Funzioni esponenziali logaritmiche
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Cenni alle funzioni esponenziali e logaritmiche
![Angela Donatiello 4
Una funzione del tipo x
a)x(fy == con a > 0 e 1a si definisce
funzione esponenziale.
a > 1
Dominio: R
Codominio:] [+,0
Funzione monotona
crescente in senso
stretto
y > 0 Rx
Andamento agli
estremi del dominio:
+=
+
x
x
alim
0alim x
x
=
x
3y =](https://image.slidesharecdn.com/funzioniesponenzialilogaritmiche-140322093157-phpapp02/85/Funzioni-esponenziali-logaritmiche-4-320.jpg)
![Angela Donatiello 6
0 < a < 1
Dominio: R
Codominio:] [+,0
Funzione monotona
decrescente in senso
stretto
y > 0 Rx
Andamento agli estremi
del dominio:
0alim x
x
=
+
+=
x
x
alim
x
3
1
y 錚
錚
錚
錚
錚
錚
=](https://image.slidesharecdn.com/funzioniesponenzialilogaritmiche-140322093157-phpapp02/85/Funzioni-esponenziali-logaritmiche-6-320.jpg)
![Angela Donatiello 10
FUNZIONE LOGARITMICA
Una funzione del tipo xlog)x(fy a== con a > 0 e 1a si definisce
funzione logaritmica.
a > 1
Dominio: ] [+,0
Codominio: R
Funzione monotona crescente
in senso stretto
y > 0 con x > 1
y < 0 con 0 < x <1
Andamento agli estremi del
dominio:
xlogy 2=
=
+
xloglim a
0x
+=
+
xloglim a
x](https://image.slidesharecdn.com/funzioniesponenzialilogaritmiche-140322093157-phpapp02/85/Funzioni-esponenziali-logaritmiche-10-320.jpg)
![Angela Donatiello 11
0 < a < 1
Dominio: ] [+,0
Codominio: R
Funzione monotona
decrescente in senso
stretto
y > 0 con 0 < x < 1
y < 0 con x > 1
Andamento agli estremi
del dominio:
=
+
xloglim a
x
+=
+
xloglim a
0x](https://image.slidesharecdn.com/funzioniesponenzialilogaritmiche-140322093157-phpapp02/85/Funzioni-esponenziali-logaritmiche-11-320.jpg)
![Angela Donatiello 18
DOMINI
Funzioni razionali fratte
)x(D
)x(N
y = 0)x(D
Funzioni radice di indice pari )x(Ay = 0)x(A
Funzioni logaritmiche )]x(A[logy a= 0)x(A >
ESEMPI
)9xln(y 2
=
0x
0x
4x
1
)2x(log
y
2
2
<
錚
錚
錚
錚
錚
+
=
xlog
x41
y
2
1
2
=](https://image.slidesharecdn.com/funzioniesponenzialilogaritmiche-140322093157-phpapp02/85/Funzioni-esponenziali-logaritmiche-18-320.jpg)
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Funzioni esponenziali logaritmiche
- 1. Angela Donatiello 1 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE SIMMETRIE E GRAFICI DEDUCIBILI
- 2. Angela Donatiello 2 FUNZIONI ESPONENZIALI Crescita di una popolazione batterica Se prendiamo in esame un microrganismo, che si riproduce per scissione binaria, e lo facciamo crescere in un sistema chiuso il numero della popolazione batterica che esso produrr varier nel tempo secondo cinque principali fasi: Fase di latenza: in questa fase il numero di microrganismi rimane pressoch辿 costante. Questo perch辿 il microrganismo deve adattarsi al tipo di terreno in cui 竪 stato inoculato e ci嘆 pu嘆 durare anche diverse ore. Fase esponenziale: il microrganismo si divide in maniera esponenziale con velocit di crescita costante, raddoppiando la loro popolazione a intervalli regolari. Fase di transizione: la velocit di crescita comincia a rallentare. Fase stazionaria: non vi 竪 un aumento netto della popolazione microbica perch辿 vi 竪 equilibrio tra divisione e morte cellulare. Ci嘆 succede per un nutriente che scarseggia, per l'accumulo di sostanze tossiche, per il pH divenuto troppo basso, e per densit della popolazione. Fase di morte: la popolazione microbica diminuisce con un andamento logaritmo come 竪 avvenuto per la fase esponenziale.
