![Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn
- 2 -
4) T? so¨¢ l???ng gia¨´c: sin ?
?o¨¢i
huye¨¤n
cos ?
ke¨¤
huye¨¤n
?o¨¢i
tag =
ke¨¤
ke¨¤
cotag =
?o¨¢i
Cung 0o
15o
30o
45o
60o
75o
90o
105o
120o
135o
150o
Sin 0
6 2
4
? 1
2
2
2
3
2
6 2
4
?
1
6 2
4
? 3
2
2
2
1
2
Cos 1
6 2
4
? 3
2
2
2
1
2
6 2
4
?
0
6 2
4
? ? 1
2
?
2
2
?
3
2
?
Tag 0 2 3?
3
3
1 3 2 3? ?? 2 3? ? 3? -1
3
3
?
Cotag ? ? 1 2 3
2
?
3 1
3
3
2 3? 0 2 3? ?
3
3
? -1 3?
5) Gia?i ph??ng tr¨¬nh: ax2
+ bx + c = 0 ( ?a 0)
a. Du?ng co?ng th?¨´c nghie?m: [Ph??ng tr¨¬nh ax2
+ bx + c = 0 v?¨´i a va? c tra¨´i da¨¢u th¨¬ luo?n co¨´ 2 nghie?m pha?n
bie?t]
;
2 2
2
b b
a a
b
a
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
2
1 2
1 2
= b -4ac
* > 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´2 nghie?m pha?n bie?t : x x
* = 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´nghie?m ke¨´p : x x
* < 0 Ph??ng tr¨¬nh vo?nghie?m
b. Du?ng co?ng th?¨´c nghie?m thu go?n
2 ' ' ; '
2
' '
' ;
'
'
b
b b b
b b
a a
b
a
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ?
2
1 2
1 2
= b' -ac
* > 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´2 nghie?m pha?n bie?t : x x
* = 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´nghie?m ke¨´p : x x
* < 0 Ph??ng tr¨¬nh vo?nghie?m
c. T¨ªnh nha?m nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh ba?c 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
*
0
0
b
S x x
a
x x
c
P x x
a
c
a b c x x
a
c
a b c x x
a
?
? ? ? ? ??
??
?? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
Bie¨¢t ????c: va?
* Bie¨¢t ????c: =1va?
* Bie¨¢t ????c: = -1va?
? Ca¨´c tam gia¨´c ?a?c bie?t ?
6) Tam gia¨´c vuo?ng ca?n
- ABC? vuo?ng ca?n ta?i A; AB = AC = a
- ? ? ?ABC ?o¨¤ng da?ng v?¨´i ABH ?o¨¤ng da?ng v?¨´i ACH
A
B C
H
a](https://image.slidesharecdn.com/cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-150210194204-conversion-gate01/85/Cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-2-320.jpg)
![Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn
- 5 -
- Da?ng co¨´ ch?¨´a da¨¢u ca¨ºn: ? a+ b ab? v?¨´i 0; 0a b? ?
?
1 2
a + b a+b
? v?¨´i a > 0 ; b > 0
- Da?ng kho?ng co¨´ da¨¢u ca¨ºn
?
2
(a+ b)
ab
2
?
? 2
(a+b) 4ab?
? 2 2
a +b 2ab?
5.
A 0(hayB 0)
A B
A = B
? ??
? ? ?
?
6. 2
B 0
A B
A = B
??
? ? ?
?
7.
B 0
| A | = B
A = B hay A = -B
??
? ?
?
8. 2 2 2 2
X A X Ahay X A ; X A A X A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9. ( ) ( ) ( )f x g x h x? ?
- ?a?t ?ie¨¤u kie?n: ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f x g x h x? ? ?
- Chuye?n ve¨¢ (2 ve¨¢ pha?i kho?ng a?m)
- B¨¬nh ph??ng 2 ve¨¢
10. 2 2
;Min X m m Max m X m? ? ? ? ? ? ? ? ?
11. ?ie¨¤u kie?n ?e? bie?u th?¨´c co¨´ ngh¨®a: - Bie?u th?¨´c co¨´ da?ng A co¨´ ngh¨®a khi
- 0A ? - Bie¨¤u th?¨´c co¨´ da?ng
A
B
co¨´ ngh¨®a khi 0B ? - Bie?u th?¨´c co¨´ da?ng
A
B
co¨´ ngh¨®a khi 0B ?
12) ????ng tha¨²ng song song va? ????ng tha¨²ng ca¨¦t nhau. He? so¨¢ go¨´c cu?a ????ng tha¨²ng
1. Cho 2 ????ng tha¨²ng: (d1) : y = ax + b (a? 0) va? (d2) : y = a¡¯x + b¡¯ (a¡¯ ? 0)
? (d1) // (d2) ' ; 'a a b b? ? ?
