�ݺ�ߣ

Van Heisenberg naar
Entropische Zwaartekracht

Marcel Vonk
Masterclass Quantum Universe
17 januari 2013

Lezing Erik Verlinde:

2/107


F x T S

Entropische kracht

3/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

Compton- Minimale Unruh-
golflengte entropietoename temperatuur

4/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

F ma
5/107

Vandaag:
1) Meer over entropie, entropische
krachten en de onzekerheidsrelatie

F x T S S 2 kB

2) Wat betekent deze afleiding?

6/107

Inhoud

1. Entropie
2. Entropische krachten
3. Entropie op quantumschaal: de
onzekerheidsrelatie
4. Van entropische kracht naar de
wetten van Newton.

7/107

Entropie
Het begrip entropie zegt iets over hoe
waarschijnlijk en willekeurig bepaalde
natuurkundige toestanden zijn.

9/107

Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:

1) Een statistische

2) Een thermodynamische

We beginnen met de statistische
definitie. 10/107

Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.

11/107

Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.

12/107

Entropie
Welke configuratie is waarschijnlijker?

(1) (2)

13/107

Entropie
Antwoord 1: beide configuraties zijn
even waarschijnlijk!

(1) (2)

14/107

Entropie
De microscopische toestand

…is even waarschijnlijk als de
microscopische toestand

15/107

Entropie
Antwoord 2: configuratie (2) is veel
waarschijnlijker!

…
16/107

Entropie
De macroscopische toestand

2:2

…is veel waarschijnlijker dan de
macroscopische toestand

4:0
17/107

Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.

4:0

18/107

Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.

2:2

… 19/107

Entropie
Bij de macrotoestand 3:1 horen
bijvoorbeeld 16 microtoestanden:

…en bij 2:2 horen er 36.
20/107

Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!

21/107

Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!

meest waarschijnlijke
uitkomst

22/107

Entropie
Dit wordt nog veel extremer als we
grotere systemen beschouwen:

meest waarschijnlijke
uitkomst

23/107

Entropie
Het aantal microtoestanden per
macrotoestand is vaak gigantisch:

290221898034278978720212488115162781261285921681
585875907636440223079481193218327138795984664929
829737740145115100023594381414400 microtoestanden
24/107

Entropie
De entropie van een macrotoestand
wordt mede daarom gedefinieerd als
de logaritme van het aantal
microtoestanden.

25/107

Entropie
Een belangrijke eigenschap van
entropie is dat die in grote systemen
altijd toeneemt.

26/107

Entropie
Ook dit is een puur statistische
eigenschap, er is dus geen
mysterieuze “kracht” aan het werk.

27/107

Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:

28/107

Entropie

d S
0
dt

29/107

Entropie

d S
0
dt

Tweede Hoofdwet van
de thermodynamica
30/107

Entropie
Overigens had Clausius nog niet het
statistische beeld van entropie dat wij
nu hebben.

31/107

Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:

1) Een statistische

2) Een thermodynamische

Wat is de thermodynamische
definitie? 32/107

Entropie
Een fysisch systeem zoals een gas
heeft twee soorten energie:

• Energie die kan worden omgezet
in arbeid
• Energie die “niet beschikbaar is”
33/107

Entropie
De verhouding tussen beschikbare
energie en (absolute) temperatuur
bleek constant.

Clausius noemde deze verhouding,
gemeten in J/K, de entropie.
34/107

Entropie
Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien
dat de twee definities van entropie
hetzelfde zijn.

35/107

Entropie
Belangrijk detail:

• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.

36/107

Entropie
Belangrijk detail:

• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.

S k B ln W

37/107

Entropie
kB heet de constante van Boltzmann:

kB = 1,3806488 x 10-23 J/K

S k B ln W

38/107

Entropische krachten
We hebben gezien dat entropie tot
allerlei dynamische effecten kan
leiden. Deze effecten kunnen zelfs de
vorm van krachten aannemen.

Voorbeeld: een elastiekje.
40/107

Rubber bestaat uit polymeren:

41/107

Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:

42/107

Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
evenwichtslengte

43/107

Als het polymeer zich in een
warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de
lucht) zal het zijn evenwichtslengte
opzoeken.

Kracht!

44/107

Een entropische kracht kan arbeid
(W) verrichten.

Ter herinnering:

W F x
45/107

Arbeid is een toename of afname van
energie; bij een entropische kracht
komt die energie uit de “beschikbare
energie” T·S.

