�ݺ�ߣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο: ΤΡΊΓΩΝΑ
Υπεύθυνος Καθηγητής: Χαντόγλου Παναγιώτης
1

3.3 2Ο ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΙΣΌΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΏΝΩΝ
2

Θεώρημα (2ο Κριτήριο: Γ – Π – Γ ): Αν δύο τρίγωνα έχουν
μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία
προς μίας, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
 
   
 
       
 
   

Θεώρημα (3ο Κριτήριο: Π – Π – Π ): Αν δύο τρίγωνα έχουν
τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι
ίσα.
4
 
   
 
       
    

ΠΌΡΙΣΜΑ Ι
Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση
του είναι διχοτόμος και ύψος.
Έχουμε ότι αν:
ΑΜ διάμεσος, δηλαδή: ΒΜ = ΜΓ
τότε:
5
1 2
ˆ ˆ και     

ΑΠΌΔΕΙΞΗ ΠΟΡΊΣΜΑΤΟΣ 1
 Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο, με
ΑΒ = ΑΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ.
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ
• ΑΜ κοινή πλευρά
• ΒΜ = ΜΓ (ΑΜ διάμεσος)
• ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση)
Άρα από Π – Π – Π προκύπτει ότι ΑΒΜ = ΑΜΓ και άρα:
Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει ότι: ΑΜ διχοτόμος.
Επιπλέον έχουμε:
Άρα ΑΜ είναι και ύψος. 6
1 2
ˆ ˆ  
1 2 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ180 2 180 90  
            

ΠΌΡΙΣΜΑ ΙΙ
Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου
τμήματος ανήκει στην μεσοκάθετό του.
Απόδειξη
Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
Έστω Μ ένα σημείο τέτοιο ώστε: ΜΑ = ΜΒ και Κ το μέσο του
ΑΒ.
Αφού ΜΑ = ΜΒ, τότε το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές.
Άρα η ΜΚ ως διάμεσος θα είναι ύψος και διχοτόμος.
Άρα η ΜΚ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος
ΑΒ 7

ΠΌΡΙΣΜΑ ΙΙΙ
Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του
ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα.
Γνωρίζουμε ότι:
Απόδειξη
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ:
• ΑΟ = ΟΔ (ως ακτίνες)
• ΑΒ = ΓΔ (υπόθεση)
• ΒΟ = ΓΟ (ως ακτίνες)
Άρα από Π – Π – Π έχουμε: ΑΟΒ = ΓΟΔ και συνεπώς:
8
ˆ ˆ      
Έστω δύο τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ)
μικρότερα του ημικυκλίου με ΑΒ = ΓΔ.
  
  

ΠΌΡΙΣΜΑ ΙV
Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του
ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα.
9

Ερωτήσεις Κατανόησης
10

1. Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις
επόμενες προτάσεις:
i. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι
οξεία.
Λάθος.
Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν όλες του οι γωνίες
του είναι οξείες.
i. Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του
είναι άνισες.
Λάθος.
Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν έχει όλες του τις
πλευρές άνισες. 11

2. Διατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων.
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και
τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα.
Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε
αυτή γωνίες ίσες μία προς μίας, τότε τα τρίγωνα είναι
ίσα.
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,
τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
12

3. Συμπληρώστε τα κενά:
i. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας
της κορυφής είναι:
ΑΠ: Διάμεσος και ύψος
ii. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος που
αντιστοιχεί στη βάση του είναι:
ΑΠ: Διχοτόμος και ύψος
iii. Ένα σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός
τμήματος ΑΒ, όταν
ΑΠ: Ισαπέχει από τα άκρα του
iii. Δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν
ΑΠ: Όταν οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες 13

