Циклические коды БЧХ, Хемминга. Восстановление синхронизации
0 likes1,484 views
Коды БЧХ. Задача восстановления синхронизации. Восстановление синхронизации для смежных классов циклических кодов. Циклическое представление кодов Хемминга. Совершенные коды. Коды Голея. Теорема Васильева.
More Related Content
Similar to Циклические коды БЧХ, Хемминга. Восстановление синхронизации (20)
More from Alex Dainiak (20)
Циклические коды БЧХ, Хемминга. Восстановление синхронизации
- 1. Теория кодирования МФТИ, осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
- 2. Циклический код Циклический код — это линейный код, такой, что для любого кодового слова 𝑎0, 𝑎1 … , 𝑎 𝑛−1 слово 𝑎 𝑛−1, 𝑎0 … , 𝑎 𝑛−2 также является кодовым. Циклический код — это подмножество 𝐶 кольца 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , такое, что • 𝑓1, 𝑓2 ∈ 𝐶 ⇒ ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝔽 𝛼𝑓1 + 𝛽𝑓2 ∈ 𝐶 • 𝑓 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ⋅ 𝑓 ∈ 𝐶
- 3. Примитивный элемент Рассмотрим поле 𝔽 𝑞, где 𝑞 = 𝑝 𝑚, 𝑝 простое. Известно, что множество 𝔽 𝑞 ∖ 0 образует циклическую группу по умножению. Каждый образующий элемент этой группы (порядок которого равен 𝑞 − 1 ) называется примитивным элементом поля. Иными словами, примитивный элемент — это такой 𝜆 ∈ 𝔽 𝑞, что 1, 𝜆, 𝜆2, … , 𝜆 𝑞−2 = 𝔽 𝑞 ∖ 0 .
- 4. Граница Боуза—Чоудхури—Хоквингема Теорема. (A.Hocquenghem’1959, R.C. Bose and D.K. Ray-Chaudhuri’1960) Пусть 𝜆 — примитивный элемент 𝔽 𝑞. Пусть порождающий многочлен 𝑔 кода 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑞 𝑛 таков, что в 𝔽 𝑞 среди его корней есть (различные) числа вида 𝜆 𝑏, 𝜆 𝑏+1, … , 𝜆 𝑏+𝛿−2 Тогда 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿.
- 5. Граница Боуза—Чоудхури—Хоквингема Проблема: • Если применять теорему «в лоб», то невозможно доказать, что кодовое расстояние больше мощности кодового алфавита, даже если это и так. Решение: • Код рассмотрим как подмножество в 𝔽 𝑝 𝑛, но при применении границы БЧХ погрузим поле 𝔽 𝑝 в 𝔽 𝑝 𝑚.
- 6. Факты о полях • При любом простом 𝑝 и любом 𝑚 поле 𝔽 𝑝 можно вложить как подполе в 𝔽 𝑝 𝑚. Обычно поле 𝔽 𝑝 — это поле вычетов 𝔽 𝑝, а 𝔽 𝑝 𝑚 строится как множество многочленов с коэффициентами из ℤ 𝑝, которые складываются и умножаются по модулю некоторого многочлена степени 𝑚, неприводимого над ℤ 𝑝. Тогда вложение 𝔽 𝑝 в 𝔽 𝑝 𝑚 очевидно: элементам 𝔽 𝑝 соответствуют многочлены степени ≤ 0.
- 7. Факты о полях • Элементам 𝔽 𝑝 𝑚 можно сопоставить вектора из 𝔽 𝑝 𝑚, так, что сумме элементов 𝔽 𝑝 𝑚 соответствует сумма векторов в 𝔽 𝑝 𝑚. Раз 𝔽 𝑝 𝑚 — многочлены с коэффициентами из 𝔽 𝑝 степени ≤ 𝑚, то каждому элементу 𝔽 𝑝 𝑚 сопоставим вектор коэффициентов многочлена.
