? オイラー法は軌道が膨らんで 図から外れている。 ? 修正オイラー法とシンプレク ティック法は楕円軌道が描け ている。
- 14. 計算結果（一年間の計算） 100年後の１年間 1000年後の１年間 ? 修正オイラー法は軌道が膨み かけている。 ? シンプレクティック法は楕円 軌道が描けている。 ? 修正オイラー法は軌道が膨ら んでいる。 ? シンプレクティック法は楕円 軌道が描けている。
- 15. 計算結果（1000年間の軌道） オイラー法 修正オイラー法 シンプレクティック法 ? オイラー法は軌道が大きく膨らんで しまっている。 ? 修正オイラー法は若干軌道が膨らん でいる。 ? シンプレクティック法はほぼ一定の 軌道が描けている。
- 16. 計算結果(エネルギー保存則) オイラー法 修正オイラー法 シンプレクティック法 ? オイラー法は全エネルギーが急激に 減衰している。 ? 修正オイラー法は全エネルギーが 徐々に減衰している。 ? シンプレクティック法は全エネル ギーがほぼ保存している。