�ݺ�ߣ

ให้ 𝐴 เป็นเซตของจานวนจริง 𝑥 ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ √6𝑥 − 2 − √2𝑥 + 7 = 1
ผลบวกของกาลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต 𝐴 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ให้𝐴 แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2𝑥+3
𝑥−2
+ 3√
𝑥−2
2𝑥+3
= 4
ถ้ำ 𝑎 เป็นจำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นจำนวนที่มำกที่สุดในเซต 𝐴
แล้ว 𝑎2
+ 𝑏2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ให้𝐴 แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √3𝑥 − 5 + √4𝑥 + 3 = √2𝑥 − 3 + √5𝑥 + 1
และให้ 𝐵 = { 𝑥2
| 𝑥 ∈ 𝐴 } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน 𝐵 เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
คลังโจทย์ 1
1.
2.
3.

ให้ ℝ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้ำ 𝐴 เป็นเซตคำตอบของอสมกำร √𝑥 + 2 < √3 − 𝑥 + √2𝑥 − 1
แล้ว 𝐴 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { 𝑥 ∈ ℝ | |2𝑥 − 1| < 1 } 2. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 2| < 1 }
3. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 1| < 2 } 4. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2
+ 2 < 3𝑥 }
5. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2
< 2𝑥 }
เซตคำตอบของอสมกำร (√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥 − 13) < 𝑥 เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
คลังโจทย์
2
4.
5.

ให้𝐴 เป็นเซตของจำนวนจริง 𝑥 ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมกำร √2𝑥
√1+𝑥 + √1−𝑥
< √1 − 𝑥
ถ้ำ 𝑎 เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต 𝐴
แล้วค่ำของ 𝑎2
+ 𝑏2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
.0123456789
3
6.

ให้ 𝐴 เป็นเซตของจานวนจริง 𝑥 ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับสมการ √6𝑥 − 2 − √2𝑥 + 7 = 1
ผลบวกของกาลังสองของสมาชิกทั้งหมดในเซต 𝐴 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2560/26)]
1. 10.5 2. 14.25 3. 20.25 4. 21.25 5. 30.5
ตอบ 3
จะยกกาลังสอง เพื่อกาจัดรูทไปเรื่อยๆ (การยกกาลังสอง อาจทาให้มีคาตอบปลอมหลุดออกมาได้ → ต้องตรวจคาตอบ)
จะได้คาตอบเดียวคือ 9
2
→ กาลังสองได้ 81
4
= 20.25
√6𝑥 − 2 − √2𝑥 + 7 = 1
√6𝑥 − 2 = √2𝑥 + 7 + 1
6𝑥 − 2 = (√2𝑥 + 7 + 1)
2
6𝑥 − 2 = 2𝑥 + 7 + 2√2𝑥 + 7 + 1
4𝑥 − 10 = 2√2𝑥 + 7
2𝑥 − 5 = √2𝑥 + 7
(2𝑥 − 5)2
= 2𝑥 + 7
4𝑥2
− 20𝑥 + 25 = 2𝑥 + 7
4𝑥2
− 22𝑥 + 18 = 0
2𝑥2
− 11𝑥 + 9 = 0
(2𝑥 − 9)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 =
9
2
, 1
ตรวจคาตอบ
𝑥 =
9
2
: √6(
9
2
) − 2 − √2 (
9
2
) + 7 = 1
5 − 4 = 1 
𝑥 = 1 : √6(1) − 2 − √2(1) + 7 = 1
2 − 3 = 1 
ให้𝐴 แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √
2𝑥+3
𝑥−2
+ 3√
𝑥−2
2𝑥+3
= 4
ถ้ำ 𝑎 เป็นจำนวนจริงที่น้อยสุดในเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นจำนวนที่มำกที่สุดในเซต 𝐴
แล้ว 𝑎2
+ 𝑏2
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ก.พ. 2562/31)]
ตอบ 34
สังเกตว่ำ √
2𝑥+3
𝑥−2
กับ √
𝑥−2
2𝑥+3
เป็นส่วนกลับกัน → ถ้ำให้ √
2𝑥+3
𝑥−2
= 𝑘 จะได้ √
𝑥−2
2𝑥+3
=
1
𝑘
จะได้สมกำรคือ
จะได้ 𝑎 = −5 และ 𝑏 = 3
ดังนั้น 𝑎2
+ 𝑏2
= (−5)2
+ 32
𝑘 + 3(
1
𝑘
) = 4
𝑘2
+ 3 = 4𝑘
𝑘2
− 4𝑘 + 3 = 0
(𝑘 − 1)(𝑘 − 3) = 0
𝑘 = 1 , 3
√
2𝑥+3
𝑥−2
= 1
2𝑥+3
𝑥−2
= 1
2𝑥 + 3 = 𝑥 − 2
𝑥 = −5
√
2𝑥+3
𝑥−2
= 3
2𝑥+3
𝑥−2
= 9
2𝑥 + 3 = 9𝑥 − 18
21 = 7𝑥
3 = 𝑥
.0123456789
1
1.
2.