- 8. Коды БЧХ Пусть 𝑝 простое. Рассмотрим циклический код 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 с порождающим многочленом 𝑔. Коэффициенты 𝑔 берутся из 𝔽 𝑝, но их можно считать одновременно элементами 𝔽 𝑝 𝑚. Рассмотрим код 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , порождённый многочленом 𝑔 (если считать, что 𝑔 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 ). Можно в том же духе считать, что 𝐶 ⊆ 𝐶.
- 9. Коды БЧХ Коэффициенты 𝑔 берутся из 𝔽 𝑝, но их можно считать одновременно элементами 𝔽 𝑝 𝑚. 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 порождён 𝑔. Пусть 𝜆 — примитивный элемент 𝔽 𝑝 𝑚, и 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 Тогда граница БЧХ гласит: 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿. Так как 𝐶 ⊆ 𝐶, то и 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿.
- 10. Коды БЧХ • Подбираем 𝑔 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 с коэффициентами из 𝔽 𝑝, так, чтобы в 𝔽 𝑝 𝑚 было выполнено 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 и 𝑔| 𝑥 𝑛 − 1 . • На основе 𝑔 строим циклический код в 𝔽 𝑝 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 , для которого, по построению, выполнено 𝑑 𝐶 ≥ 𝛿. Вопросы: • Существует ли вообще такой 𝑔? • Как оценить dim 𝐶?
- 11. Минимальный многочлен Хорошие новости (без доказательства): Для любого 𝛼 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 ∖ 0 существует многочлен 𝑓 ∈ 𝔽 𝑝 𝑚 𝑥 ∖ 0 с коэффициентами из 𝔽 𝑝, для которого 𝑓 𝛼 = 0. Если взять такой 𝑓 минимальной степени, то • 𝑓 неприводим над 𝔽 𝑝, • deg 𝑓 ≤ 𝑚, • 𝑓 ∣ 𝑥 𝑝 𝑚−1 − 1 . Такой 𝑓 называется минимальным многочленом элемента 𝛼.
- 12. Коды БЧХ Следствия из хороших новостей: • Если 𝑛 = 𝑝 𝑚 − 1, то существует 𝑔, такой, что 𝑔 𝜆 𝑏 = ⋯ = 𝑔 𝜆 𝑏+𝛿−2 = 0 и 𝑔| 𝑥 𝑛 − 1 , причём deg 𝑔 ≤ 𝛿 − 1 𝑚. • Такой 𝑔 можно взять как LCM 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 где 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 — минимальные многочлены соответствующих элементов.
- 13. Коды БЧХ Окончательный способ построения кода: • Берём 𝑛 ≔ 𝑝 𝑚 − 1 и 𝑔 ≔ LCM 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 где 𝑓 𝜆 𝑏, … , 𝑓 𝜆 𝑏+𝛿−2 — минимальные многочлены соответствующих элементов в 𝔽 𝑝 𝑚. • Строим циклический код в 𝔽 𝑝, используя 𝑔 в качестве порождающего многочлена наименьшей возможной степени Получаем код с параметрами 𝑝 𝑚 − 1, 𝑘, 𝑑 𝑝, где • 𝑘 = 𝑛 − deg 𝑔 ≥ 𝑛 − 𝛿 − 1 𝑚 • 𝑑 ≥ 𝛿
- 14. Задача восстановления синхронизации Пусть по каналу передаются слова … 𝒂, 𝒃, 𝒄 … 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … Если в канале выпадают символы, может произойти ошибка синхронизации: 𝑎𝑖+1 𝑎𝑖+2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … и есть шанс неправильно разбить принятую последовательность на слова: 𝑎𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏𝑖 ∣ 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 ∣ 𝑐𝑖+1 … Если при этом такие слова окажутся кодовыми, то мы далеко не сразу обнаружим ошибку!
- 15. Задача восстановления синхронизации При потере синхронизации имеем разбиение: 𝑎𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏𝑖 ∣ 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 ∣ 𝑐𝑖+1 … Циклические коды очень плохие с точки зрения восстановления синхронизации: если 𝒂 ∈ 𝐶 и в канал передавалось 𝒂𝒂𝒂 … то при потере синхронизации мы обнаружим ошибку только в самом конце приёма.