W T S
46/107


W T S W F x

Gelijkstellen geeft de formule voor
een entropische kracht:

F x T S
47/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

F ma
48/107

Entropie op quantumschaal
Levert het begrip entropie geen
probleem op als het aantal
microtoestanden oneindig is?

S k B ln W
50/107

Oplossing in de klassieke
natuurkunde: kies een
“basistoestand” als referentie

51/107

Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).

52/107


S k B ln W

53/107


S k B ln W

Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):

54/107


S k B ln W

Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):

Sb Sa k B ln 2

55/107

In de klassieke natuurkunde zijn
entropieverschillen dus wel goed
gedefinieerd.
In het algemeen zijn we alleen in
zulke verschillen geïnteresseerd!

d S
0 F x T S
dt
56/107

In de quantumfysica blijkt het wel
vaak zo te zijn dat we toestanden
kunnen tellen.

57/107

Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.

58/107

Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.

59/107

Voeg een tweede auto toe:

60/107


61/107


62/107

Voeg een derde auto toe:

63/107

De faseruimte is een
configuratieruimte waarin we de
posities en impulsen (snelheden)
aangeven.

Voorbeeld:
Harmonische oscillator

64/107

Harmonische oscillator:

65/107


66/107


67/107

De faseruimte is opgebouwd uit
fasebanen.

68/107

In de klassieke mechanica kan zo’n
baan willekeurig (continu) gekozen
worden. In de quantummechanica zijn
de banen discreet.

69/107

Een macroscopische toestand
bepaalt een (bewegend) volume in de
faseruimte.

70/107

We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.

71/107

We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.

72/107

Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?

73/107

Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?


x p
2

74/107

Coclusie: het aantal toestanden in
een bepaald stuk faseruimte is
eenvoudigweg het volume, uitgedrukt
in “Planckcellen”.

75/107

Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.

76/107

Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.

77/107

Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.

S k B ln W

78/107

Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.

S kB

79/107

Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”
om de nieuwe microtoestanden te
kunnen tellen.

S kB

80/107

De berekening van Erik Verlinde laat
zien dat de evenredigheidsconstante
gelijk is aan 2π.

S 2 kB

81/107

De factor 2π is overigens nog niet
heel goed begrepen…

??
S 2 kB

…maar blijkt wel in alle drie de
berekeningen hetzelfde te zijn!

82/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

F ma
83/107

4. Entropische krachten en de
wetten van Newton

Zwaartekracht en entropie
Zwaartekracht begrijpen we op grote
schaal heel goed…

85/107

Zwaartekracht en entropie
…maar op quantumschaal kost het
veel moeite de kracht als een
fundamentele kracht te beschrijven.

86/107

Het idee van Erik Verlinde: moeten
we zwaartekracht misschien zien als
een entropische kracht?

87/107

Inspiratie: het idee van holografie.

88/107

Juan Maldacena (1998):

• D-dimensionale theorie
met zwaartekracht

=
• (D-1)-dimensionale theorie
zonder zwaartekracht
89/107

De informatie over een volume in de
ruimtetijd kunnen we “schrijven” op
het oppervlak!

90/107

Ruimte, tijd en dus zwaartekracht
hebben dus in deze holografische
beschrijving heel veel te maken met
entropie!

91/107

Kunnen we zwaartekracht zien als de
bijbehorende entropische kracht?

92/107

Consistency-check: dan moeten…

F x T S F ma

…dus in elk geval equivalent zijn.
93/107


F x T S

Wat vullen we in voor T, Δx en ΔS?

94/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

Compton-golflengte: verplaats het
deeltje van buiten naar binnen het
holografische scherm. 95/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

Bijbehorende minimale entropie-
toename (als we de 2π aannemen).
96/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

Unruh-temperatuur: temperatuur die
een versnelde waarnemer ervaart.
97/107


F x T S

 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c

F ma
98/107

Let op:

• Het idee lijkt dus consistent, maar
deze afleiding zegt nog weinig over
zwaartekracht.
• De vorm van de vergelijkingen
werkt, maar de 2π vullen we nog met
de hand in.
99/107

Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!

G m1 m 2
F 2
r
100/107

Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!

1
8 G
R 2
g R 4
T
c

101/107

Kortom: het idee van Erik Verlinde
helpt ons te begrijpen waarom de
zwaartekracht werkt zoals ze werkt,
en waarom die kracht zo verschillend
is van de andere natuurkrachten.

102/107

Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?

103/107

Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?

104/107

…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.

105/107

…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.

(en op www.quantumuniverse.nl)
106/107

�ݺ�ߣ

130117 heisenberg

More Related Content

130117 heisenberg