ให้𝐴 แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมกำร √3𝑥 − 5 + √4𝑥 + 3 = √2𝑥 − 3 + √5𝑥 + 1
และให้ 𝐵 = { 𝑥2
| 𝑥 ∈ 𝐴 } ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดใน 𝐵 เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2559/37)]
ตอบ 4
แต่คำตอบต้องไม่ทำให้ในรูทติดลบ → จะเห็นว่ำ 𝑥 = −3 ใช้ไม่ได้เพรำะจะทำให้ √3𝑥 − 5 = √3(−3) − 5
= √−14
ส่วน 𝑥 = 2 จะทำให้ในรูททั้ง 4 ตัวเป็นบวกทั้งหมด จึงใช้ได้ (จะตรวจคำตอบก็ได้แต่ถ้ำทั้ง 4 ตัวเป็นบวกหมด จะทำให้
ทั้งสองข้ำงของสมกำรเป็นบวกก่อนยกกำลังสองทั้งสองรอบ จึงไม่จำเป็นต้องตรวจ)
จะได้ 𝐴 = {2} ดังนั้น 𝐵 = {22
} = {4} → จะได้ผลบวกสมำชิกของ 𝐵 คือ 4
√3𝑥 − 5 + √4𝑥 + 3 = √2𝑥 − 3 + √5𝑥 + 1
(√3𝑥 − 5 + √4𝑥 + 3)
2
= (√2𝑥 − 3 + √5𝑥 + 1)
2
3𝑥 − 5 + 2√(3𝑥 − 5)(4𝑥 + 3) + 4𝑥 + 3 = 2𝑥 − 3 + 2√(2𝑥 − 3)(5𝑥 + 1) + 5𝑥 + 1
7𝑥 − 2 + 2√(3𝑥 − 5)(4𝑥 + 3) = 7𝑥 − 2 + 2√(2𝑥 − 3)(5𝑥 + 1)
2√12𝑥2 − 11𝑥 − 15 = 2√10𝑥2 − 13𝑥 − 3
12𝑥2
− 11𝑥 − 15 = 10𝑥2
− 13𝑥 − 3
2𝑥2
+ 2𝑥 − 12 = 0
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = −3 , 2
ให้ ℝ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้ำ 𝐴 เป็นเซตคำตอบของอสมกำร √𝑥 + 2 < √3 − 𝑥 + √2𝑥 − 1
แล้ว 𝐴 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 2559/12)]
1. { 𝑥 ∈ ℝ | |2𝑥 − 1| < 1 } 2. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 2| < 1 }
3. { 𝑥 ∈ ℝ | |𝑥 − 1| < 2 } 4. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2
+ 2 < 3𝑥 }
5. { 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2
< 2𝑥 }
ตอบ 3
สังเกตว่ำ ตัวในรูททำงขวำสองตัว บวกกัน จะเท่ำกับ ตัวในรูทฝั่งซ้ำย → 3 − 𝑥 + 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2
ดังนั้น ถ้ำให้ 𝑎 = 3 − 𝑥 และ 𝑏 = 2𝑥 − 1 จะได้อสมกำรคือ
เนื่องจำก ในรูทต้อง ≥ 0 และ ผลรูท ≥ 0 จะเห็นว่ำ อสมกำร 0 < 2√𝑎√𝑏 เป็นจริงเมื่อ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0
นั่นคือ 3 − 𝑥 > 0 และ 2𝑥 − 1 > 0
1. 2. 3.
4. 5.
√𝑎 + 𝑏 < √𝑎 + √𝑏
𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 2√𝑎√𝑏 + 𝑏
0 < 2√𝑎√𝑏
3 > 𝑥 𝑥 >
1
2
→ จะได้ 𝐴 = (
1
2
, 3)
|2𝑥 − 1| < 1
−1 < 2𝑥 − 1 < 1
0 < 2𝑥 < 2
0 < 𝑥 < 1 ×
|𝑥 − 2| < 1
−1 < 𝑥 − 2 < 1
1 < 𝑥 < 3 ×
|𝑥 − 1| < 2
−2 < 𝑥 − 1 < 2
−1 < 𝑥 < 3 
𝑥2
+ 2 < 3𝑥
𝑥2
− 3𝑥 + 2 < 0
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) < 0
1 2
+ − +
𝑥2
< 2𝑥
𝑥2
− 2𝑥 < 0
𝑥(𝑥 − 2) < 0
0 2
+ − +
× ×
จะได้ (
1
2
, 3) เป็นสับเซตของข้อ 3.
.0123456789
2
3.
4.