- 16. Свобода от запятой Пусть по каналу передаются слова … 𝒂, 𝒃, 𝒄 … 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛 𝑏1 𝑏2 … 𝑏 𝑛 𝑐1 𝑐2 … 𝑐 𝑛 … Если при приёме слова 𝒃 «запоздать» на 𝑖 тактов, то мы примем слово 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 а если «забежать вперёд» на 𝑖 тактов, примем 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖 Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖.
- 17. Свобода от запятой Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖. Если 𝑟 ≥ 𝑛 2 , то считаем, что 𝑟 = ∞, а код называется кодом без запятой. Если 𝑟 < ∞, то при приёме можно (перебором) исправить синхросдвиг на ≤ 𝑟 2 символов. Если 𝑟 = ∞, то может быть исправлен любой синхросдвиг.
- 18. Свобода от запятой Код обладает свободой от запятой степени 𝑟, если для любых кодовых слов 𝒂, 𝒃, 𝒄 и любого 𝑖 ≤ 𝑟 коду не принадлежат слова 𝑏𝑖+1 … 𝑏 𝑛 𝑐1 … 𝑐𝑖 и 𝑎 𝑛−𝑖+1 … 𝑎 𝑛 𝑏1 … 𝑏 𝑛−𝑖. • Циклические коды — не годятся • Зато смежные классы циклических кодов — вполне!
- 19. Смежные классы линейных кодов Пусть 𝐶 ⊆ 𝔽 𝑛 — линейный код. Его смежный класс — это множество вида 𝐶 + 𝒂 ≔ 𝒄 + 𝒂 ∣ 𝒄 ∈ 𝐶 Заметьте: при 𝒂 ∉ 𝐶 такой код не линейный! Для циклического кода с порождающим многочленом 𝑔 смежный класс имеет вид 𝑓 ⋅ 𝑔 + 𝑠 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 для некоторого 𝑠 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 .
- 20. Смежные классы циклических кодов Для циклического кода с порождающим многочленом 𝑔 смежный класс имеет вид 𝑓 ⋅ 𝑔 + 𝑠 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 для некоторого 𝑠 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 . Теорема. При 𝑠 ≡ 1 степень свободы от запятой смежного класса циклического кода равна deg 𝑔 − 1 при 𝑛 ≥ 2 deg 𝑔, и равна ∞ при 𝑛 < 2 deg 𝑔. (Подробно обоснуем только нижнюю оценку.)
- 21. Смежные классы циклических кодов Пусть передавались слова 𝒂, 𝒃 ∈ 𝐶. Если при приёме слова 𝒂 произошло запаздывание на 𝑖 тактов, то будет принято слово, которому отвечает многочлен 𝑥−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑡2, где 𝑡1 и 𝑡2 — многочлены, образованные 𝑖 первыми координатами слов 𝒂 и 𝒃 соответственно, а 𝑓𝒂 — многочлен, отвечающий слову 𝒂.
- 22. Смежные классы циклических кодов В кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 имеем 𝑥−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑡2 = 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓𝒂 − 𝑡1 + 𝑡2 Аналогично, если при приёме слова 𝒃 произошло «забегание вперёд», то будет принято слово 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓𝒃 + 𝑡3 − 𝑡4 , где 𝑡3 и 𝑡4 — многочлены, образованные 𝑖 старшими разрядами слова 𝒂 и 𝑖 младшими разрядами 𝒃 соответственно. При этом deg 𝑡1 , deg 𝑡2 , deg 𝑡3 , deg 𝑡4 < 𝑖
- 23. Смежные классы циклических кодов Итак, в случае рассинхронизации принятое слово будет иметь вид 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ или 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ, где 𝑓 ∈ 𝐶 и deg Δ < 𝑖. Нужно, чтобы 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ ∉ 𝐶 и 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓 + Δ ∉ 𝐶 при 0 < 𝑖 ≤ 𝑟.