? (d1) ?(d2) ' ; 'a a b b? ? ?
? (d1) ca¨¦t (d2) 'a a? ?
? (d1) ? (d2) . ' 1a a? ? ?
2. Khi a > 0 th¨¬ goa¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b va? tru?c Ox la? go¨´c nho?n.
Khi a < 0 th¨¬ goa¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b va? tru?c Ox la? go¨´c tu?.
3. Ne¨¢u (d1) ca¨¦t (d2) th¨¬ hoa?nh ?o? giao ?ie?m la? nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh ax + b = a¡¯x + b¡¯
4. Go?i ? la? go¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b v?¨´i tru?c Ox. Ne¨¢u a > 0 th¨¬ = a?tg
13) Ca¨´c da?ng ph??ng tr¨¬nh ?a?c bie?t:
1. Ph??ng tr¨¬nh ba?c 3: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 (a ? 0) [?]
Ne¨¢u bie¨¢t 1 nghie?m x = x0 th¨¬ [?] ????c ??a ve¨¤ ph??ng tr¨¬nh t¨ªch: (x ¨C x0)(ax2
+ mx + n) = 0
2. Ph??ng tr¨¬nh he? ?o¨¢i x?¨´ng ba?c 4: ax4
+ bx3
+ cx2
+ bx + a = 0 (a ? 0) [?]
a) Ph??ng pha¨´p gia?i:
- Nha?n xe¨´t x = 0 kho?ng pha?i la? nghie?m cu?a [?].
- Chia 2 ve¨¢ cu?a [?] cho x2
va? nho¨´m ca¨´c so¨¢ ha?ng ca¨´ch ?e¨¤u 2 so¨¢ ha?ng ?a¨¤u va? cuo¨¢i tha?nh t??ng nho¨´m ????c
ph??ng tr¨¬nh [??]
- ?a?t a?n phu?
1
t x
x
? ? [???] 2 2
2
1
2t x
x
? ? ? ? ro¨¤i the¨¢ va?o ph??ng tr¨¬nh [??].
- Gia?i ph??ng tr¨¬nh trung gian na?y ?e? t¨¬m t, the¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o [???] ?e? t¨¬m x
b) Ve¨¤ nghie?m so¨¢ cu?a ph??ng tr¨¬nh:
- Ne¨¢u x0 la? nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh [?] th¨¬
0
1
x
cu?ng la? nghie?m cu?a no¨´
c) Ph??ng tr¨¬nh he? ?o¨¢i x?¨´ng ba?c 5: ax5
+ bx4
+ cx3
+ cx2
+ bx + a = 0 (a ? 0) [?]
co¨´ nghie?m x = -1 (v¨¬ to?ng he? so¨¢ ba?c cha¨¹n ba¨¨ng to?ng ca¨´c he? so¨¢ ba?c le?). V¨¬ the¨¢ [?] co¨´ the? bie¨¢n ?o?i tha?nh:
? ? ? ? ? ? ? ?4 3 2
1 0x ax b a x c a b x b a x a? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?](https://image.slidesharecdn.com/cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-150210194204-conversion-gate01/85/Cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-5-320.jpg)
![Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn
- 6 -
3. Ph??ng tr¨¬nh ho¨¤i quy: ax4
+ bx3
+ cx2
+ mx + n = 0 (a ? 0) trong ?o¨´
2
n m
a b
? ?
? ? ?
? ?
[?]
a) Ph??ng pha¨´p gia?i:
- Nha?n xe¨´t x = 0 kho?ng pha?i la? nghie?m cu?a [?].
- Chia 2 ve¨¢ cu?a [?] cho x2
va? nho¨´m ca¨´c so¨¢ ha?ng ca¨´ch ?e¨¤u 2 so¨¢ ha?ng ?a¨¤u va? cuo¨¢i tha?nh t??ng nho¨´m ????c
ph??ng tr¨¬nh [??]
- ?a?t a?n phu?
m
t x
bx
? ? [???]
2
2 2
2 2
2m m
t x
b b x
? ? ? ? ro¨¤i the¨¢ va?o ph??ng tr¨¬nh [??].
- Gia?i ph??ng tr¨¬nh trung gian na?y ?e? t¨¬m t, the¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o [???] ?e? t¨¬m x
4. Ph??ng tr¨¬nh trong ?o¨´ a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m [?]
Ph??ng pha¨´p gia?i:
- Vie¨¢t la?i [?] d???i da?ng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] ¨C m = 0 [??]
- Khai trie?n ca¨´c t¨ªch va? ?a?t a?n phu? t la? 1 trong 2 bie?u th?¨´c v??a khai trie?n.
