Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη
0 likes4,870 views
Μια γρήγορη επανάληψη-φρεσκάρισμα των Μιγαδικών Αριθμών των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου πριν τις εξετάσεις.
![• Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα
|z|2 = 𝒛𝒛
• Για παράδειγμα:
• 1. Αν z , w C και zν = w |zν| = |w| |z|= | 𝒘|𝝂
• 2. Αν z , w C και zν = wν |z|ν = |w|ν
• |z| = |w| |z|2 = |w|2 𝒛𝒛 = 𝒘 𝒘
• 3. Γενικά [f(z)]ν = [g(z)]ν | f(z)|ν = |g(z)|ν |f(z)|=|g(z)|
• |f(z)|2 = |g(z)|2 𝒇(𝒛)𝒇(𝒛) 𝒈( 𝒛)𝒈(𝒛)
Μεθοδολογία
• Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα
μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο)
Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος](https://image.slidesharecdn.com/random-140502042056-phpapp01/85/-32-320.jpg)
Μιγαδικοί Αριθμοί - Επανάληψη
- 2. • Να διαβάσεις καλά όλους τους ορισμούς, τις αποδείξεις , τα σχόλια και τα πλαίσια που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. Κάποια από αυτά θα είναι το 1ο Θέμα του διαγωνίσματος! • Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών) • Σελ.87: Ορισμοί (Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών) • Σελ.88-90: Πράξεις στο C. Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89 με τα έντονα γράμματα • Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού) Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) • Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα) • Σελ.91: Απόδειξη: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2 • Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0) • Σελ.93: Παρατήρηση • Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού) • Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο • Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια • Σελ.98: Απόδειξη: ( |z1 z2| = |z1| |z2| ) • Σελ.99: Οι εξισώσεις: |z – z0| = ρ , ρ > 0 και |z – z1| = |z – z2| • Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης Η θεωρία στο σχολικό Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 3. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Διαβάζω τις 2 εφαρμογές σελ.93-94 και τις 2 εφαρμογές σελ. 99-100 σχολικού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ Δυνάμεις 8Α/95, 3Β/96, 4Β/96, 7Β/96 Εξισώσεις- Τύποι Vieta 14A/96 z: πραγματικός z : φανταστικός 11Α/96, 6Β/96, 8Β/96 Ιδιότητες μέτρων 9Α/101, 1Β/101, 7Β/102, 10Β/102 Γεωμετρικοί τόποι Εύρεση γραμμής που κινούνται οι εικόνες μιγαδικού 12Α/96, 9Β/97, 4Α/101, 5Α/101, 6Α/101, 8Α/101, 2Β/101, 3Β/101, 4Β/102, 5Β/102, 6Β/102, 9Β/102, 1Γ/123, 6Γ/103 Μέγιστο – Ελάχιστο μέτρο 7Α/101, 8Β/102, 3Γ/123 Κατηγορίες ασκήσεων στο σχολικό Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 4. Δυνάμεις του i * ρ 4ρ + υ 4ρν υ 4 υ υ , ν Ν , ν = 4ρ + υ με 0 υ < 4 1 , αν υ = 0 i , αν υ = 1 i = i = i i = i i = i = - 1 , αν υ = 2 - i , αν υ = 3 2015 =i 2 3 1996 ... =i i i i Βρες τις δυνάμεις: i 1 Απαντήσεις Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 5. Υπολόγισε τα παρακάτω: Απαντήσεις 1 + 𝑖 2 1 − 𝑖 2 𝑎 + 𝑎𝑖 2 𝑎 − 𝑎𝑖 2 𝑎 3 + 𝑎𝑖 3 𝑎 + 𝑎 3𝑖 3 1 − 𝑖 20 2 3 + 2𝑖 3 2i 2i 2 2α i 2 2α i 3 8a i 3 8a 10 2 64i Δυνάμεις του α αi, α α 𝟑 i , α 𝟑 α i Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 6. z + 𝒛 , z - 𝒛 z+z=2Re(z) z-z=2Im(z)i Συμπλήρωσε τα παρακάτω: Απάντηση z w + z w z w - z w z z w w z z w w 2Re(z w) 2Im(z w) i 2Re z w 2Im i z w Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 7. • Αν z=z1+z2i με z1 , z2 C, τότε: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑖 • Είναι λάθος να πεις: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 𝑖 , διότι ο z δεν είναι σε κανονική μορφή. • Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. (Δηλαδή δεν έχει νόημα η σχέση z1 < z2 με z1 , z2 C ) Προσέχω ! Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 8. • Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις : 𝒛 𝟏,𝟐 = −𝜷± −𝚫 𝒊 𝟐𝜶 • Πρόσεξε ότι για να χρησιμοποιήσεις τον παραπάνω τύπο πρέπει τα α, β, γ να είναι πραγματικοί αριθμοί! • Οι λύσεις είναι συζυγείς μιγαδικοί, άρα: z1+ z2= 2Re(z1) και z1z2=|z1|2 • Ισχύουν και οι τύποι Vieta: 𝒛 𝟏 + 𝒛 𝟐 = −𝜷 𝜶 και 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = 𝜸 𝜶 • Για εξάσκηση : • 1. άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού. • 2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , z C. Προσέχω ! • Επίλυση της εξίσωσης : αz2 + βz + γ = 0 με α, β, γ R και α ≠ 0 Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 9. • Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλύτερου βαθμού κάνουμε αν γίνεται παραγοντοποίηση. • Αν η εξίσωση περιέχει τους z και 𝑧 ή και δυνάμεις τους ,τότε θέτουμε z = x + y i και βρίσκουμε τα x , y. Μεθοδολογία • Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 10. • Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός : • τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β = 0 ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = 𝒛 . • Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α = 0 ή δείχνουμε ότι: 𝒛 = - 𝒛 . • Για εξάσκηση : • Αν z , w μιγαδικοί με |z|=|w|= 3 , να δείξετε ότι ο z1= 𝑧 −𝑤 3+𝑧 𝑤 είναι φανταστικός. Μεθοδολογία Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 11. • Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα της μορφής: z1 2 + z2 2 = 0 και όταν z1≠ 0 και z2 ≠ 0 . • Όταν δίνεται η σχέση z1 2 + z2 2 = 0, τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: • 𝑧1 2 + 𝑧2 2 = 0 𝑧1 2 - i2 𝑧2 2 = 0 • (z1 + iz2) (z1 – iz2) = 0 • z1 = -iz2 ή z1 = iz2 • Επίσης παρατήρησε ότι: –iz2= 𝑧2 𝑖 Προσοχή! Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 12. • Αντισυζυγής • Αν z = α + βi , α , β R τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός: w = β – αi (ή w = - β + αi ). • Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) δηλαδή w = -i z α + βi = i(β – αi) δηλαδή z = i w -β + αi = i(α + βi) δηλαδή -w = i z • Για παράδειγμα: z 4κ+2 + w 4κ+2 = ( i w )4κ+2 + w 4κ+2 = - w 4κ+2 + w 4κ+2 = 0 • Για εξάσκηση: • Υπολόγισε την παράσταση: (3-i)2010 + (1+3i)2010 Θυμάμαι Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 13. • Μια ασκησούλα για εξάσκηση στις δυνάμεις μιγαδικών: • Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠ 0 με 𝑧1 𝑧2 + 𝑧2 𝑧1 = 1. • Να δείξετε ότι: • α. 𝑧1 3= -𝑧2 3 • β . 𝑧1 𝑧2 2010 + 𝑧2 𝑧1 2010 = 2 Εξάσκηση στις δυνάμεις Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 14. • Μέτρο μιγαδικού • αν z = α + β i , τότε: |z|= 𝜶 𝟐 + 𝜷 𝟐 • Ιδιότητες • |z|= |-z|=|𝒛| • |z|2 = z 𝒛 • |z1 z2|=|z1||z2| • 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 , z2≠0 • Πρόσεξε επίσης: |iz| = |i| |z| = |z| • Και μια ασκησούλα στα μέτρα: • Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με: z1 = 1, z2 = 3, z3 = 5 Να δείξετε ότι:|z1 + z2 + z3|= 1 15 |z2z3+9z1z3+25z1z2| Θυμάμαι Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 15. • Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών • ||z1|-|z2|| |z1 + z2| |z1|+|z2| • Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων. • Παράδειγμα • Αν |z|=2 με z C και w = 3 – 4i , να δείξετε ότι: 3 |z+w| 7 Θυμάμαι Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 16. • Μέτρο διαφοράς μιγαδικών • Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ1 , Μ2 οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε |z1 – z2| = (M1M2) , δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. • Επίσης ισχύει: ||z1|-|z2|| |z1 - z2| |z1|+|z2| • Παράδειγμα • Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύει: |z1|=|z2|=|z3|=1 και z1+z2+z3=1, να δείξετε ότι : • α) 𝟏 𝒛 𝟏 + 𝟏 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒛 𝟑 = 1 • β) |z1 – 2z2|2 9 • γ) Re(𝑧1 𝑧2) -1 Θυμάμαι Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 17. • Η εξίσωση: |z – z0| = ρ , ρ > 0 • παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ. • Η εξίσωση: |z – z1|=|z – z2| • παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα. • Παράδειγμα • Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών z και w, για τους οποίους ισχύει: |2z+3-2i|=2 και |w-2+i|=|w+2i| και να εξετάσετε αν υπάρχουν z και w ώστε z = w. Βασικές εξισώσεις Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 18. • Η εξίσωση: |z – z1| + |z – z2| = 2α , α > 0 • Παριστάνει έλλειψη με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|<2α • Η εξίσωση: ||z – z1| - |z – z2|| = 2α , α > 0 • Παριστάνει υπερβολή με εστίες Μ1 , Μ2 όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα και εστιακή απόσταση: 2γ=(Μ1Μ2)=|z1 – z2|>2α Βασικές εξισώσεις Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 19. Βασικές σχέσεις ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΙΣΤΑΝΕΙ |z – z0| = ρ , ρ > 0 Κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ |z – z0| ρ , ρ > 0 Κυκλικό δίσκο με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ |z – z0|< ρ , ρ > 0 Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ |z – z0|> ρ , ρ > 0 Τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ |z – z0| ρ , ρ > 0 Τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ και τα σημεία που βρίσκονται εξωτερικά αυτού του κύκλου Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 20. • Αν για τον μιγαδικό z ισχύει:|z – z0| = ρ , ρ > 0 ή έχεις δείξει ότι η εικόνα του z κινείται σε κύκλο και σου ζητούν να βρεις τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z| , τότε: • max|z| = (KO) + ρ • min|z| = (KO) – ρ • όπου Κ η εικόνα του z0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ . • Για να βρεις τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, λύνεις το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας ΟΚ και του κύκλου Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού Ο Α Β Κ Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 21. • Αν η εικόνα του μιγαδικού z ξέρεις ότι κινείται σε ευθεία (ε), τότε ο z έχει μόνο ελάχιστο μέτρο. • Για να βρεις το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνεις κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε) και βρίσκεις το σημείο τομής των δύο ευθειών. • min|z|= d(O,ε) • Για εφαρμογή: • εφαρμογή 2 σελ.99 , Α7 σελ.101 , Β8 σελ.102 , Γ3 σελ. 123 σχολικού Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού Ο ε ζ Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 22. • Αν ο μιγαδικός z με εικόνα Μ κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w με εικόνα Ν είναι σταθερός ,τότε: • max |z – w|=(NB)=(NΚ)+ρ και • min |z – w|=(NA)=|(NK)-ρ| • Αν η εικόνα του w ανήκει και αυτή στον κύκλο (Κ , ρ) τότε: • max |z – w|=(NB)=2ρ και • min |z – w|=0 Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O K y x N B A Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 23. • Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε) και Ν είναι η εικόνα του w,τότε: • max |z – w| δεν υπάρχει και • min |z – w|= d(N,ε) Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O y x N ε Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 24. Θυμάμαι Απόσταση σημείου από ευθεία Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε : d(M1 , ε) = 𝚨𝒙 𝟏+𝚩𝒚 𝟏+𝚪 𝚨 𝟐+𝚩 𝟐 Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 25. Θυμάμαι Κύκλος Κέντρο κύκλου Εξίσωση κύκλου O(0 , 0) C: x2 + y2 = ρ2 Κ(x0 , y0) C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2 𝚱 − 𝚨 𝟐 , − 𝚩 𝟐 C: x2 + y2 + Ax + By + Γ= 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0 Ακτίνα : 𝝆 = 𝚨 𝟐+𝚩 𝟐−𝟒𝚪 𝟐 Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 26. • Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), με z ≠ w, τότε: • max |z – w|= ΜΝ = 2ρ. • min |z – w|δεν υπάρχει Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O K y x Μ Ν Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 27. • Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και του w σε ευθεία (ε) ,τότε • max |z – w|δεν υπάρχει • min |z – w|= |d(K , ε) – ρ| Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O K y x ε Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 28. • Αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε κύκλο (Κ , ρ) και του w σε κύκλο (Λ,R) και οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο (σχήμα 1), τότε • max |z – w|= (ΚΛ) + ρ + R • min |z – w|= |(ΚΛ)– ρ - R| • Αν οι κύκλοι έχουν κοινό σημείο (σχήμα 2) τότε min|z – w|= 0. Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O K y x Α Β Γ Δ Λ σχήμα 1 σχήμα 2 y O K Λ x x K Λ O y Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 29. • Αν οι εικόνες των μιγαδικών z , w με z ≠ w κινούνται σε έλλειψη, τότε • max |z – w|= 2α , δηλαδή ο μεγάλος άξονας. • Για εξάσκηση δες: Εφαρμογή 2 σελ.99 σχολικού, ασκήσεις Α7 σελ.101, Β8 σελ.102 και Γ3 σελ.123 σχολικού Μεθοδολογία • Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς δύο μιγαδικών O y xΑ΄ Α Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 30. • δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής παράσταση αυτής είναι ίση με μηδέν. • Παράδειγμα • Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 = z1z2 Μεθοδολογία • Αν 𝒇(𝒛 , 𝒘) = 0 τότε και 𝒇(𝒛 , 𝒘) = 0 Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 31. • δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα. • Παράδειγμα • Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: 𝑧1 + 2𝑧2 − 3𝑧3 = 1 2 𝑧2 𝑧3 + 2𝑧1 𝑧3 − 3𝑧1 𝑧2 Μεθοδολογία • |𝒇 𝒛 , 𝒘 | = |𝒇(𝒛 , 𝒘)| Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 32. • Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα |z|2 = 𝒛𝒛 • Για παράδειγμα: • 1. Αν z , w C και zν = w |zν| = |w| |z|= | 𝒘|𝝂 • 2. Αν z , w C και zν = wν |z|ν = |w|ν • |z| = |w| |z|2 = |w|2 𝒛𝒛 = 𝒘 𝒘 • 3. Γενικά [f(z)]ν = [g(z)]ν | f(z)|ν = |g(z)|ν |f(z)|=|g(z)| • |f(z)|2 = |g(z)|2 𝒇(𝒛)𝒇(𝒛) 𝒈( 𝒛)𝒈(𝒛) Μεθοδολογία • Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο) Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 33. • 1. άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού βιβλίου • 2. Αν (1 + iz)ν = (1 – iz)ν να δείξετε ότι z R. • Σε τρίγωνο, αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z , w , u, τότε: • α. ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ = ΒΓ = ΓΑ |z-w|=|u-w|=|z-u| • β. ΑΒΓ ισοσκελές με βάση ΒΓ ΑΒ=ΑΓ |z-w|=|z-u| • γ. ΑΒΓ ορθογώνιο με 𝚨=900 ΑΒ2 + ΑΓ2 = ΒΓ2 |z-w|2 + |z-u|2 = |w-u|2 • Παράδειγμα: • Αν για τους μιγαδικούς z1 , z2 , z3 ισχύουν οι σχέσεις: z1 + z2 + z3 = 0 και |z1|=|z2|=|z3|=1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 . Μιγαδικοί και τρίγωνοΠαραδείγματα Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 34. Γεωμετρικοί τόποι Σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w 1. Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: |z-z0|=ρ, ρ>0 ή |z-z1|=|z-z2| και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του z. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 𝟑+i)iz, τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. 2. Αν δεν μπορεί να συμβεί το 1. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λi το μιγαδικό για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+𝒛 , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος
- 35. • ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΚΑΙ ΟΛΟΥΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! • ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΞΑΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΝΑ «ΦΡΕΣΚΑΡΕΤΕ» ΤΡΟΠΟΥΣ ΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. • ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΚΑΛΑ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. • ΚΑΘΑΡΟ ΜΥΑΛΟ ΠΑΝΩ ΑΠ΄ ΟΛΑ! Η επιπολαιότητα και η βιασύνη δεν σας ταιριάζει! • ΝΑ ΦΥΓΕΤΕ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ! • Να έχετε εμπιστοσύνη στον εαυτό σας και στη διαίσθησή σας! • ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΝΑ ΒΓΕΙΤΕ «ΝΙΚΗΤΕΣ» ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΗΝ ΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ! Επιμέλεια: Μιχάλης Μάγκος