- 24. Смежные классы циклических кодов Пусть 𝐶 — смежный класс ц.к. вида 𝑓 ⋅ 𝑔 + 1 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 Нужно, чтобы для любых 𝑓1, 𝑓2, Δ, 𝑖, таких, что deg Δ < 𝑖 и 0 < 𝑖 ≤ 𝑟 в кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 было выполнено 𝑓1 ⋅ 𝑔 + 1 ≠ 𝑥 𝑛−𝑖 ⋅ 𝑓2 ⋅ 𝑔 + 1 + Δ 𝑓1 ⋅ 𝑔 + 1 ≠ 𝑥 𝑖 ⋅ 𝑓2 ⋅ 𝑔 + 1 + Δ Это равносильно тому, что для любых 𝑓, Δ, 𝑖 𝑓 ⋅ 𝑔 ≠ 𝑥 𝑖 + Δ − 1
- 25. Смежные классы циклических кодов Пусть 𝐶 — смежный класс ц.к. вида 𝑓 ⋅ 𝑔 + 1 ∣ 𝑓 ∈ 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 Нужно, чтобы для любых 𝑓, Δ, 𝑖, таких, что deg Δ < 𝑖 и 0 < 𝑖 ≤ 𝑟 в кольце 𝔽 𝑥 𝑥 𝑛 − 1 было выполнено 𝑓 ⋅ 𝑔 ≠ 𝑥 𝑖 + Δ − 1 Имеем 𝑥 𝑖 + Δ − 1 ≢ 0 при любом 𝑖 > 0. Т.к. deg 𝑥 𝑖 + Δ − 1 = 𝑖 ≤ 𝑟, то достаточно, чтобы deg 𝑔 > 𝑟. Это и требовалось доказать.
- 26. Циклическое представление кодов Хемминга Пусть 𝜆 — примитивный элемент поля 𝔽2 𝑚. Пусть 𝑔 — минимальный многочлен для 𝜆, и 𝐶 ⊂ 𝔽2 2 𝑚−1 — код, порождённый 𝑔. Любой кодовый многочлен 𝑓 ∈ 𝐶 имеет корень, равный 𝜆. Поэтому кодовые вектора 𝑐0, … , 𝑐2 𝑚−2 удовлетворяют соотношению 𝑐0 + 𝑐1 𝜆 + 𝑐2 𝜆2 + ⋯ + 𝑐2 𝑚−2 𝜆2 𝑚−2 = 0
- 27. Циклическое представление кодов Хемминга Кодовые вектора 𝑐0, … , 𝑐2 𝑚−2 удовлетворяют соотношению 𝑐0 + 𝑐1 𝜆 + 𝑐2 𝜆2 + ⋯ + 𝑐2 𝑚−2 𝜆2 𝑚−2 = 0 Так как 𝜆0, 𝜆1, … , 𝜆2 𝑚−2 = 𝔽2 𝑚 ∖ 0 , и так как каждому элементу 𝔽2 𝑚 отвечает вектор из 𝔽2 𝑚 , то проверочная матрица кода равна 𝑣 𝜆0, 𝑣 𝜆1, … , 𝑣 𝜆2 𝑚−2 ∈ 𝔽2 𝑚× 2 𝑚−1 где 𝑣 𝜆 𝑖 — вектор, отвечающий 𝜆𝑖. Столбцы матрицы — все ненулевые вектора 𝔽2 𝑚 .
- 28. Циклическое представление кодов Хемминга Утверждение. Двоичный код Хемминга с параметрами 2 𝑚 − 1, 2 𝑚 − 1 − 𝑚, 3 эквивалентен циклическому коду, порождённому минимальным многочленом примитивного элемента 𝔽2 𝑚.
