Основы теории графов 11: гамильтоновы циклы
0 likes1,869 views
Доказываем достаточные условия существования в графе гамильтоновых циклов: условия Эрдёша—Хватала, Асратяна—Хачатряна, Хватала. Доказываем необходимые условия существования гамильтонова цикла в планарном графе (теорема Гринберга). [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]
More Related Content
What's hot (20)
Viewers also liked (9)
Similar to Основы теории графов 11: гамильтоновы циклы (9)
More from Alex Dainiak (14)
Основы теории графов 11: гамильтоновы циклы
- 1. Основы теории графов осень 2013 Александр Дайняк www.dainiak.com
- 2. Гамильтоновы циклы • Гамильтонов цикл — через каждую вершину графа проходит ровно по одному разу • Гамильтонов граф — граф, в котором есть гамильтонов цикл
- 3. Гамильтоновы циклы • В отличие от эйлеровых циклов, пока нет ни хороших критериев гамильтоновости, ни быстрых алгоритмов построения г.ц. • Есть некоторые достаточные условия существования гамильтоновых циклов. В основном, утверждения типа «если граф «достаточно плотный», то в нём есть г.ц.»
- 4. Теорема Хватала—Эрдёша Теорема. (Erdős, Chvátal ’1972) Если 훼 퐺 ≤ 휅 퐺 , то граф 퐺 гамильтонов. Доказательство: Допустим, что 퐺 негамильтонов и покажем, что в этом случае 훼 퐺 > 휅 퐺 . Рассмотрим цикл 퐶 в 퐺, имеющий максимальную длину. По предположению, 푉 퐶 ≠ 푉 퐺 .
- 5. Теорема Хватала—Эрдёша Пусть 퐵 ⊂ 퐺 — одна из компонент связности (возможно, единственная) графа 퐺 − 퐶 . Так как 퐺 связный, то есть рёбра между 퐵 и 퐶. 퐵 퐶
- 6. Теорема Хватала—Эрдёша + — вершины Пусть 퐶퐵 — вершины 퐶, смежные с 퐵, и пусть 퐶퐵 цикла 퐶, «следующие» за вершинами из 퐶퐵 (в некоторой ориентации 퐶). 퐶퐵 + 퐶퐵 Удаление из 퐺 всех вершин, входящих в 퐶퐵 , нарушает связность 퐺, поэтому + 휅 퐺 ≤ 퐶퐵 = 퐶퐵
- 7. Теорема Хватала—Эрдёша + не смежны между собой, так как иначе цикл 퐶 можно было бы Вершины из 퐶퐵 увеличить: + и 퐵 рёбер нет, иначе длину цикла можно увеличить: Также, между 퐶퐵
- 8. Теорема Хватала—Эрдёша + добавить любую вершину из 퐵, Следовательно, если к 퐶퐵 + + 1 в 퐺. получится независимое множество размера 퐶퐵 Отсюда + ≥ 휅 퐺 , 훼 퐺 > 퐶퐵 что и требовалось.
- 9. Теорема Асратяна—Хачатряна Теорема. (А. С. Асратян, Н. К. Хачатрян ’1990) Пусть граф 퐺 связен и пусть для любой тройки 푢, 푣, 푤 ∈ 푉 퐺 , такой, что 푢푣, 푣푤 ∈ 푉 퐺 и 푢푤 ∉ 푉 퐺 выполнено неравенство 푑 푢 + 푑 푤 ≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 . Тогда граф 퐺 гамильтонов. 푢 푣 푤 푢, 푣, 푤 образуют порождённую цепь в 퐺
- 10. Теорема Асратяна—Хачатряна Для любой порождённой цепи 푢푣푤 выполнены неравенства 푁 푢 ∩ 푁 푤 = 푑 푢 + 푑 푤 − 푁 푢 ∪ 푁 푤 ≥ ≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 − 푁 푢 ∪ 푁 푤 = = 푁 푣 − 푁 푣 ∩ 푁 푢 ∪ 푁 푤 = 푁 푣 ∖ 푁 푢 ∪ 푁 푤 = = 푁 푣 ∖ 푁 푢, 푤 В переходе «≥» мы использовали условие теоремы, во всех остальных переходах — теоретико-множественные простые свойства.
