Apendice FISICA
- 1. A. Relaciones vectoriales. A.1. Vectores unitarios. ux, uy, uz ? coordenadas rectangulares (constantes) u¦Ñ, u?, uz ? coordenadas cil??ndricas (no constantes, salvo uz) ur, u¦È, u? ? coordenadas esf?ericas (no constantes) A.2. Transformaciones de coordenadas. x = ¦Ñ cos ? = r sen ¦È cos ? y = ¦Ñ sen ? = r sen ¦È sen ? z = r cos ¦È ¦Ñ = ¡Ì x2 + y2 = r sen ¦È ? = tan?1 (y/x) r = ¡Ì x2 + y2 + z2 = ¡Ì ¦Ñ2 + z2 ¦È = tan?1 ( ¡Ì x2 + y2/z) = tan?1 (¦Ñ/z) A.3. Transformaciones de las componentes coordenadas. Ax = A¦Ñ cos ? ? A? sen ? = Ar sen ¦È cos ? + A¦È cos ¦È cos ? ? A? sen ? Ay = A¦Ñ sen ? + A? cos ? = Ar sen ¦È sin ? + A¦È cos ¦È sen ? + A? cos ? Az = Ar cos ¦È ? A¦È sen ¦È A¦Ñ = Ax cos ? + Ay sen ? = Ar sen ¦È + A¦È cos ¦È A? = ?Ax sen ? + Ay cos ? Ar = Ax sen ¦È cos ? + Ay sen ¦È sen ? + Az cos ¦È = A¦Ñ sen ¦È + Az cos ¦È A¦È = Ax cos ¦È cos ? + Ay cos ¦È sen ? ? Az sen ¦È = A¦Ñ cos ¦È ? Az sen ¦È A.4. Elementos diferenciales de longitud. dl = ? ?? ?? uxdx + uydy + uzdz u¦Ñd¦Ñ + u?¦Ñd? + uzdz urdr + u¦Èrd¦È + u?r sen ¦Èd? A.5. Elementos diferenciales de super?cie. ds = ? ?? ?? uxdy dz + uydx dz + uzdx dy u¦Ñ¦Ñ d? dz + u?d¦Ñ dz + uz¦Ñ d¦Ñ d? urr2 sen ¦È d¦È d? + u¦Èr sen ¦È dr d? + u?r dr d¦È A.6. Elementos diferenciales de volumen. dv = ? ?? ?? dx dy dz ¦Ñ d¦Ñ d? dz r2 dr sen ¦È d¦È d? 22
- 2. A.7. Operaciones vectoriales ¨C coordenadas rectangulares. ¦Á = ux ?¦Á ?x + uy ?¦Á ?y + uz ?¦Á ?z ¡¤ A = ?Ax ?x + ?Ay ?y + ?Az ?z ¡Á A = ux ?Az ?y ? ?Ay ?z + uy ?Ax ?z ? ?Az ?x + uz ?Ay ?x ? ?Ax ?y 2 ¦Á = ?2 ¦Á ?x2 + ?2 ¦Á ?y2 + ?2 ¦Á ?z2 ¡Ô ¡¤ ¦Á 2 A = ux 2 Ax + uy 2 Ay + uz 2 Az ¡Ô ( ¡¤ A) ? ¡Á ( ¡Á A) A.8. Operaciones vectoriales ¨C coordenadas cil??ndricas. ¦Á = u¦Ñ ?¦Á ?¦Ñ + u? 1 ¦Ñ ?¦Á ?? + uz ?¦Á ?z ¡¤ A = 1 ¦Ñ ?¦ÑA¦Ñ ?