- 29. Коды Голея М. Голей (M. J. E. Golay) предложил два кода, позже было замечено, что они циклические: • 23,12,7 -код с порождающим многочленом 1 + 𝑥 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥9 + 𝑥11 • 11,6,5 3-код с порождающим многочленом 2 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 Расширенные коды Голея: • 23,12,7 -код → 24,12,8 -код • 11,6,5 3-код → 12,6,6 3-код
- 30. Совершенные коды Граница Хемминга (сферической упаковки). Для любого 𝑛, 𝑀, 𝑑 𝑞-кода имеем 𝑀 ≤ 𝑞 𝑛 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 Для любого линейного 𝑛, 𝑘, 𝑑 𝑞-кода 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 ≤ 𝑞 𝑛−𝑘 Коды, достигающие эту границу, — совершенные. 𝒂1 𝒂2 𝒂 𝑀 ⋯
- 31. Совершенные коды 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 = 𝑞 𝑛−𝑘 Утверждение. Коды Голея и Хемминга — совершенные. Доказательство: • Для 23,12,7 -кода Голея: 𝑖=0 3 23 𝑖 = 223−12 • Для 11,6,5 3-кода Голея: 𝑖=0 2 𝑛 𝑖 ⋅ 2𝑖 = 311−6 • Для двоичных кодов Хемминга проверяли ранее. Теперь проверим в общем случае.
- 32. Совершенные коды Проверочная матрица 𝑞-ичного кода Хемминга содержит все линейно независимые столбцы высоты 𝑚. Получается 𝑛 = 𝑞 𝑚−1 𝑞−1 , 𝑘 = 𝑛 − 𝑚, 3 𝑞 -код. Проверяем соотношение 𝑆 𝑑−1 2 𝟎 = 𝑞 𝑛−𝑘: 𝑆1 𝟎 = 1 + 𝑛 𝑞 − 1 = 𝑞 𝑚 = 𝑞 𝑛−𝑘
- 33. Тривиальные совершенные коды • 𝑛, 1, 𝑛 𝑞-код (состоит из одного слова) • 𝑛, 2, 𝑛 2-код (пара слов-антиподов) при нечётных 𝑛
- 34. Совершенные коды Теорема. (В. А. Зиновьев, В. К. Леонтьев ’1972, A. Tietäväinen ’1973, J. H. van Lint ’1971, M. R. Best ’1983, Y. Hong ’1983, V. Pless ’1968) — Б/д. • Нетривиальных совершенных кодов с расстоянием > 7 не существует. • Единственным с точностью до эквивалентности совершенным кодом с расстоянием 7 является 23,12,7 -код Голея. • Любой нетривиальный код над алфавитом мощности 𝑞 = 𝑝 𝑚 с расстоянием ≤ 5 либо эквивалентен 11,6,5 3-коду Голея, либо имеет те же длину, число слов и кодовое расстояние, что и 𝑞 𝑡−1 𝑞−1 , 𝑞 𝑡−1 𝑞−1 − 𝑡, 3 𝑞 -код Хемминга.
- 35. Совершенные коды Следствие теоремы: Для любого совершенного кода над 𝔽 𝑞 существует линейный код с той же длиной слов, числом слов и кодовым расстоянием. Нерешённая проблема: Существуют ли совершенные коды над алфавитами мощности ≠ 𝑝 𝑚 ?
- 36. Совершенные коды Теорема. (Ю. Л. Васильев ’1962, обобщения: J. Schonheim ’1968, B. Lindstrom ‘1969) Для любого 𝑞 = 𝑝 𝑚 существуют совершенные коды с расстоянием 3, не эквивалентные линейным кодам. Докажем только для случая 𝑞 = 2: При любом 𝑚 существует нелинейный 2 𝑚 − 1, 22 𝑚−𝑚−1, 3 -код.
- 37. Совершенные коды Лемма. (Конструкция Васильева) Пусть 𝐶′, 𝐶′′ ⊆ 𝔽2 𝑛 — коды с расстояниями 𝑑′ и 𝑑′′, причём 𝑑′ нечётно. Положим 𝜋 𝒂 ≔ 𝑖 𝑎𝑖. Для произвольного 𝛾: 𝐶′′ → 𝔽2 рассмотрим код 𝐶 ≔ 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ , где 𝒄′ ∈ 𝐶′ , 𝒄′′ ∈ 𝐶′′ Тогда 𝐶 является 2𝑛 + 1, 𝐶′ ⋅ 𝐶′′ , 𝑑 -кодом, где 𝑑 ≥ min 2𝑑′ + 1, 𝑑′′ Доказательство: Нетривиальна только оценка 𝑑 𝐶 . (Похоже на конструкцию Плоткина.)
- 38. Доказательство леммы Васильева Возьмём пару различных слов кода 𝐶: 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Рассматриваем случаи: • 𝒄′ ≠ 𝒄′ и 𝒄′′ = 𝒄′′. Если 𝑑 𝒄′, 𝒄′ = 𝑑′, то 𝜋 𝒄′ ≠ 𝜋 𝒄′ и следовательно 𝑑 𝒂, 𝒂 = 2𝑑′ + 1. Если 𝑑 𝒄′, 𝒄′ > 𝑑′, то 𝑑 𝒂, 𝒂 > 2𝑑′ .
- 39. Доказательство леммы Васильева Возьмём пару различных слов кода 𝐶: 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Рассматриваем случаи: • 𝒄′ = 𝒄′ и 𝒄′′ ≠ 𝒄′′. Тогда, очевидно, 𝑑 𝒂, 𝒂 ≥ 𝑑 𝒄′′, 𝒄′′ ≥ 𝑑′′.
- 40. Доказательство леммы Васильева 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ 𝒂 = 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ Остался случай 𝒄′ ≠ 𝒄′ и 𝒄′′ ≠ 𝒄′′: Пусть 𝒄′ и 𝒄′ отличаются на множестве позиций 𝐷1, а 𝒄′′ и 𝒄′′ отличаются на множестве позиций 𝐷2. Тогда 𝒄′ + 𝒄′′ и 𝒄′ + 𝒄′′ отличаются по крайней мере на множестве 𝐷2 ∖ 𝐷1. Следовательно 𝑑 𝒂, 𝒂 ≥ 𝐷1 + 𝐷2 ∖ 𝐷1 ≥ 𝐷2 ≥ 𝑑′′
- 41. Теорема Васильева Следствие из леммы Васильева. Пусть 𝐶′′ ⊆ 𝔽2 𝑛 — код с расстоянием 3. Для произвольного отображения 𝛾: 𝐶′′ → 𝔽2 код 𝒄′ ∣ 𝒄′ + 𝒄′′ ∣ 𝜋 𝒄′ + 𝛾 𝒄′′ , где 𝒄′ ∈ 𝔽2 𝑛 , 𝒄′′ ∈ 𝐶′′ является 2𝑛 + 1, 2 𝑛 ⋅ 𝐶′′ , 3 -кодом. Доказательство: применяем Лемму с 𝐶′ ≔ 𝔽2 𝑛 . Замечание: если отображения 𝛾 и 𝛾 + 1 нелинейны, то получаемый код не эквивалентен никакому линейному.
- 42. Теорема Васильева Следствие из леммы Васильева. Если существует 𝑛, 𝑀, 3 -код, то существует 2𝑛 + 1, 2 𝑛 ⋅ 𝑀, 3 -код, не эквивалентный никакому линейному. Теорема. Для любого 𝑚 ≥ 2 существует совершенный 2 𝑚 − 1, 22 𝑚−𝑚−1 , 3 -код, не эквивалентный никакому линейному. Доказательство: Заметим, что при каждом 𝑚 ≥ 2 есть 2 𝑚−1 − 1, 22 𝑚−1−𝑚, 3 -код Хемминга, и применим Следствие с 𝑛 ≔ 2 𝑚−1 − 1 и 𝑀 ≔ 22 𝑚−1−𝑚 .
- 43. Линейные коды не всегда лучшие Теорема. (F. P. Preparata ’1968, J.-M. Goethals and S. L. Snover ’1972) • Для ∀𝑚 ≥ 2 существует 4 𝑚, 24 𝑚−4𝑚, 6 -код. • Любой линейный код длины 4 𝑚 с расстоянием 6 имеет меньшую мощность. Коды с параметрами 4 𝑚, 24 𝑚−4𝑚, 6 называют кодами Препа́раты.