- 3. Angela Donatiello 3 Analizziamo la fase esponenziale: Per semplicit assumiamo che tutte le duplicazioni avvengano nello stesso istante. Sia Nk la numerosit della generazione k esima, allora la numerosit della generazione (k -1) esima sar Nk-1. Che relazione intercorre tra le numerosit di due generazioni successive? Nk = 2 Nk-1 Se indico con N0 la numerosit della prima generazione (k = 0), allora si avr N1 = 2 N0 N2 = 2 N1 = 4 N0 = 22 N0 N3 = 2 N2 = 8 N0 = 23 N0 and so on In genere: k 0k 2NN = Tale relazione non va confusa con una funzione potenza, in quanto nelle funzioni potenza la variabile indipendente x 竪 alla base e non allesponente.
- 4. Angela Donatiello 4 Una funzione del tipo x a)x(fy == con a > 0 e 1a si definisce funzione esponenziale. a > 1 Dominio: R Codominio:] [+,0 Funzione monotona crescente in senso stretto y > 0 Rx Andamento agli estremi del dominio: += + x x alim 0alim x x = x 3y =
- 5. Angela Donatiello 5 OSSERVAZIONE La funzione cresce tanto pi湛 rapidamente quanto maggiore 竪 la base. La funzione passa sempre per il punto (0,1) x 2y = x 3y = x 4y =
- 6. Angela Donatiello 6 0 < a < 1 Dominio: R Codominio:] [+,0 Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0 Rx Andamento agli estremi del dominio: 0alim x x = + += x x alim x 3 1 y 錚 錚 錚 錚 錚 錚 =
- 7. Angela Donatiello 7 OSSERVAZIONE La funzione decrescente tanto pi湛 rapidamente quanto pi湛 piccola 竪 la base Passa sempre per il punto (0,1) x 2 1 y 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = x 3 1 y 錚 錚 錚 錚 錚 錚 = x 4 1 y 錚 錚 錚 錚 錚 錚 =
- 8. Angela Donatiello 8 Base naturale: y = ex e 竪 un numero trascendente definito come limite di una successione n n n 1 1lime 錚 錚 錚 錚 錚 錚 += + e=2.718281828
- 9. Angela Donatiello 9 Decadimento radioattivo Modello di Malthus DEF. Si definisce logaritmo in base a di b lesponente da dare alla base a per avere come risultato b. y a axxlogy == Poich辿 a0 = 1 allora loga 1 = 0, quindi la funzione logaritmica interseca lasse delle ascisse nel punto (1,0)
- 10. Angela Donatiello 10 FUNZIONE LOGARITMICA Una funzione del tipo xlog)x(fy a== con a > 0 e 1a si definisce funzione logaritmica. a > 1 Dominio: ] [+,0 Codominio: R Funzione monotona crescente in senso stretto y > 0 con x > 1 y < 0 con 0 < x <1 Andamento agli estremi del dominio: xlogy 2= = + xloglim a 0x += + xloglim a x
- 11. Angela Donatiello 11 0 < a < 1 Dominio: ] [+,0 Codominio: R Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0 con 0 < x < 1 y < 0 con x > 1 Andamento agli estremi del dominio: = + xloglim a x += + xloglim a 0x
- 12. Angela Donatiello 12 xlogy 2 1= xlogy 3 1= xlogy 2= xlogy e= xlogy 3=
- 13. Angela Donatiello 13 y = ax y = logax Sono luna linversa dellaltra Pertanto componendole si ottiene: xa xloga = xalog x a =
- 14. Angela Donatiello 14 PROPRIETA DEI LOGARITMI 0ae0y,x >> ylogxlog)yx(log aaa += ylogxlog y x log aaa =錚 錚 錚 錚 錚 錚 xlogbxlog a b a = xlogxlog x 1 log a 1 aa ==錚 錚 錚 錚 錚 錚 logaritmo del reciproco alog blog blog c c a = propriet del cambiamento di base Le funzioni )6xxln(y 2 += e )3xln()2xln(y ++= sono uguali?
- 15. Angela Donatiello 15 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI 52 x3x2 = 20255355 2x1xx =++ ++ 3 3 813 x1 1x2 = + 2)95(5 1xx =+ + a > 1 la funzione 竪 crescente in senso stretto 21 xx 21 aaxx << Pertanto blogxba a x >> e blogxba a x << 0 < a < 1 la funzione 竪 decrescente in senso stretto 21 xx 21 aaxx >< Pertanto blogxba a x <> e blogxba a x ><
- 16. Angela Donatiello 16 ESEMPI 06 3x <+ 34 2x < 72 2 x > 05 1x3 >+ 077 x2x2x3 2 < + 錚 錚 錚 錚 錚 ワ７ 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 錚 >+ + 9 3 1 8 9 1 633 xx x1x1
- 17. Angela Donatiello 17 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE a > 1 la funzione 竪 crescente in senso stretto 2a1a21 xlogxlogxx << 0 < a < 1 la funzione 竪 decrescente in senso stretto 2a1a21 xlogxlogxx >< 2 4 3 xlog 2 2 <錚 錚 錚 錚 錚 錚 )1x2(log)5x3(log 4 1 2 1 < 1)xx4(log 2 2 1 + )x5ln()1x2ln()1x4ln( +>+
- 18. Angela Donatiello 18 DOMINI Funzioni razionali fratte )x(D )x(N y = 0)x(D Funzioni radice di indice pari )x(Ay = 0)x(A Funzioni logaritmiche )]x(A[logy a= 0)x(A > ESEMPI )9xln(y 2 = 0x 0x 4x 1 )2x(log y 2 2 < 錚 錚 錚 錚 錚 + = xlog x41 y 2 1 2 =
- 20. Angela Donatiello 20 y = f(x) (funzione in blu) y = f( - x) simmetria rispetto allasse y (in rosso) y = - f(x) simmetria rispetto allasse x (in verde)
- 21. Angela Donatiello 21 GRAFICI DEDUCIBILI Coincide con la funzione stessa dove essa 竪 positiva, mentre costruisco la simmetrica rispetto allasse x solo nei tratti in cui la funzione 竪 negativa. Coincide con la funzione dove la variabile x 竪 positiva, mentre va tracciata la sua simmetrica rispetto allasse y solo nel tratto in cui x 竪 negativa. 錚 錚 錚 < == 0x)x(f 0x)x(f |)x(|fy 錚 錚 錚 < == 0)x(f)x(f 0)x(f)x(f |)x(f|y
- 22. Angela Donatiello 22 GRAFICI DEDUCIBILI |)3|xln(||y =
- 23. Angela Donatiello 23 GRAFICI IN SCALA LOGARITMICA I riferimenti in scala logaritmica sono riferimenti in cui in ascissa pongo una scala lineare classica, mentre in ordinata, anzich辿 la funzione y = f(x), verr riportato il log(f(x)). Sono utili per realizzare grafici di andamenti esponenziali. Tali andamenti saranno visualizzati tramite una retta. Un fenomeno descritto da un andamento esponenziale ax ecy = sar rappresentato da una retta axcln)x(flny +== Se un fenomeno 竪 descritto da una funzione lineare y = ax+b in scala logaritmica, esso avr andamento esponenziale axb ee)x(f =
- 25. Angela Donatiello 25 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON CONFRONTO GRAFICO 0xex =+ Non risolubile algebricamente 錚 錚 錚 = = xy ey x
- 26. Angela Donatiello 26 Vera per 0xx > dove ....56714329.0x0 Valuta: 0xxlog > 0xxlog >+ 錚 錚 錚 錚 錚 > = = 21 2 x 1 yy xy ey 0xex >+ xex >