¦Ñ + 1 ¦Ñ ?A? ?? + ?Az ?z ¡Á A = u¦Ñ 1 ¦Ñ ?Az ?? ? ?A? ?z + u? ?A¦Ñ ?z ? ?Az ?¦Ñ + uz 1 ¦Ñ ?¦ÑA? ?¦Ñ ? ?A¦Ñ ?? 2 ¦Á = 1 ¦Ñ ? ?¦Ñ ¦Ñ ?¦Á ?¦Ñ + 1 ¦Ñ2 ?2 ¦Á ??2 + ?2 ¦Á ?z2 A.9. Operaciones vectoriales ¨C coordenadas esf?ericas. ¦Á = ur ?¦Á ?r + u¦È 1 r ?¦Á ?¦È + u? 1 r sen ¦È ?¦Á ?? ¡¤ A = 1 r2 ? ?r r2 Ar + 1 r sen ¦È ? ?¦È ( sen ¦ÈA¦È) + 1 r sen ¦È ?A? ?? ¡Á A = ur 1 r sen ¦È ? ?¦È (A? sen ¦È) ? ?A¦È ?? + u¦È 1 r 1 sen ¦È ?Ar ?? ? ?(rA?) ?r + u? 1 r ?(rA¦È) ?r ? ?Ar ?¦È 2 ¦Á = 1 r2 ? ?r r2 ?¦Á ?r + 1 r2 sen ¦È ? ?¦È sen ¦È ?¦Á ?¦È + 1 r2 sen 2¦È ?2 ¦Á ??2 2 A = ur 2 Ar ? 2 r2 Ar + cot ¦ÈA¦È + cosec ¦È ?A? ?? + ?A¦È ?¦È + u¦È 2 A¦È ? 1 r2 cosec 2 ¦ÈA¦È ? 2 ?Ar ?¦È + 2 cot ¦È cosec ¦È ?A? ?? + u? 2 A? ? 1 r2 cosec 2 ¦ÈA? ? 2 cosec ¦È ?Ar ?? ? 2 cot ¦È cosec ¦È ?A¦È ?? 23
- 3. A.10. Operaciones vectoriales ¨C diferenciaci?on. (¦Á + ¦Â) = ¦Á + ¦Â ¡¤ (A + B) = ¡¤ A + ¡¤ B ¡Á (A + B) = ¡Á A + ¡Á B (¦Á¦Â) = ¦Á ¦Â + ¦Â ¦Á ¡¤ (¦ÁA) = ¦Á ¡¤ A + A ¡¤ ¦Á ¡Á (¦ÁA) = ¦Á( ¡Á A) ? A ¡Á ¦Á ¡¤ (A ¡Á B) = B ¡¤ ( ¡Á A) ? A ¡¤ ( ¡Á B) 2 A = ( ¡¤ A) ? ¡Á ( ¡Á A) ¡Á (¦Á ¦Â) = ¦Á ¡Á ¦Â ¡Á ¦Á = 0 ¡¤ ( ¡Á A) = 0 ¡Á (A ¡Á B) = A( ¡¤ B) + (B ¡¤ )A ? B( ¡¤ A) ? (A ¡¤ )B A.11. Operaciones vectoriales ¨C integraci?on. V ¡¤ Ad3 r = S A ¡¤ ds S ¡Á A ¡¤ ds = l A ¡¤ dl V ¡Á Ad3 r = ? S A ¡Á ds V ¦Ád3 r = S ¦Áds S un ¡Á ¦Áds = l ¦Ádl B. F?ormulas ?utiles B.1. Integrales de uso m?as frecuente. dx (a2 + x2)3/2 = x a2 ¡Ì a2 + x2 ; xdx (a2 + x2)3/2 = ?1 ¡Ì a2 + x2 xdx ¡Ì a2 + x2 = ¡Ì a2 + x2 ; dx ¡Ì a2 + x2 = ln (x + ¡Ì a2 + x2) 24
- 4. x2 dx (a2 + x2)3/2 = ?x ¡Ì a2 + x2 + ln (x + ¡Ì a2 + x2) ; adx a2 + x2 = tan?1 x a B.2. Desarrollos m?as utilizados. (1 + x)¦Á = 1 + ¦Áx + ¦Á(¦Á ? 1) 2! x2 + ¦Á(¦Á ? 1)(¦Á ? 2) 3! x3 + . . . ln (x + ¡Ì a2 + x2) = ln a + x a ? 1 3! x3 a3 + . . . 25