- 11. Теорема Асратяна—Хачатряна Для любой порождённой цепи 푢푣푤 имеем 푁 푢 ∩ 푁 푤 ≥ 푁 푣 ∖ 푁 푢, 푤 В частности, 푁 푢 ∩ 푁 푤 ≥ 푢, 푤 = 2, следовательно в 퐺 есть циклы. Пусть 퐶 —максимальный простой цикл в 퐺. Предположив, что 푉 퐺 ∖ 푉 퐶 ≠ ∅, придём к противоречию.
- 12. Теорема Асратяна—Хачатряна Пусть 푥 ∈ 푉 퐺 − 퐶 , и 푁 푥 ∪ 푉 퐶 ≠ ∅. Зафиксируем некоторую ориентацию цикла 퐶. Положим 퐶푥 ≔ 푉 퐶 ∩ 푁 푥 , и пусть 퐶푥 + — множество «последователей» вершин из 퐶푥 на цикле 퐶: 푥 퐶 퐶푥 + 퐶푥 퐺 + = ∅. Из максимальности 퐶 следует, что 퐶푥 ∩ 퐶푥
- 13. Теорема Асратяна—Хачатряна + не смежна: Никакая пара вершин из 푥 ∪ 퐶푥 Если 푥 смежна с вершиной из 퐶푥 + 푥 푥 Если вершины из 퐶푥 + смежны 푥 푥
- 14. Теорема Асратяна—Хачатряна + не имеет общих соседей вне Никакая пара вершин из 푥 ∪ 퐶푥 цикла 퐶: Если сосед вне 퐶 есть у 푥 и вершины из 퐶+ 푥 Если сосед вне 퐶 есть у пары вершин из 퐶+ 푥 푥 푥 푥 푥
- 15. Теорема Асратяна—Хачатряна + не смежны, а значит, Никакие две вершины из 푥 ∪ 퐶푥 порождённой цепью в 퐺 является каждая тройка вершин 푥푦푦+, где 푦 ∈ 퐶+ + + 푥 и 푦∈ 퐶푥 (푦— последователь 푦 на 퐶). Тогда 푁 푥 ∩ 푁 푦+ ≥ 푁 푦 ∖ 푁 푥, 푦+ . Так как 퐶+ 푥 ∪ 푥 ∩ 푁 푥, 푦+ = ∅, то 푁 푦 ∖ 푁 푥, 푦+ ≥ 푁 푦 ∩ 퐶푥 + ∪ 푥 = 푁 푦 ∩ 퐶푥 + + 1. + ≤ 푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1. Отсюда 푁 푦 ∩ 퐶푥
- 16. Теорема Асратяна—Хачатряна Итак, для каждой тройки вида 푥푦푦+ имеем + ≤ 푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1. 푁 푦 ∩ 퐶푥 + — число рёбер 퐺, соединяющих вершины из 퐶푥 и Пусть 퐶푥 , 퐶푥 +. Получаем 퐶푥 + = 퐶푥 , 퐶푥 푦∈퐶푥 + ≤ 푁 푦 ∩ 퐶푥 푦∈퐶푥 푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1 = = − 퐶푥 + 푦∈퐶푥 푁 푥 ∩ 푁 푦+
- 17. Теорема Асратяна—Хачатряна + не имеют общих соседей вне 퐶, Никакие две вершины из 푥 ∪ 퐶푥 поэтому 푁 푥 ∩ 푁 푦+ = 퐶푥 ∩ 푁 푦+ Отсюда + ≤ − 퐶푥 + 퐶푥 , 퐶푥 푦∈퐶푥 푁 푥 ∩ 푁 푦+ = = − 퐶푥 + 푦∈퐶푥 퐶푥 ∩ 푁 푦+ = − 퐶푥 + 퐶푥 , 퐶푥 + —противоречие.
- 18. Теоремы Дирака и Оре Теорема. (Асратян, Хачатрян ’1990) Если граф 퐺 связен и для любой порождённой цепи 푢푣푤 выполнено неравенство 푑 푢 + 푑 푤 ≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 , то граф 퐺 гамильтонов. Следствие. (Ore ’1960) Если для любых несмежных 푢, 푣 ∈ 푉 퐺 выполнено неравенство 푑 푢 + 푑 푣 ≥ 퐺 , то граф 퐺 гамильтонов. Следствие. (Dirac ’1952) Если 훿 퐺 ≥ 퐺 2, то граф 퐺 гамильтонов.
