επαναληπσικες ασκησεις στους μιγαδικοσς αριθμοσς
Download as doc, pdf0 likes352 views
επαναληπσικες ασκησεις στους μιγαδικοσς αριθμοσς
- 1. Μαθηματικά κατεύθυνσης γ΄ λυκείου μιγαδικοί αριθμοί ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ z z 1) Δίνονται οι μιγαδικοί z1, z 2 ≠ 0 , για τους οποίους ισχύει: 1 + 2 = 1 . Να αποδείξατε ότι: z 2 z1 a. z 1 = −z 3 3 2 2007 2007 z z b. 1 + 2 z z = −2 2 1 2) ευθεία y=2x. 3) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, αν a. z = 2λ + 1 + (3 − 2λ ) i , λ ∈ ℝ 2−λi b. z = ,λ∈ℝ 1+ 2 i 4) Έστω z = 2 + 3i + λ (1 − 2i) , λ ∈ ℝ a. Να δείξετε ότι καθώς τι λ διατρέχει το ℝ, η εικόνα του z, κινείται στην ευθεία 2x+y=7. b. Να βρείτε την γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του w = ( 1 + 2 i ) z 5) Έστω z ∈ C και w = z − 8i , z ≠-6. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z, z+6 αν w ∈ I 20 21 6) Να γράψετε τον μιγαδικό z = 1 + 3i + 2 − 5i , στην μορφή α+βi, με α, β∈ ℝ 3−i 5 + 2i 7) Έστω z = − 1 + 3 i και w=1+z. 2 2 a. Να δείξετε ότι: • 1+z+z2=0 και z3=1 • w2ν+1 =-zν+2 για κάθε ν∈ N *. b. Να εκφράσετε το w2ν συναρτήσει των ν και z c. Να υπολογίσετε τους αριθμούς w24 και w31. 8) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = 3z + 1 + 3 z + 1 , z ≠ 2 , z∈ C είναι πραγματικός. z−2 z−2 9) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = 3 z z + z 4 + z 4 − 2007 είναι πραγματικός. z − 2i 10)Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει w = , z ≠ −2i . Να αποδειχθεί ότι: z + 2i a. Ο w είναι πραγματικός αριθμός, αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός. 4 b. Ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν, z = z 1
- 2. Μαθηματικά κατεύθυνσης γ΄ λυκείου μιγαδικοί αριθμοί 11)Αν z1 = 1, z 2 = 3 και z 3 = 5 , να δείξετε ότι 1 9 25 1 z1 + z 2 + z 3 = + + == z 2 z 3 + 9z 1z 3 + 25z 1z 2 z1 z 2 z 3 15 12)Έστω z, w ∈ C με z − 2 1 1 − 2z . Να δειχθεί ότι 2 1 = και w = w− = . 5 5 5z − 2 5 5 13)Αν για το μιγαδικό z ισχύει: 5 ( z − i) = ( 4 + 3i)( z + i) 10 10 , να δείξετε ότι: a. z − i = z + i b. z ∈ R. 14)Να λυθούν στο C οι εξισώσεις: a. z − i = 3z b. z + i = 1 + z 15)Να λυθούν στο C οι εξισώσεις: a. z ⋅ z + 2 i z = 12 + 6i b. (1 − i) z + 2 i z = 5 + 3i 16)Να λυθεί η εξίσωση: z 3 ⋅ z 7 = 1 , z ∈ C 17)Αν z + 1 − i ≤ 3 , να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: z − 3 + 2i 18)Αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύουν οι σχέσεις: z − 3i ≤ 1 και w − 4 ≤ 2 , να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z − w 19)Αν για το μιγαδικό z ισχύει ότι z + 1 − i = z + 3 , να βρεθούν: a. Ο γ.τ. των εικόνων Μ του z b. Η ελάχιστη τιμή του μέτρου του z, καθώς επίσης ο μιγαδικός z που έχει το μικρότερο μέτρο. 20)Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z − 3 = z − 4i a. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z b. Να βρείτε τον z για τον οποίο η παράσταση z − 2i γίνεται ελάχιστη, καθώς και την ελάχιστη αυτή τιμή. 2