Ασκήσεις Εμπέδωσης
14

1. Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν β = β΄, γ = γ΄ και
τις γωνίες Α και Α΄ είναι ίσες. Αν Ι είναι το σημείο τομής
των διχοτόμων ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ και Ι΄ το
σημείο τομής των διχοτόμων Α΄Δ΄ και ΒΈ΄ του Α΄Β΄Γ΄
να αποδείξετε ότι:
i. ΑΔ = Α΄Δ΄ και ΒΕ = Β΄Ε΄
ii. ΑΙ = Α΄Ι΄ και ΒΙ = ΒΊ΄
Υπόθεση:
β = β΄, γ = γ΄,
Συμπέρασμα:
ΑΔ = Α΄Δ΄ και ΒΕ = Β΄Ε΄, ΑΙ = Α΄Ι΄ και ΒΙ = ΒΊ΄
Ιδέα:
Ψάχνω τρίγωνα τα οποία να έχουν τις παραπάνω
πλευρές και στη συνέχεια αποδεικνύω ότι είναι ίσα 15
'ˆ ˆ  

Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄
 ΑΒ = Α΄Β΄ (υπόθεση)
 (υπόθεση)
 ΑΓ = Α΄Γ΄ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα.
Επομένως προκύπτει ότι:
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄, γιατί τα στοιχεία που
έχουν δεν είναι αρκετά ώστε να αποδείξουμε τα ζητούμενα16
'ˆ ˆ  
'ˆ ˆ ˆ ˆ, ΄ και ΄ ΄         

Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α΄Β΄Δ΄
 (προηγούμενη σύγκριση)
Άρα από Γ – Π – Γ τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α΄Β΄Δ΄ είναι ίσα.
Επομένως προκύπτει ότι: ΑΔ = Α΄Δ΄
17
'
1 1
ˆ ˆ  
'ˆ ˆ  

Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α΄Β΄Ε΄
 (ως μισές ίσων γωνιών)
Άρα από Γ – Π – Γ τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α΄Β΄Ε΄ είναι ίσα.
Επομένως προκύπτει ότι: ΒΕ = Β΄Ε΄
18
'ˆ ˆ  
'
1 1
ˆ ˆ  

Λύση
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α΄Β΄Ε΄
 (ως μισές ίσων γωνιών)
Άρα από Γ – Π – Γ τα τρίγωνα ΑΒΙ και Α΄Β΄Ι΄ είναι ίσα.
Επομένως προκύπτει ότι: ΒΙ = Β΄Ι΄ και ΑΙ = ΑΊ΄
19
'
1 1
ˆ ˆ  
'
1 1
ˆ ˆ  

2. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν β = β΄, δα = δα΄ και η
γωνίες Α = Α΄. Να αποδείξετε ότι:
i. Οι γωνίες Γ =Γ΄
ii. α = α΄ και γ = γ΄
Υπόθεση:
β = β΄, δα = δα΄
α = α΄ και γ = γ΄
Ιδέα
Ψάχνω τρίγωνα τα οποία να έχουν τις παραπάνω
πλευρές και στη συνέχεια αποδεικνύω ότι είναι ίσα
20
ˆ ˆ΄
  
ˆ ˆ΄
  

Λύση
(i) Τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α΄Γ΄Δ΄ έχουν:
• ΑΔ = Α΄Δ΄ (υπόθεση)
• (ως μισές ίσων γωνιών)
• ΑΓ = Α΄Γ΄ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π έχουμε:
(ii) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν:
• (υπόθεση)
• ΑΓ = Α΄Γ΄ (υπόθεση)
• (προηγούμενη σύγκριση)
21
1 1
ˆ ˆ΄
  
ˆ ˆκαι ΄
΄ ΄ ΄
 
       
1 1
ˆ ˆ΄
  
ˆ ˆ΄
  
Άρα από Γ – Π – Γ
έχουμε:
΄ ΄ ΄
 
    
Άρα α = α΄ και γ = γ΄

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο
τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΓ
είναι ίσα.
Υπόθεση:
ΑΜ διάμεσος
ΑΜ = ΜΔ
Ιδέα
Αν τα στοιχεία μας δεν αρκούν για να δείξουμε ότι δύο
τρίγωνα είναι ίσα, τότε είναι πιθανόν να κάνουμε
περισσότερες από μία συγκρίσεις τριγώνων
22
΄ ΄ ΄
 
