�ݺ�ߣ

Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com)

March 14, 2013

M. Jamhuri (m.jamhuri@live.com) Fungsi Arus dan Kecepatan Potensial

Pendahuluan

Fungsi arus (ψ)
Konsep
Rumus Terkait
Contoh
Rotasi
Kecepatan Potensial
Konsep
Rumus Terkait
Contoh
Hubungan antara fungsi arus dengan kecepatan potensial
kecepatan petensial kompleks


Garis Arus

Pandang ﬂuida 2D dan tak termampatkan
Persamaan kontinuitas
∂ρ ∂ρu ∂ρv ∂ρw
+ + + =0
∂t ∂x ∂y ∂z

kasus 2D, persamaan diatas menjadi
ˆ
∂u ∂v ∂u
+ =0 v= − dy
∂x ∂y ∂x

u dan v saling berhubungan.
Adakah fungsi yang memenuhi keduanya?


Fungsi Arus

Anggap
∂ψ
u=
∂y
Maka
ˆ ˆ
∂u ∂2ψ
v = − dy = − dy
∂x ∂x∂y
ˆ
∂ ∂ψ ∂ψ
= − dy = −
∂y ∂x ∂x

Sebagai ganti dari dua fungsi u dan v , kita hanya perlu
menyelesaikan satu fungsi stream (ψ)
Orde PDE-nya bertambah satu


Fungsi Arus

Apakah yang dimaksud dengan fungsi stream ψ?
Persamaan untuk garis arus dalam 2D diberikan oleh

ψ = konstan

Garis arus bisa terdapat pada ﬂuida 3D, tetapi tidak dengan
fungsi arus
Kenapa? (Jika kita bekerja dengan kecepatan potensial, kita
akan segera tahu)
Dalam 3D, garis arus memenuhi persamaan

dx dy dz
= =
u v w


Rotasi

Deﬁnisi Rotasi

Anggap v |x < v |x+∆x dan u|y < u|y +∆y , rotasi di deﬁnisikan
sebagai
d α+β
ω=
dt 2


Rotasi

untuk menentukan rotasi
∆y1
tan α =
∆x
∆y1 = v |x+∆x ∆t − ( v |x ∆t)
v |x+∆x − v |x ∆t
α = arctan
∆x
begitu juga

− u|y +∆y − u|y ∆t
β = arctan
∆y


untuk θ mendekati nol (θ → 0)

sin θ ∼ 0,
= cos θ ∼ 1,
= ⇒ tan θ ∼ θ
=

arctan θ ∼ θ
=
v |x+∆x − v |x ∆t ∼ v |x+∆x − v |x ∆t
arctan =
∆x ∆x
untuk ∆t, ∆x, ∆y mendekati nol,

( v |x+∆x − v |x )∆t
arctan ∆x
lim
(∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
⇓
( v |x+∆x − v |x )∆t
∆x
lim
(∆t,∆x,∆y )→0 ∆t


v |x+∆x − v |x ∂v
lim =
∆x→0 ∆x ∂x

( v |x+∆x − v |x )∆t
arctan ∆x
1
ω = lim
2 (∆t,∆x,∆y )→0 ∆t
( u|y +∆y − v |y )∆t
arctan ∆y
1
− lim
2 (∆t,∆x,∆y )→0 ∆t

dapat disederhanakan menjadi

1 ∂v ∂u
ω = −
2 ∂x ∂y


Rotasi pada Fungsi Arus
untuk menuliskan rotasi dalam bentuk fungsi stream
∂ψ ∂ψ
u= v =−
∂y ∂x

1 ∂v ∂u
ω = −
2 ∂x ∂y
1 ∂ 2ψ ∂2ψ
= − 2 −
2 ∂x ∂y 2
1 2
= − ψ
2
yaitu
2
ψ + 2ω = 0
untuk aliran tak berotasi ω = 0,
2
ψ=0

Rotasi dan Potensial

untuk aliran tak berotasi ω = 0
1 ∂v ∂u
− = 0
2 ∂x ∂y
∂v ∂u
− = 0
∂x ∂y

Persamaan diatas, seperti persamaan kontinuitas
u dan v saling berhubungan
Adakah suatu fungsi yang memenuhi hubungan tersebut?


Kecepatan Potensial

Anggap
∂φ ∂φ
u= , v=
∂x ∂y
maka
∂v ∂u ∂2φ
= =
∂x ∂y ∂x∂y
dalam 3D, dengan cara yang sama dapat diperoleh
∂φ
w=
∂z
φ adalah kecepatan potensial.


Fungsi Arus: arti ﬁsis

Proof.
Jika ψ = kontsan, maka d ψ = 0

Pada ﬂuida 2D, ∂ψ ∂ψ
dψ = dx + dy
ψ = konstan sama ∂x ∂y
dengan garis arus = −vdx + udy
= 0

Jika ψ = konstan, maka

dy v
=
dx u


�ݺ�ߣ

Fungsi Arus dan Kecepatan potensial

More Related Content

Fungsi Arus dan Kecepatan potensial