- The¨¢ a?n phu? va?o ph??ng tr¨¬nh [??], gia?i ph??ng tr¨¬nh, t¨¬m gia¨´ tr¨° cu?a t.
- The¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o bie?u th?¨´c ch?¨´a a?n phu? ?e? t¨¬m x.
5. Ph??ng tr¨¬nh trong ?o¨´: (x + a)4
+ (x + b)4
= c
Ph??ng pha¨´p gia?i:
- ?o¨¢i v?¨´i ph??ng tr¨¬nh da?ng na?y, ta ?a?t a?n phu? la? trung b¨¬nh co?ng cu?a (x + a) va? (x + b):
- ?a?t
2
a b
t x
?
? ?
14) Mo?t so¨¢ kie¨¤n th?¨´c c? ba?n ve¨¤ h¨¬nh ho?c ca¨¢p 2:
1. Trung tuye¨¢n cu?a tam gia¨´c: Trung tuye¨¢n cu?a tam gia¨´c la? ?oa?n
tha¨²ng, mo?t ?a¨¤u no¨¢i ??nh cu?a tam gia¨´c, ?a¨¤u kia no¨¢i trung tuye¨¢n cu?a
ca?nh ?o¨¢i die?n v?¨´i ??nh tre?n.
Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AM la? trung tuye¨¢n ? MC = MB
- A?p du?ng va?o tam gia¨´c vuo?ng:
+ ?¨°nh l¨ª thua?n: Trong 1 tam gia¨´c vuo?ng, ????ng trung tuye¨¢n ?¨´ng v?¨´i ca?nh huye¨¤n th¨¬ ba¨¨ng n??a ca?nh huye¨¤n
+ ?¨°nh l¨ª ?a?o: Trong 1 tam gia¨´c, ????ng trung tuye¨¢n ba¨¨ng n??a ca?nh ?o¨¢i die?n th¨¬ tam gia¨´c ?o¨´ vuo?ng.
2. Tia pha?n gia¨´c:
- Tia pha?n gia¨´c cu?a go¨´c la? tia na¨¨m trong go¨´c a¨¢y va? chia go¨´c ?o¨´ ra la?m hai go¨´c ba¨¨ng nhau.
- Pha?n gia¨´c cu?a tam gia¨´c la? mo?t ?oa?n tha¨²ng co¨´ mo?t ?a¨¤u la? ??nh
cu?a tam gia¨´c, ?a¨¤u kia la? giao ?ie?m cu?a tia fa?n gia¨´c xua¨¢t pha¨´t t??
??nh ?e¨¢n ca?nh ?o¨¢i die?n.
- Trong mo?t tam gia¨´c, ????ng pha?n gia¨´c trong va? ngoa?i chia
ca?nh ?o¨¢i die?n tha?nh nh??ng ?oa?n t? le?v?¨´i hai ca?nh ke¨¤.
Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AM la? ????ng pha?n gia¨´c
BM AB
CM AC
? ?
3. ????ng trung tr??c:
- ?¨°nh ngh¨®a: ????ng tha¨²ng trung tr??c cu?a 1 ?oa?n tha¨²ng la? ????ng tha¨²ng vuo?ng go¨´c
v?¨´i ?oa?n ?o¨´ ta?i trung ?ie?m.
- ?¨°nh l¨ª 1: Ne¨¢u ?ie?m M na¨¨ tre?n ????ng trung tr??c cu?a ?oa?n tha¨²ng AB la? ????ng trung
tr??c cu?a ?oa?n AB.
- ?¨°nh l¨ª 2:Ta?p h??p nh??ng ?ie?m ca¨´ch ?e¨¤u 2 ?a¨¤u cu?a ?oa?n tha¨²ng AB la? ????ng tha¨²ng
trung tr??c cu?a ?oa?n AB
Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AH v??a la? ????ng cao, v??a la? trung tuye¨¢n, v??a la? pha?n gia¨´c, v??a la? trung tr??c (tam gia¨´c ABC ca?n)
4. ????ng trung b¨¬nh cu?a tam gia¨´c:
- ?¨°nh l¨ª 1: Trong mo?t tam gia¨´c, ne¨¢u mo?t ????ng tha¨²ng ?i qua trung
?ie?m cu?a mo?t ca?nh va? song song v?¨´i canh th?¨´ hai th¨¬ no¨´ ?i qua
trung ?ie?m cu?a ca?nh th?¨´ ba.