    

Λύση
Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΜΓ έχουν:
• ΑΜ = ΜΔ (υπόθεση)
• (ως κατακορυφήν)
• ΒΜ = ΜΓ (υπόθεση)
Άρα από Π – Γ – Π προκύπτει ότι:
Τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΜΓ έχουν:
• ΑΜ = ΜΔ (υπόθεση)
• (ως κατακορυφήν)
• ΒΜ = ΜΓ (υπόθεση)
Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ έχουν:
• ΑΒ = ΓΔ (1η σύγκριση)
• ΒΓ κοινή
• ΑΓ = ΒΔ (2η σύγκριση)
Άρα από Π – Π – Π προκύπτει ότι:
23
1 2
ˆ ˆ  
και ΑΒ = ΓΔ (1)
 
  
3 4
ˆ ˆ  
και ΔΒ = ΓΑ (2)
 
  
 
  

Αποδεικτικές Ασκήσεις
24

1. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης
ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
Υπόθεση:
ΑΒΓ ισοσκελές
ΒΔ, ΓΕ διχοτόμοι
ΒΔ = ΓΕ
Ιδέα
Αρκεί να συγκρίνω δύο τρίγωνα τα οποία να περιέχουν
τις πλευρές αυτές.
25

Τι πρέπει να γνωρίζουμε όταν βλέπουμε σε μία άσκηση ότι
ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές;
26
ισοσκελές
ˆ
διάμεσος ΑΜ διχοτόμος και ύψος
     
   
    
 

Λύση
Τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ έχουν:
•
• ΒΓ κοινή
•
Επομένως από Γ – Π – Γ προκύπτει ότι:
27
Δ
ˆ ˆ (ΑΒΓ ισοσκελές)  
1 1
ˆˆ =Β (ως μισές ίσων γωνιών)
ΓΕ = ΒΔ
 
   

2. Αν ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ είναι τρεις διάμετροι κύκλου, να
αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα.
Υπόθεση:
ΑΑ΄, ΒΒ΄, ΓΓ΄ διάμετροι
Ιδέα
Αν τα στοιχεία μας δεν αρκούν για να δείξουμε ότι δύο
τρίγωνα είναι ίσα, τότε είναι πιθανόν να κάνουμε
περισσότερες από μία συγκρίσεις τριγώνων 28
΄ ΄ ΄
 
    

Λύση
Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΆ΄Β΄ έχουν:
• ΟΑ = ΟΆ΄ (ως ακτίνες)
•
• ΟΒ = Ο΄Β΄(ως ακτίνες)
Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΆ΄Γ΄ έχουν:
• ΟΑ = ΟΆ΄ (ως ακτίνες)
•
• ΟΓ = Ο΄Γ΄(ως ακτίνες)
29
1 2
ˆ ˆ= (ως κατακορυφήν) 
ΑΒ = Α΄Β΄΄ ΄ ΄
 
     
3 4
ΑΓ = Α΄Γ΄΄ ΄ ΄
 
     

Τα τρίγωνα ΟΒΓ και Ο΄Β΄Γ΄ έχουν:
• ΟΓ = ΟΓ΄ (ως ακτίνες)
•
• ΟΒ = Ο΄Β΄(ως ακτίνες)
Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΆ΄Β΄ έχουν:
• ΑΒ = Α΄Β΄(σύγκριση 1η)
• ΑΓ = Α΄Γ΄ (σύγκριση 2η)
• ΒΓ = Β΄Γ΄ (σύγκριση 3η)
Άρα από Π – Π – Π προκύπτει ότι:
30
1 2
ΒΓ = Β΄Γ΄΄ ΄ ΄
 