- 19. Гамильтоновы последовательности Степенной последовательностью графа 퐺 называется набор чисел 푑 푣 푣∈푉 퐺 , упорядоченный по возрастанию. Последовательность чисел 푎1 ≤ 푎2 ≤ ⋯ ≤ 푎푛 называется гамильтоновой, если гамильтоновым является любой граф 퐺, такой, что его степенная последовательность 푑푖 푖=1 푛 удовлетворяет условиям 푑1 ≥ 푎1, … , 푑푛 ≥ 푎푛.
- 20. Теорема Хватала Теорема. (Chvátal ’1972) Последовательность 0 < 푎1 ≤ ⋯ ≤ 푎푛 < 푛 гамильтонова, если и только если для каждого 푘 ∈ 1, 푛 2 выполнено условие: 푎푘 ≤ 푘 ⇒ 푎푛−푘 ≥ 푛 − 푘.
- 21. Необходимость условий Хватала Доказательство необходимости: Допустим, для некоторого 푘 < 푛 2 условия нарушены, то есть 푎푘 ≤ 푘 и 푎푛−푘 ≤ 푛 − 푘 − 1. Построим негамильтонов граф 퐺 со следующей степенной последовательностью: • 푑1 = ⋯ = 푑푘 ≔ 푘 • 푑푘+1 = ⋯ = 푑푛−푘 ≔ 푛 − 푘 − 1 • 푑푛−푘+1 = ⋯ = 푑푛 ≔ 푛 − 1 (Очевидно, ∀푖 푑푖 ≥ 푎푖.)
- 22. Необходимость условий Хватала Негамильтонов граф 퐺: • 푑1 = ⋯ = 푑푘 ≔ 푘 • 푑푘+1 = ⋯ = 푑푛−푘 ≔ 푛 − 푘 − 1 • 푑푛−푘+1 = ⋯ = 푑푛 ≔ 푛 − 1 푣푘 푣1 ⋮ 푣푛 푣푛−푘+1 ⋮ 푣푛−푘 푣푘+1 ⋮ Полный двудольный подграф на вершинах 푣1, … , 푣푘 ; 푣푛−푘+1, … , 푣푛, клика на вершинах 푣푘+1, … , 푣푛. Никакой простой цикл в 퐺 не может содержать одновременно вершины 푣1, … , 푣푘 ; 푣푛−푘+1, … , 푣푛 и 푣푘+1.
- 23. Достаточность условий Хватала Допустим, что нашёлся негамильтонов граф, удовлетворяющий условиям Хватала: ∀푘 < 푛 2 푑푘 ≤ 푘 ⇒ 푑푛−푘 ≥ 푛 − 푘 Добавление рёбер в граф не нарушает условий Хватала. Будем добавлять в наш граф рёбра, пока не получим граф 퐺, такой, что • 퐺 удовлетворяет условиям Хватала, • 퐺 негамильтонов, • 퐺 + 푥푦 гамильтонов для любых 푥, 푦 ∈ 푉 퐺 , таких, что 푥푦 ≠ 퐸 퐺 .
- 24. Достаточность условий Хватала Выберем в 퐺 пару несмежных вершин 푥, 푦, таких, что 푑 푥 ≤ 푑 푦 и что сумма 푑 푥 + 푑 푦 максимально возможная. В 퐺 есть гамильтонов путь из 푥 в 푦: 푥 푣1 푣푖 푣푖+1 푦 ⋯ ⋯ Вершина 푦 не может быть смежна с «левыми соседями» вершин из 푁 푥 , иначе в 퐺 был бы гамильтонов цикл. Поэтому 푑 푦 ≤ 푛 − 1 − 푑 푥 , то есть 푑 푥 + 푑 푦 < 푛.
- 25. Достаточность условий Хватала Положим 푘 ≔ 푑 푥 < 푛 2. Так как 푉 퐺 ∖ 푁 푦 ≥ 푑 푥 = 푘 и 푑 푥 + 푑 푦 максимальна, то 푣 ∈ 푉 퐺 ∣ 푑 푣 ≤ 푘 ≥ 푘. Значит, в степенной последовательности графа 퐺 имеем 푑1 ≤ 푘, … , 푑푘 ≤ 푘. Следовательно, 푑푛−푘 ≥ 푛 − 푘, … , 푑푛 ≥ 푛 − 푘. Отсюда 푣 ∈ 푉 퐺 ∣ 푑 푣 ≥ 푛 − 푘 ≥ 푘 + 1 > 푑 푥 и найдётся 푧 ∈ 푉 퐺 ∖ 푁 푥 такая, что 푑 푧 ≥ 푛 − 푘. Но тогда 푑 푥 + 푑 푧 ≥ 푛 > 푑 푥 + 푑 푦 , — противоречие.