A
B C
M
A
B C
M
A
CB
H](https://image.slidesharecdn.com/cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-150210194204-conversion-gate01/85/Cong-thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du-6-320.jpg)
![[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] c¨¢c pp giai toan lop 9](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/www-150128012343-conversion-gate01-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
![[Vnmath.com] chuyen dh vinh lan 2 2015](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/vnmath-150601180357-lva1-app6892-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
More Related Content
What's hot (15)
Viewers also liked (20)
Similar to Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du (20)
Cong thuc-toan-9-day-du-cong-thuc-toan-9-day-du
- 1. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 1 - 1) Ph??ng tr¨¬nh: ax2 + bx + c = 0 ( ?a? 0 ) ? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m pha?n bie?t 0? ? ? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m tra¨´i da¨¢u 0 0P ? ?? ? ? ?? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m cu?ng da¨¢u 0 0P ? ?? ? ? ?? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m cu?ng d??ng 0 0 0 P S ? ?? ? ? ?? ? ?? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m cu?ng a?m 0 0 0 P S ? ?? ? ? ?? ? ?? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m ?o¨¢i nhau 0 0 0 P S ? ?? ? ? ?? ? ?? V¨ª du?: Cho ph??ng tr¨¬nh: 2x2 ¨C 5x ¨C m + 3 = 0 ? a. T¨¬m ?ie¨¤u kie?n ?e? ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m tra¨´i da¨¢u: 2 2 4 ( 5) 4.2( 3) 25 8 24 1 8b ac m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - Gia? s?? ph??ng tr¨¬nh co¨´ 2 nghie?m x1, x2 - Theo ?¨°nh l¨ª Viet, ta co¨´: 1 2 1 2 5 2,5 2 3 2 b S x x a c m P x x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m tra¨´i da¨¢u ? ? 11 8 0 0 8 1 33 8 0 3 00 32 m m m mm P m m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? - Va?y m>3 th¨¬ ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m tra¨´i da¨¢u. b. T¨¬m ?ie¨¤u kie?n ?e? ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m cu?ng a?m: - Ph??ng tr¨¬nh ? co¨´ 2 nghie?m cu?ng a?m 1 8 00 3 00 2,5 0( )0 m mP saiS ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? - Va?y kho?ng co¨´ gia¨´ tr¨° m ?e? ph??ng tr¨¬nh co¨´ 2 nghie?m cu?ng a?m. 2) He? ph??ng tr¨¬nh: ?? ? ?? ax + by = c a'x + b'x = c' - He? ph??ng tr¨¬nh co¨´ nghie?m duy nha¨¢t ' ' a b a b ? ? - He? ph??ng tr¨¬nh vo? nghie?m ' ' ' a b c a b c ? ? ? - He? ph??ng tr¨¬nh co¨´ vo?? so¨¢ nghie?m ' ' ' a b c a b c ? ? ? 3) Ha¨¨ng ?a¨²ng th?¨´c ? 2 2 2 ( ) 2a b a ab b? ? ? ? ? 2 2 2 ( ) 2a b a ab b? ? ? ? ? 3 3 3 2 2 ( ) 3 3a b a b a b ab? ? ? ? ? ? 3 3 3 2 2 ( ) 3 3a b a b a b ab? ? ? ? ? ? 2 2 ( )( )a b a b a b? ? ? ? ? 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2a b a b ab a b ab? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 2 ( )( )a b a b a ab b? ? ? ? ? ? 3 3 2 2 ( )( )a b a b a ab b? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc? ? ? ? ? ? ? ?