เซตคำตอบของอสมกำร (√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥 − 13) < 𝑥 เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้
[PAT 1 (ก.พ. 2561/3)]
1. (−5, 0) 2. (−4, 1) 3. (−3, 2) 4. (−2, 4) 5. (−1, 5)
ตอบ 4
พยำยำมกำจัดรูทก่อน
สังเกตว่ำ ถ้ำเอำ √1 + 𝑥 + 1 ไปคูณกับคอนจูเกตของมัน จะได้ (√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 − 1)
ดังนั้น เรำสำมำรถเปลี่ยน 𝑥 ทำงขวำของอสมกำรโจทย์เป็น (√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 − 1) เพื่อตัดกับฝั่งซ้ำยได้
จะได้ 𝑥 ∈ (−4, 3)
และในรูท ต้องไม่ติดลบ → → พิจำรณำร่วมกับ (−4, 3) จะเหลือคำตอบสุดท้ำยคือ [−1, 3)
ซึ่งจะเป็นสับเซตของ (−2, 4) ในข้อ 4.
= 1 + 𝑥 − 1
= 𝑥
(√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥 − 13) < 𝑥
(√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥 − 13) < (√1 + 𝑥 + 1)(√1 + 𝑥 − 1)
√1 + 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑥 − 13 < √1 + 𝑥 − 1
𝑥2
+ 𝑥 − 12 < 0
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) < 0
√1 + 𝑥 + 1 เป็นบวก
→ ตัดแล้วไม่ต้องกลับ
มำกกว่ำ น้อยกว่ำ
−4 3
+ − +
1 + 𝑥 ≥ 0
𝑥 ≥ −1
ให้𝐴 เป็นเซตของจำนวนจริง 𝑥 ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมกำร √2𝑥
√1+𝑥 + √1−𝑥
< √1 − 𝑥
ถ้ำ 𝑎 เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของเซต 𝐴 และ 𝑏 เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุดของเซต 𝐴
แล้วค่ำของ 𝑎2
+ 𝑏2
เท่ำกับเท่ำใด [PAT 1 (ต.ค. 2558/42)]
ตอบ 1.5
√2 (
𝑚2 − 𝑛2
2
)
𝑚 + 𝑛
< 𝑛
√2 ∙
𝑚2−𝑛2
2
∙
1
𝑚+𝑛
< 𝑛
√2 ∙
(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)
√2 ∙ √2
∙
1
𝑚+𝑛
< 𝑛
𝑚−𝑛
√2
< 𝑛
𝑚 − 𝑛 < √2𝑛
𝑚 < √2𝑛 + 𝑛
𝑚 < (√2 + 1)𝑛
เหลือ 𝑥 ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป 𝑥 ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ 𝑚 และ 𝑛
จำก √1 + 𝑥 = 𝑚 จะได้ 1 + 𝑥 = 𝑚2
…(1)
จำก √1 − 𝑥 = 𝑛 จะได้ 1 − 𝑥 = 𝑛2
…(2)
(1) − (2) : 2𝑥 = 𝑚2
− 𝑛2
𝑥 =
𝑚2 − 𝑛2
2
√2𝑥
√1+𝑥 + √1−𝑥
< √1 − 𝑥
√2𝑥
𝑚 + 𝑛
< 𝑛
เปลี่ยนตัวแปร ให้ √1 + 𝑥 = 𝑚
และ √1 − 𝑥 = 𝑛
√1 + 𝑥 < (√2 + 1)(√1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (√2 + 1)
2
(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (2 + 2√2 + 1)(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (3 + 2√2 )(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < 3 − 3𝑥 + 2√2 − 2√2𝑥
4𝑥 + 2√2𝑥 < 2 + 2√2
2𝑥 + √2𝑥 < 1 + √2
(2 + √2)𝑥 < 1 + √2
𝑥 <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน 𝑚, 𝑛 กลับไปเป็น 𝑥
ยกกำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
.0123456789
3
5.
6.