     
΄ ΄ ΄
 
    

3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και οι
γωνίες Β και Γ είναι ίσες. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες Α
και Δ είναι ίσες.
Υπόθεση:
ΑΒ = ΓΔ
Ιδέα
Αρκεί να δημιουργήσουμε δύο τρίγωνα τα οποία να
περιέχουν τις γωνίες αυτές. Για να το πετύχουμε αυτό αρκεί
να φέρουμε ευθύγραμμα τμήματα.
31
ˆ ˆ  
ˆ ˆ  

Λύση
Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ έχουν:
•
• ΒΓ κοινή
Άρα από Π – Γ – Π, προκύπτει ότι:
Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΓΔ έχουν:
• ΒΔ = ΑΓ (προηγούμενη σύγκριση)
• ΑΔ κοινή
Άρα από Π – Π – Π, προκύπτει ότι:
32
ˆ ˆ (υπόθεση)  
ΑΓ = ΒΔ
 
   
ˆ ˆ
 
      

Σύνθετα Θέματα
33

1. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄. Η διάμεσος
ΑΜ και η διχοτόμος ΒΔ τους ΑΒΓ τέμνονται στο Θ, ενώ η
αντίστοιχη διάμεσος Α΄Μ΄ και η αντίστοιχη διχοτόμος
Β΄Δ΄ του Α΄Β΄Γ΄ τέμνονται στο Θ΄. Να αποδείξετε ότι: i)
ΒΔ = Β΄Δ΄
Υπόθεση:
ΑΜ, Α΄Μ΄ διάμεσος
ΒΔ , Β΄Δ΄ διχοτόμος
ΑΒΓ = Α΄Β΄Γ΄
ΒΔ = Β΄Δ΄
Ιδέα
Αρκεί να βρούμε δύο τρίγωνα τα οποία να περιέχουν τις
ζητούμενες πλευρές και να αποδείξουμε ότι είναι ίσα. 34

Ερμηνεία των δεδομένων:
35
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
΄ ΄
΄ ΄
΄ ΄
΄ ΄ ΄
΄
΄
΄
 
   
   
   
      
  
  

  
διάμεσος
διάμεσος΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄
    
       
1 2
΄ ΄
1 2
ˆ ˆδιχοτόμος Β Β
ˆ ˆδιχοτόμος Β Β΄ ΄
  
   

Λύση:
(i)
Τα τρίγωνα ΒΔΓ και Β΄Δ΄Γ΄ έχουν:
•
• ΒΓ = Β΄Γ΄ (διότι τα τρίγωνα είναι ίσα)
•
Άρα από Γ – Π – Γ προκύπτει ότι:
36
΄
1 1
ˆ ˆΒ Β (ως μισές ίσων γωνιών)
ˆ ˆ ( )΄ ΄ ΄ ΄
 
       
΄ ΄ ΄ ΄ ΄
 
         

Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α΄Β΄Μ΄ έχουν:
• ΒΜ = Β΄Μ΄ (διότι τα τρίγωνα είναι ίσα)
•
• ΑΒ = Α΄Β΄ (διότι τα τρίγωνα είναι ίσα)
37
ˆ ˆ ( )΄ ΄ ΄ ΄
 
       
ˆ ˆ΄ ΄ ΄ ΄ ΄ ΄
 
          
ˆ ˆ(ii) ν.δ.ο. ΄ ΄ ΄    

Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α΄Β΄Θ΄ έχουν:
•
• ΑΒ = Α΄Β΄ (διότι τα τρίγωνα είναι ίσα)
•
Άρα από Γ – Π – Γ προκύπτει ότι:
38
΄
2 2
ˆ ˆΒ Β (ως μισές ίσων γωνιών)
ˆ ˆ (προηγούμενο ερώτημα)΄ ΄ ΄    
΄ ΄ ΄
 
    
(iii) ΄ ΄ ΄
 
    