- 2. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 2 - 4) T? so¨¢ l???ng gia¨´c: sin ? ?o¨¢i huye¨¤n cos ? ke¨¤ huye¨¤n ?o¨¢i tag = ke¨¤ ke¨¤ cotag = ?o¨¢i Cung 0o 15o 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120o 135o 150o Sin 0 6 2 4 ? 1 2 2 2 3 2 6 2 4 ? 1 6 2 4 ? 3 2 2 2 1 2 Cos 1 6 2 4 ? 3 2 2 2 1 2 6 2 4 ? 0 6 2 4 ? ? 1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? Tag 0 2 3? 3 3 1 3 2 3? ?? 2 3? ? 3? -1 3 3 ? Cotag ? ? 1 2 3 2 ? 3 1 3 3 2 3? 0 2 3? ? 3 3 ? -1 3? 5) Gia?i ph??ng tr¨¬nh: ax2 + bx + c = 0 ( ?a 0) a. Du?ng co?ng th?¨´c nghie?m: [Ph??ng tr¨¬nh ax2 + bx + c = 0 v?¨´i a va? c tra¨´i da¨¢u th¨¬ luo?n co¨´ 2 nghie?m pha?n bie?t] ; 2 2 2 b b a a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 = b -4ac * > 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´2 nghie?m pha?n bie?t : x x * = 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´nghie?m ke¨´p : x x * < 0 Ph??ng tr¨¬nh vo?nghie?m b. Du?ng co?ng th?¨´c nghie?m thu go?n 2 ' ' ; ' 2 ' ' ' ; ' ' b b b b b b a a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 = b' -ac * > 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´2 nghie?m pha?n bie?t : x x * = 0 Ph??ng tr¨¬nh co¨´nghie?m ke¨´p : x x * < 0 Ph??ng tr¨¬nh vo?nghie?m c. T¨ªnh nha?m nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh ba?c 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 * 0 0 b S x x a x x c P x x a c a b c x x a c a b c x x a ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Bie¨¢t ????c: va? * Bie¨¢t ????c: =1va? * Bie¨¢t ????c: = -1va? ? Ca¨´c tam gia¨´c ?a?c bie?t ? 6) Tam gia¨´c vuo?ng ca?n - ABC? vuo?ng ca?n ta?i A; AB = AC = a - ? ? ?ABC ?o¨¤ng da?ng v?¨´i ABH ?o¨¤ng da?ng v?¨´i ACH A B C H a
- 3. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 3 - - 90o BAC AHC AHB? ? ? - 45o BAH ABH ACH CAH? ? ? ? - 2 2BC AB AC? ? ; 2 2 2a HB HC AH? ? ? - AH la? ????ng cao, ????ng trung tr??c, ????ng trung tuye¨¢n, tia pha?n gia¨´c cu?a ABC? - 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 BC BH CH BH AH CH AH a BH CH AH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 2 2 . 2 2 ABC AH BC AH AH S ? ? ? ?Ch?¨´ng minh mo?t tam gia¨´c vuo?ng ca?n: 2 2 2 2 2 2 45 45 o o ABC A BC AB BC AC BC AB ABC ABC AC AB AC ABC ABC ABC ACB ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ?? ?? ? ?? ??? ?? ??? ?? ??? ? ? vuo?ngta?i vuo?ng ca?nta?i 7) Tam gia¨´c ?e¨¤u - ABC? ?e¨¤u ; AB = AC = BC = a - AH la? ????ng cao, ????ng trung tuye¨¢n, ????ng trung tr??c va? tia pha?n gia¨´c - 2 a CH HB? ? ; 3 2 a AH ? ; 2 3 4 ABC a S ? ?Ch?¨´ng minh mo?t tam gia¨´c ?e¨¤u: 60 60 60 o o o ABC ABC ? ? ? ?? ??? ? ?? ?? ? ??? ???? ca?n ABC ?e¨¤u ACB CAB 8) N??a tam gia¨´c ?e¨¤u - ACH ABH? ?va? la? n??a tam gia¨´c?e¨¤u - 3 3 3 3 2 2 AB AC AH BH CH? ? ? ? - 3 2 2 3 AB AC AH CH BH? ? ? ? - 2 3 2 2 3 AH AB AC CH BH? ? ? ? A BC H a
