�ݺ�ߣ

Σχέδιο μαθήματος 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού - Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Εισαγωγή: Έργο, δύναμη και μετατόπιση
Στη Φυσική ορίζουμε ως έργο W το εσωτερικό γινόμενο της δύναμη F που ασκείται
σε ένα σώμα επί την μετατόπιση x , δηλαδή
W F x F x συνθ    
όπου θ είναι γωνία που σχηματίζει η δύναμη με το οριζόντιο επίπεδο που κινείται το
σώμα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
Παρόλα αυτά στη Φυσική δίνεται ο εξής τύπος:
xW F x F x   
όπου xF είναι η συνισταμένη δύναμη στον οριζόντιο άξονα κίνησης του σώματος.
Η εξήγηση είναι απλή!
Είτε από την τριγωνομετρία ότι
x
x
F
συνφ F F συνθ
F
    , είτε από 1η συνθήκη
καθετότητας διανυσμάτων (που θα δούμε παρακάτω) η συνιστώσα yF είναι κάθετη
στην μετατόπιση, άρα το εσωτερικό γινόμενο ισούται με το μηδέν, δηλαδή
 
xF x
x y x y x x xW F x F F x F x F x F x 0 F x F x

                .
Ιδιότητες της γωνίας  α,β θ
Για δύο μη μηδενικά διανύσματα α,β , ισχύουν:
Ιδ. 1η:    α,β β,α
Ιδ. 2η: α,α 0
Ιδ. 3η:  0 α,β π 
Ιδ. 4η:  α,β 0 α β  
Ιδ. 5η:   π
α,β α β 0
2
   
Ιδ. 6η:  α,β π α β  
Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α,β :
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

Ορισμός εσωτερικού γινομένου
Περίπτωση Ι (α,β 0 )
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α , β και το
συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό α β α β συνθ    , όπου θ η γωνία
των διανυσμάτων α και β .
Περίπτωση ΙΙ (α 0 ή β 0 )
Αν α 0 ή β 0 , τότε ορίζουμε α β 0  (μηδέν και όχι μηδενικό διάνυσμα), δηλαδή
0 β 0  ή α 0 0  ή 0 0 0 
Άμεσες συνέπειες του ορισμού
Ιδ. 1η (αντιμεταθετική ιδιότητα): α β β α  
διότι,    α β α β συν α,β β α συν β,α β α        
Ιδ. 2η (διάνυσμα 2
α ):
22
α α
διότι,   2 2 22
α α α α α συν α,α α συν0 α 1 α        
Ιδ. 3η (ομόρροπα διανύσματα): α β α β α β    
διότι,  α β α,β 0 α β α β συν0 α β        
Ιδ. 4η (αντίρροπα διανύσματα): α β α β α β     
διότι,  α β α,β π α β α β συνπ α β         
Ιδ. 5η (1η συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων): α β α β 0   
διότι,   π π
α β α,β α β α β συν α β 0 0
2 2
          

Πρόταση
Αν    1 1 2 2α x ,y , β x ,y  , τότε 1 2 1 2α β x x y y  
Απόδειξη
(εκτός ύλης)
Σημείωση: Παραλείπεται αν και έχει πολύ ενδιαφέρον για ένα μαθητή που δεν δέχεται
σκέτους τύπους και κανόνες. Επίσης, χρησιμοποιείται ο νόμος των συνημίτονων από τη
Γεωμετρία Β Λυκείου 9ο κεφάλαιο που δείχνει την αναγκαιότητα της Γεωμετρίας στα
μαθηματικά της Κατεύθυνσης.
Αν    1 1 2 2α x ,y ,β x ,y  και  3 3γ x ,y τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Ιδ. 6η (προσεταιριστική ιδιότητα αριθμού):      λ α β λα β α λβ    
διότι,
         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2λ α β λ x x y y λx x λy y λx x λy y λα β        
ή
         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2λ α β λ x x y y λx x λy y x λx y λy α λβ        
Ιδ. 7η (επιμεριστική ιδιότητα):  α β γ α β α γ     
διότι,
       
  
   
   
1 1 2 2 3 3
1 1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 1 2 1 3 1 3
α β γ x , y x , y x , y
x , y x x , y y
x x x y y y
x x x x y y y y
x x y y x x y y
α β α γ
     
  
   
   
   
   
Ιδ. 8η (2η συνθήκη καθετότητας): 1 2α β λ λ 1     , όπου 1λ ο συντελεστής
διεύθυνσης του διανύσματος  1 1 1α x , y ,x 0  και 2λ ο συντελεστής διεύθυνσης
του διανύσματος  2 2 2β x , y ,x 0  .
διότι,
1 2x x 0
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
y y
α β α β 0 x x y y 0 y y x x 1 λ λ 1
x x

                 
Ως προέκταση των παραπάνω ιδιοτήτων είναι οι εξής:
Ιδ. 6β:       λα μβ λμ α β  

διότι,          λα μβ λ α μ β λμ α β      .
Ιδ. 7β:  α β γ α β α γ     
διότι,       α β γ α β γ α β α γ α β α γ               .
Ιδ. 7γ:    α β γ δ α γ α δ β γ β δ          
διότι,        α β γ δ α γ δ β γ δ α γ α δ β γ β δ                 .
Ιδ. 7δ:  
2
2 2
α β α 2α β β    
διότι,
     
2
2 2 2 2 2 2
α β α β α β α α β β α β α α β α β β α 2α β β                    
Ιδ. 7ε:     2 2
α β α β α β    
διότι,     2 2 2 2 2 2
α β α β α α β β α β α α β α β β α β                
Περί διανυσμάτων i, j
 i j 1 
   π
i, j
2

  α x i y j α x, y     
 i j 0 
  i 1,0 και  j 0,1

2
i 1 και
2
j 1
Παράδειγμα
Αν α και β είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, τότε να βρείτε τη σχέση που
συνδέει τις δύο προτάσεις:
i) Π1: α β , Π2: α β
ii) Π1: 
2
α β , Π2: 2 2
α β

Απάντηση
i) Έχουμε,
   α β α β συν α,β α β συν α,β α β 1 α β           
διότι  συν α,β 1 .
Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν,
     συν α,β 1 α,β 0 ή α,β π α / /β      .
ii) Έχουμε,
   2 2 2 22 2 22
α β α β συν α,β α β 1 α β        
Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν,
       2
συν α,β 1 συν α,β 1 α,β 0 ή α,β π α / /β       

�ݺ�ߣ

Σχέδιο μαθήματος παραγράφου 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Σχέδιο μαθήματος παραγράφου 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded (20)

Σχέδιο μαθήματος παραγράφου 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων