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1
(MMP) Problem No. 26
3 2
3 2
3 2
2 2 3
Compute ( , ) for
( , ) 5
( , ) (5 )
(5 )
3 (5 2 )
f x y
f x y y x y
f x y y x y i
x
y x y j
y
x y i x y j

 

   




   

2
Compute the gradient of
Solution
2 3 2 4
2 3 2 4
2 3 2 4
2 2 3 3
2 2 3 3
( , )
( , ) ( )
( )
(2 3 ) ( 2 4 )
(2 3 ) (4 2 )
f x y x x y y
f x y x x y y i
x
x x y y j
y
x x y i x y y j
x x y i y x y j
  

    


 

    
   
Solution

3
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
( , )
( , ) ( )
( )
( ( 4 )( ) (1 2 )
4 ( ) (1 2 )
x y
x y
x y
x y x y
x y x y
f x y y e
f x y y e i
x
y e j
y
xy e i x e j
xy e i x e j



 
 
 

   




    
  
Solution

4
2
3
2
3
2 2
3 3
2 2
3 3 4
2 2
3 3 4
( , , )
( , ) ( )
( ) ( )
2 3
( ) ( ) ( )
2 3
xy
F x y z
z
xy
F x y i
x z
xy xy
j k
y z z z
y xy xy
i j k
z z z
y xy xy
i j k
z z z


  

 

 

  
  
Solution

5
2
2
( , , ) cos
( , ) ( cos )
( cos ) ( cos )
( cos ) ( sin )
( sin )
cos ( cos sin )
sin
F x y z xy yz
F x y xy yz i
x
xy yz j xy yz k
y z
y yz i xcozyz xyz yz j
xy yz k
y yzi x yz xyz yz j
xy yzk


  

 

 
   

   
Find the gradient at the
indicated point
Solution

6
2 2
2 2
2 2
( , ) 4 ;(2,4)
( , ) ( 4 )
( 4 )
(2 ) ( 8 )
2 8
(2,4) 4 32
f x y x y
f x y x y i
x
x y j
y
x i y j
xi yj
f i j
 

   




  
 
  
indicated point
Solution

7
3 4
3 4
3 4
2 3 3
3 4 3 4
2 3 3
3 4 3 4
( , ) ;(3,2)
( , ) ( )
( )
1 3 1 4
( ) ( )
2 2
3 1 4
( ) ( )
2 2
3 18 1 ( 5)
(3,2) ( ) ( ( )
2 2
54 16 38
27 5 27 5
( ) ( )
38 2 38 38 2 38
f x y x y y
f x y x y y i
x
x y y j
y
x y x y
i j
x y y x y y
x y x y
i j
x y y x y y
f X i j
i j i j
 

   





 
 

 
 

  

   
indicated point

8
Solution
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
F( , , ) sin 4 ;( 2, ,1)
3
( , , ) ( sin 4 )
( sin 4 ) ( sin 4 )
(2 sin 4 ) (4 cos4 )
(2 sin 4 )
4 4
( 2, ,1) 4sin 16cos
3 3 3
4
8sin
3
x y z x z y
F x y z x z y i
x
x z y j x z y k
y z
xz y i x z y j
x z y k
f i j
k

  

 

  

 

 
 

    

indicated point
Solution

9
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
F( , , ) ln( );( 4,3,5)
( , , ) (ln( ))
(ln( )) (ln( ))
2 2
( ) ( )
2
( )
4 3
( 4,3,5)
25 25
1
5
x y z x y z
F x y z x y z i
x
x y z j x y z k
y z
x y
i j
x y z x y z
z
k
x y z
f i j
k
   

    

 
    
 
 
   

 

   


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