- 4. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 4 - ?Ch?¨´ng minh n??a tam gia¨´c ?e¨¤u: ( , ) 60 2 3 2 o AHC ACH CAH AHC AH HC AC HC ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ??? ??? vuo?ng AHC la?n??a tam gia¨´c ?e¨¤u 9) Go¨´c va? ????ng tro?n - AOB: go¨´c ?? ta?m cha¨¦n AB - ACB : go¨´c no?i tie¨¢p cha¨¦n AB - EAB: go¨´c ta?o b??i tia tie¨¢p tuye¨¢n va? da?y cung cha¨¦n AB - 1 2 ACB EAB AOB? ? - ? ?1 s?HDG = s?HG -s?JI 2 - ? ?1 s?ADG = s?AG -s?JA 2 - ? ?1 s?EDF = s?AmF -s?AnF 2 - ? ?1 2 JKC BKG JC BG? ? s? +s? 10) Mo?t va?i co?ng th?¨´c ca¨¤n nh?¨´ (H¨¬nh ho?c): - ?o? da?i ????ng tro?n: ?C = 2 R - ?o? da?i cung tro?n: ? o o Rn l = 180 - Die?n t¨ªch h¨¬nh tro?n: ? 2 S = R - Die?n t¨ªch h¨¬nh qua?t tro?n: ? 2 o o R n S = 360 ?Ghi chu¨´: + ?: so¨¢ pi + C: ?o? da?i ????ng tro?n + R: ba¨´n k¨ªnh + l: ?o? da?i cung + no : so¨¢ ?o ?o? cu?a cung --------------------------------------------------------- - Die?n t¨ªch xung quanh h¨¬nh tru?: ?xqS = 2 R.h - Die?n t¨ªch toa?n pha¨¤n h¨¬nh tru?: ? ? 2 tpS = 2 R.h + 2 R - The? t¨ªch h¨¬nh tru?: ? 2 V = Sh+ R h - Die?n t¨ªch xung quanh h¨¬nh no¨´n : ?xqS = Rl - Die?n t¨ªch toa?n pha¨¤n h¨¬nh no¨´n: ? ? 2 tpS = Rl+ R - The? t¨ªch h¨¬nh no¨´n: ? 21 V = R h 3 ?Ghi chu¨´: + h: chie¨¤u cao + l: ????ng sinh --------------------------------------------------------- 11) Mo?t va?i co?ng th?¨´c ca¨¤n nh?¨´ (?a?i so¨¢): 1. V?¨´i 0; 0a b? ? th¨¬ a+b a + b? (da¨¢u ¡°=¡± xa?y ra ? a = 0 hoa?c b = 0) 2. V?¨´i 0a b? ? th¨¬ a-b a - b? (da¨¢u ¡°=¡± xa?y ra ? a = 0 hoa?c b = 0) 3. Co?ng th?¨´c ca¨ºn ph?¨´c ta?p: 2 2 A+ A -B A- A -B A¡À B = ¡À 2 2 trong ?o¨´ A > 0 ; B > 0 ; A2 > B 4. Ba¨¢t ?a¨²ng th?¨´c Co?-si: v?¨´i a 0,b 0? ? th¨¬: a+ b ab 2 ? (da¨¢u ¡°=¡± xa?y ra ? a = b) Va?i da?ng kha¨´c cu?a ba¨¢t ?a¨²ng th?¨´c Co?-si: A B C O D E F G H I J m n K
- 5. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 5 - - Da?ng co¨´ ch?¨´a da¨¢u ca¨ºn: ? a+ b ab? v?¨´i 0; 0a b? ? ? 1 2 a + b a+b ? v?¨´i a > 0 ; b > 0 - Da?ng kho?ng co¨´ da¨¢u ca¨ºn ? 2 (a+ b) ab 2 ? ? 2 (a+b) 4ab? ? 2 2 a +b 2ab? 5. A 0(hayB 0) A B A = B ? ?? ? ? ? ? 6. 2 B 0 A B A = B ?? ? ? ? ? 7. B 0 | A | = B A = B hay A = -B ?? ? ? ? 8. 2 2 2 2 X A X Ahay X A ; X A A X A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. ( ) ( ) ( )f x g x h x? ? - ?a?t ?ie¨¤u kie?n: ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f x g x h x? ? ? - Chuye?n ve¨¢ (2 ve¨¢ pha?i kho?ng a?m) - B¨¬nh ph??ng 2 ve¨¢ 10. 2 2 ;Min X m m Max m X m? ? ? ? ? ? ? ? ? 11. ?ie¨¤u kie?n ?e? bie?u th?¨´c co¨´ ngh¨®a: - Bie?u th?¨´c co¨´ da?ng A co¨´ ngh¨®a khi - 0A ? - Bie¨¤u th?¨´c co¨´ da?ng A B co¨´ ngh¨®a khi 0B ? - Bie?u th?¨´c co¨´ da?ng A B co¨´ ngh¨®a khi 0B ? 12) ????ng tha¨²ng song song va? ????ng tha¨²ng ca¨¦t nhau. He? so¨¢ go¨´c cu?a ????ng tha¨²ng 1. Cho 2 ????ng tha¨²ng: (d1) : y = ax + b (a? 0) va? (d2) : y = a¡¯x + b¡¯ (a¡¯ ? 0) ? (d1) // (d2) ' ; 'a a b b? ? ? ? (d1) ?