Ξέρουμε από ερώτημα (iii) ότι:
Από ερώτημα (i) ότι:
Από (1) και (2) προκύπτει:
ΒΔ – ΒΘ = Β΄Δ΄ – Β΄Θ΄ ⇔ ΘΔ = Θ΄Δ΄ 39
και ΒΘ = Β΄Θ΄ (1)΄ ΄ ΄ ΄ ΄
 
         
(iv) και ΘΔ = Θ΄Δ΄΄ ΄   
(2)΄ ΄ ΄ ΄ ΄
 
         

2. Δύο τμήματα ΑΒ και ΓΔ, που δεν έχουν τον ίδιο φορέα,
έχουν την ίδια μεσοκάθετο ε. Αν η ε και η μεσοκάθετος
του ΑΓ τέμνονται, να αποδείξετε ότι από το σημείο
τομής τους διέρχεται και η μεσοκάθετος του ΒΔ
Δεδομένα:
ε, ε1 μεσοκάθετοι
Ο: σημείο τομής όλων των μεσοκαθέτων
Ιδέα
Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου
τμήματος, ισαπέχει από τα άκρα του. 40

Λύση
Φέρουμε τα τμήματα ΑΟ, ΟΓ,
. ΟΔ και ΟΒ. Επομένως:
ε1 μεσοκάθετος του ΑΓ, άρα ΑΟ = ΟΓ (1)
ε μεσοκάθετος του ΓΔ, άρα ΓΟ = ΟΔ (2)
ε μεσοκάθετος του ΑΒ, άρα ΑΟ = ΒΟ (3)
Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι: ΑΟ = ΟΓ = ΟΔ = ΟΒ
Άρα ΟΒ = ΟΔ
Επομένως το σημείο Ο ισαπέχει από τα άκρα του ΒΔ, άρα
θα βρίσκεται πάνω στην μεσοκάθετο του ευθυγράμμου
τμήματος ΒΔ.
41

3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Η
μεσοκάθετος της πλευράς ΑΓ τέμνει την προέκταση της
ΓΒ στο Δ. Προεκτείνουμε τη ΔΑ κατά τμήμα ΑΕ
= ΔΒ. Να αποδείξετε ότι:
i. Το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές
ii. Το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές
Υπόθεση:
ΑΒΓ ισοσκελές
ε μεσοκάθετος
ΔΑΓ, ΓΔΕ ισοσκελή
Ιδέα
Αρκεί να δείξουμε ότι έχουν δύο πλευρές ίσες.
Θυμήσου: Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός
ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.
42

Λύση
(i) ΔΖ μεσοκάθετος του ΑΓ ⇔ ΑΔ = ΔΓ (1) ⇔ το τρίγωνο
ΑΓΔ είναι ισοσκελές.
(ii) Ξέρουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, άρα:
Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές, άρα:
Άρα
43
ˆ ˆ  
ˆ ˆ  
ˆ ˆ ˆ    
ˆ ˆΕπομένως: Ε Γ
(ως παραπληρωματικές
ίσων γωνιών)
  

Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ έχουν:
• ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελές)
•
• ΒΔ = ΑΕ (υπόθεση)
Άρα από Π –Γ – Π, προκύπτει ότι:
Από (1) και (2) έχουμε:
ΑΔ = ΔΓ
ΑΔ = ΓΕ
Άρα ΓΔ = ΓΕ. Επομένως το ΓΔΕ είναι ισοσκελές τρίγωνο.
44
ˆ ˆΕ Γ (παραπάνω απόδειξη)  
Ε Γ (2)      

45
Τέλος Παρουσίασης!!!
Επιμέλεια: Χαντόγλου
Παναγιώτης
Τηλέφωνο Επικοινωνίας:
6989153358

�ݺ�ߣ

ΓεӬμετ��ία: 3.3-3.4

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to ΓεӬμετ��ία: 3.3-3.4 (20)

Recently uploaded (20)

ΓεӬμετ��ία: 3.3-3.4