- 26. Гамильтоновость и связность Утверждение. • Каждый гамильтонов граф двусвязен • Для любого 푘 существуют 푘-связные негамильтоновы графы
- 27. Гамильтоновость и планарность Утверждение. Существуют негамильтоновы планарные трёхсвязные графы. Их можно найти даже среди триангуляций. Для графа справа 훼 퐺 = 6 и 퐺 = 11, в то время как у гамильтоновых графов 훼 퐺 ≤ 퐺 2.
- 28. Гамильтоновость и планарность Теорема. (Whitney ’1932) Если 퐺 триангуляция, и если в 퐺 каждый цикл длины 3 ограничивает некоторую грань, то 퐺 является гамильтоновым. Теорема. (Tutte ’1946) Каждый 4-связный планарный граф является гамильтоновым.
- 29. Гамильтоновость и планарность Планарность+трёхсвязность+регулярность тоже не гарантирует гамильтоновости. (Tutte ’1946) Пример графа (Гринберг ’1968):
- 30. Теорема Гринберга Теорема. (Э. Я. Гринберг ’1968) Для любой укладки планарного гамильтонова графа 퐺 и для любого гамильтонова цикла 퐶 выполняется соотношение 퐺 푘=1 푖푛푡 = 푘 − 2 푓푘 퐺 푘=1 푒푥푡 = 퐺 − 2, 푘 − 2 푓푘 푖푛푡 и 푓푘 где 푓푘 푒푥푡 — число граней периметра 푘, лежащих внутри и вне 퐶 соответственно.
- 31. Теорема Гринберга Доказательство: Пусть 퐸푖푛푡 — множество рёбер графа 퐺, попадающих внутрь цикла 퐶. Пусть 퐹푖푛푡 — грани 퐺, лежащие внутри 퐶. Заметим, что выполнено равенство 퐹푖푛푡 = 퐸푖푛푡 + 1 퐶
- 32. Теорема Гринберга Каждое ребро из 퐸푖푛푡 отграничивает две грани из 퐹푖푛푡 , а каждое ребро в 퐶 лежит на границе ровно одной грани из 퐹푖푛푡 , поэтому сумма периметров всех граней из 퐹푖푛푡 равна 퐸 퐶 + 2 퐸푖푛푡 = 퐺 + 2 퐹푖푛푡 − 1 = = 퐺 − 2 + 2 ⋅ 푛 푘=1 푖푛푡 푓푘 С другой стороны, та же сумма периметров равна 푛 푘=1 푖푛푡 푘 ⋅ 푓푘
- 33. Теорема Гринберга Получаем 푛 푘=1 푖푛푡 = 퐺 − 2 + 2 ⋅ 푘 ⋅ 푓푘 푛 푘=1 푖푛푡 푓푘 Отсюда 푛 푘=1 푖푛푡 = 퐺 − 2. 푘 − 2 ⋅ 푓푘 Второе равенство из утверждения теоремы доказывается точно так же.
- 34. Теорема Гринберга Следствие из теоремы Гринберга. Граф Гринберга негамильтонов. Доказательство: из теоремы следует, что для гамильтонова графа должно быть выполнено 푛 푘=1 푖푛푡 − 푓푘 푘 − 2 ⋅ 푓푘 푒푥푡 = 0 В графе Гринберга грани имеют периметры только 4,5,8, поэтому для него нулю равнялась бы сумма 푖푛푡 − 푓4 2 푓4 푖푛푡 − 푓5 푒푥푡 + 3 푓5 푒푥푡 + 6 푓8 푖푛푡 − 푓8 푒푥푡
- 35. Теорема Гринберга Из равенства нулю суммы 푖푛푡 − 푓4 2 푓4 푖푛푡 − 푓5 푒푥푡 + 3 푓5 푒푥푡 + 6 푓8 푖푛푡 − 푓8 푒푥푡 푖푛푡 − 푓4 следует, что 2 푓4 푒푥푡 делится на 3. Но в графе Гринберга только одна грань периметра 4 (внешняя), поэтому 푖푛푡 − 푓4 2 푓4 푒푥푡 ∈ −2, 2 Получаем противоречие. Следовательно, граф Гринберга негамильтонов.