(d2) ' ; 'a a b b? ? ? ? (d1) ca¨¦t (d2) 'a a? ? ? (d1) ? (d2) . ' 1a a? ? ? 2. Khi a > 0 th¨¬ goa¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b va? tru?c Ox la? go¨´c nho?n. Khi a < 0 th¨¬ goa¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b va? tru?c Ox la? go¨´c tu?. 3. Ne¨¢u (d1) ca¨¦t (d2) th¨¬ hoa?nh ?o? giao ?ie?m la? nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh ax + b = a¡¯x + b¡¯ 4. Go?i ? la? go¨´c ta?o b??i ????ng tha¨²ng y = ax + b v?¨´i tru?c Ox. Ne¨¢u a > 0 th¨¬ = a?tg 13) Ca¨´c da?ng ph??ng tr¨¬nh ?a?c bie?t: 1. Ph??ng tr¨¬nh ba?c 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ? 0) [?] Ne¨¢u bie¨¢t 1 nghie?m x = x0 th¨¬ [?] ????c ??a ve¨¤ ph??ng tr¨¬nh t¨ªch: (x ¨C x0)(ax2 + mx + n) = 0 2. Ph??ng tr¨¬nh he? ?o¨¢i x?¨´ng ba?c 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ? 0) [?] a) Ph??ng pha¨´p gia?i: - Nha?n xe¨´t x = 0 kho?ng pha?i la? nghie?m cu?a [?]. - Chia 2 ve¨¢ cu?a [?] cho x2 va? nho¨´m ca¨´c so¨¢ ha?ng ca¨´ch ?e¨¤u 2 so¨¢ ha?ng ?a¨¤u va? cuo¨¢i tha?nh t??ng nho¨´m ????c ph??ng tr¨¬nh [??] - ?a?t a?n phu? 1 t x x ? ? [???] 2 2 2 1 2t x x ? ? ? ? ro¨¤i the¨¢ va?o ph??ng tr¨¬nh [??]. - Gia?i ph??ng tr¨¬nh trung gian na?y ?e? t¨¬m t, the¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o [???] ?e? t¨¬m x b) Ve¨¤ nghie?m so¨¢ cu?a ph??ng tr¨¬nh: - Ne¨¢u x0 la? nghie?m cu?a ph??ng tr¨¬nh [?] th¨¬ 0 1 x cu?ng la? nghie?m cu?a no¨´ c) Ph??ng tr¨¬nh he? ?o¨¢i x?¨´ng ba?c 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ? 0) [?] co¨´ nghie?m x = -1 (v¨¬ to?ng he? so¨¢ ba?c cha¨¹n ba¨¨ng to?ng ca¨´c he? so¨¢ ba?c le?). V¨¬ the¨¢ [?] co¨´ the? bie¨¢n ?o?i tha?nh: ? ? ? ? ? ? ? ?4 3 2 1 0x ax b a x c a b x b a x a? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
- 6. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 6 - 3. Ph??ng tr¨¬nh ho¨¤i quy: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a ? 0) trong ?o¨´ 2 n m a b ? ? ? ? ? ? ? [?] a) Ph??ng pha¨´p gia?i: - Nha?n xe¨´t x = 0 kho?ng pha?i la? nghie?m cu?a [?]. - Chia 2 ve¨¢ cu?a [?] cho x2 va? nho¨´m ca¨´c so¨¢ ha?ng ca¨´ch ?e¨¤u 2 so¨¢ ha?ng ?a¨¤u va? cuo¨¢i tha?nh t??ng nho¨´m ????c ph??ng tr¨¬nh [??] - ?a?t a?n phu? m t x bx ? ? [???] 2 2 2 2 2 2m m t x b b x ? ? ? ? ro¨¤i the¨¢ va?o ph??ng tr¨¬nh [??]. - Gia?i ph??ng tr¨¬nh trung gian na?y ?e? t¨¬m t, the¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o [???] ?e? t¨¬m x 4. Ph??ng tr¨¬nh trong ?o¨´ a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m [?] Ph??ng pha¨´p gia?i: - Vie¨¢t la?i [?] d???i da?ng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] ¨C m = 0 [??] - Khai trie?n ca¨´c t¨ªch va? ?a?t a?n phu? t la? 1 trong 2 bie?u th?¨´c v??a khai trie?n. - The¨¢ a?n phu? va?o ph??ng tr¨¬nh [??], gia?i ph??ng tr¨¬nh, t¨¬m gia¨´ tr¨° cu?a t. - The¨¢ gia¨´ tr¨° cu?a t va?o bie?u th?¨´c ch?¨´a a?n phu? ?e? t¨¬m x. 5. Ph??ng tr¨¬nh trong ?o¨´: (x + a)4 + (x + b)4 = c Ph??ng pha¨´p gia?i: - ?o¨¢i v?