เนื่องจำกในรูท ต้อง ≥ 0 ดังนั้น และ
พิจำรณำร่วมกับ (∗) สุดท้ำยจะได้ −1 ≤ 𝑥 <
1+√2
2+√2
(
1+√2
2+√2
< 1 )
ดังนั้น ขอบเขตบนน้อยสุด 𝑎 =
1+√2
2+√2
ขอบเขตล่ำงมำกสุด 𝑏 = −1
1 + 𝑥 ≥ 0
𝑥 ≥ −1
1 − 𝑥 ≥ 0
1 ≥ 𝑥
√2 (
𝑚2 − 𝑛2
2
)
𝑚 + 𝑛
< 𝑛
√2 ∙
𝑚2−𝑛2
2
∙
1
𝑚+𝑛
< 𝑛
√2 ∙
(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛)
√2 ∙ √2
∙
1
𝑚+𝑛
< 𝑛
𝑚−𝑛
√2
< 𝑛
𝑚 − 𝑛 < √2𝑛
𝑚 < √2𝑛 + 𝑛
𝑚 < (√2 + 1)𝑛
เหลือ 𝑥 ที่เป็นเศษทำงฝั่งซ้ำยอีกหนึ่งตัว ที่ยังเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้
ต้องพยำยำมจัดรูป 𝑥 ทำงซ้ำย ให้อยู่ในรูปของ 𝑚 และ 𝑛
จำก √1 + 𝑥 = 𝑚 จะได้ 1 + 𝑥 = 𝑚2
…(1)
จำก √1 − 𝑥 = 𝑛 จะได้ 1 − 𝑥 = 𝑛2
…(2)
(1) − (2) : 2𝑥 = 𝑚2
− 𝑛2
𝑥 =
𝑚2 − 𝑛2
2
√1 + 𝑥 < (√2 + 1)(√1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (√2 + 1)
2
(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (2 + 2√2 + 1)(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < (3 + 2√2 )(1 − 𝑥)
1 + 𝑥 < 3 − 3𝑥 + 2√2 − 2√2𝑥
4𝑥 + 2√2𝑥 < 2 + 2√2
2𝑥 + √2𝑥 < 1 + √2
(2 + √2)𝑥 < 1 + √2
𝑥 <
1+√2
2+√2
…(∗)
แทน 𝑚, 𝑛 กลับไปเป็น 𝑥
ยกกำลัง 2 ตลอด
หำร 2 ตลอด
จะได้ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
จะได้ 𝑎2
+ 𝑏2
= (
1+√2
2+√2
)
2
+ (−1)2
=
1+2√2+2
4+4√2+2
+ 1
=
3+2√2
6+4√2
+ 1
=
3+2√2
2(3+2√2)
+ 1
=
1
2
+ 1 = 1.5
.0123456789
4

�ݺ�ߣ

Exponential practice and problem version 1

Recommended

More Related Content

Similar to Exponential practice and problem version 1 (20)

Exponential practice and problem version 1