¨´i ph??ng tr¨¬nh da?ng na?y, ta ?a?t a?n phu? la? trung b¨¬nh co?ng cu?a (x + a) va? (x + b): - ?a?t 2 a b t x ? ? ? 14) Mo?t so¨¢ kie¨¤n th?¨´c c? ba?n ve¨¤ h¨¬nh ho?c ca¨¢p 2: 1. Trung tuye¨¢n cu?a tam gia¨´c: Trung tuye¨¢n cu?a tam gia¨´c la? ?oa?n tha¨²ng, mo?t ?a¨¤u no¨¢i ??nh cu?a tam gia¨´c, ?a¨¤u kia no¨¢i trung tuye¨¢n cu?a ca?nh ?o¨¢i die?n v?¨´i ??nh tre?n. Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AM la? trung tuye¨¢n ? MC = MB - A?p du?ng va?o tam gia¨´c vuo?ng: + ?¨°nh l¨ª thua?n: Trong 1 tam gia¨´c vuo?ng, ????ng trung tuye¨¢n ?¨´ng v?¨´i ca?nh huye¨¤n th¨¬ ba¨¨ng n??a ca?nh huye¨¤n + ?¨°nh l¨ª ?a?o: Trong 1 tam gia¨´c, ????ng trung tuye¨¢n ba¨¨ng n??a ca?nh ?o¨¢i die?n th¨¬ tam gia¨´c ?o¨´ vuo?ng. 2. Tia pha?n gia¨´c: - Tia pha?n gia¨´c cu?a go¨´c la? tia na¨¨m trong go¨´c a¨¢y va? chia go¨´c ?o¨´ ra la?m hai go¨´c ba¨¨ng nhau. - Pha?n gia¨´c cu?a tam gia¨´c la? mo?t ?oa?n tha¨²ng co¨´ mo?t ?a¨¤u la? ??nh cu?a tam gia¨´c, ?a¨¤u kia la? giao ?ie?m cu?a tia fa?n gia¨´c xua¨¢t pha¨´t t?? ??nh ?e¨¢n ca?nh ?o¨¢i die?n. - Trong mo?t tam gia¨´c, ????ng pha?n gia¨´c trong va? ngoa?i chia ca?nh ?o¨¢i die?n tha?nh nh??ng ?oa?n t? le?v?¨´i hai ca?nh ke¨¤. Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AM la? ????ng pha?n gia¨´c BM AB CM AC ? ? 3. ????ng trung tr??c: - ?¨°nh ngh¨®a: ????ng tha¨²ng trung tr??c cu?a 1 ?oa?n tha¨²ng la? ????ng tha¨²ng vuo?ng go¨´c v?¨´i ?oa?n ?o¨´ ta?i trung ?ie?m. - ?¨°nh l¨ª 1: Ne¨¢u ?ie?m M na¨¨ tre?n ????ng trung tr??c cu?a ?oa?n tha¨²ng AB la? ????ng trung tr??c cu?a ?oa?n AB. - ?¨°nh l¨ª 2:Ta?p h??p nh??ng ?ie?m ca¨´ch ?e¨¤u 2 ?a¨¤u cu?a ?oa?n tha¨²ng AB la? ????ng tha¨²ng trung tr??c cu?a ?oa?n AB Ta co¨´ tam gia¨´c ABC co¨´ AH v??a la? ????ng cao, v??a la? trung tuye¨¢n, v??a la? pha?n gia¨´c, v??a la? trung tr??c (tam gia¨´c ABC ca?n) 4. ????ng trung b¨¬nh cu?a tam gia¨´c: - ?¨°nh l¨ª 1: Trong mo?t tam gia¨´c, ne¨¢u mo?t ????ng tha¨²ng ?i qua trung ?ie?m cu?a mo?t ca?nh va? song song v?¨´i canh th?¨´ hai th¨¬ no¨´ ?i qua trung ?ie?m cu?a ca?nh th?¨´ ba. A B C M A B C M A CB H
- 7. Gia s? Th¨¤nh ???c www.daythem.edu.vn - 7 - - ?¨°nh l¨ª 2: ?oa?n tha¨²ng no¨¢i trung ?ie?m hai ca?nh cu?a tam gia¨´c th¨¬ song song v?¨´i ca?nh th?¨´ ba va? ba¨¨ng n??a ca?nh th?¨´ ba. - ?¨°nh l¨ª 3: ?oa?n tha¨²ng no¨¢i trung ?ie?m hai ca?nh tam gia¨´c go?i la? ????ng trung b¨¬nh cu?a tam gia¨´c. 5. T¨ªnh cha¨¢t ba ????ng trung tuye¨¢n: - Trong mo?t tam gia¨´c, ba ????ng trung tuye¨¢n ca¨¦t nhau ta?i mo?t ?ie?m. ?ie?m ?o¨´ go?i la? tro?ng ta?m cu?a tam gia¨´c. - Khoa?ng ca¨´ch t?? ??nh ?e¨¢n tro?ng ta?m ba¨¨ng 2 3 trung tuye¨¢n ?o¨´. 6. T¨ªnh cha¨¢t ????ng pha?n gia¨´c: a) T¨ªnh cha¨¢t 3 ????ng pha?n gia¨´c: ?¨°nh l¨ª ve¨¤ pha?n gia¨´c cu?a go¨´c: + ?¨°nh l¨ª thua?n: Ba¨¢t c?¨´ ?ie?m na?o na¨¨m tre?n ????ng fa?n gia¨´c cu?a mo?t go¨´c th¨¬ cu?ng ca¨´ch ?e¨¤u 2 ca?nh go¨´c ?o¨´. + ?¨°nh l¨ª ?a?o: ?ie?m na?o ca¨´ch ?e¨¤u 2 ca?nh cu?a mo?t go¨´c th¨¬ na¨¨m tre?n fa?n gia¨´c cu?a go¨´c ?o¨´. A B C NM