�ݺ�ߣ

Diferensial & Optimalisasi
Diferensial Fungsi Majemuk
Optimalisasi
Penerapan dalam ekonomi

Parsial Diferensial
• Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel
bebas hanya akan memiliki satu macam turunan
Jika y = f(x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy/dx
• Sedangkan jika fungsi yg bersangkutan memiliki
lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya
akan lebih dari satu macam, tergantung jumlah
variabel bebasnya

Parsial Diferensial
• Jika y = f(x, z)
y dy
dy dx dz
x z
y y y y
dx dz
x dan z disebut derivatif parsial, x dan z
disebut diferensial parsial, sedangkan dy disebut
diferensial total
• Jika p = f(q, r, s)
p p p
dp dq dr ds
q r s

Parsial Derivatif
• y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n)
adalah variabel yg independen satu sama
lainnya, tiap variabel dapat berubah tanpa
mempengaruhi variabel lainnya (variabel lainnya
konstan)
• Jika variabel x1 mengalami perubahan sebesar ∆x1
sedangkan variabel lainnya (x2, x3, …, xn)
tetap, maka y akan berubah sebesar ∆y. Maka
kuosien diferensi dapat ditulis:
y f ( x1 x1, x2 , x3 ,...,xn ) f ( x1, x2 , x3 ,...,xn )
x1 x1

Parsial Derivatif
• Derivative y terhadap x1 sebagaimana contoh
diatas disebut sebagai derivatif parsial dan
dilambangkan dengan: y
x1
• Fungsi turunannya (derivative) adalah:
y y
lim
x1 x1 0 x
1

Contoh (2): Derivative Parsial
• Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari
fungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22
dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap
x1 adalah:
y
6 x1 x2
x1
turunan terhadap x2:
y
8 x2 x1
x1

• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari
fungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap
u adalah:
y
3 u 4 1 3u 2v 6u 2v 12
u
turunan terhadap v:
y
2 u 4 0 3u 2v 2 u 4
v

• Carilah turunan parsial terhadap u dan v dari
fungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)
dengan menganggap v konstan, turunan terhadap
u adalah:
y 3 u2 3v 3u 2v 2u 3u 2 4uv 9v
2 2
u u 2
3v u 2
3v
turunan terhadap v:
y 2 u2 3v 3u 2v 3 u 2u 9
2 2
v u 2
3v u 2
3v

Derivatif dari Parsial Derivatif
• Sama seperti diferensial fungsi sederhana, derivatif
fungsi majemuk juga dapat diturunkan kembali
• Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, maka
turunan pertama y terhadap x dan z:
1
y 2 2 2
y
3 x 8 xz 6 z 10 z 4 x 2 12 xz 8
x z
turunan ke-2:
2 2
y y
1a 2
6 x 8z 2a 10 12x
2
x z
2 2
y y
1b 8 x 12z 2b 8 x 12z
x z z x

Derivatif dari Parsial Derivatif
turunan ke-3:
3 3
y y
1aa 3
6 2aa 3
0
x z
3 3
y y
1ab 8 2ab 12
x2 z z2 x
3 3
y y
1ba 8 2ba 12
x2 z z2 x
3 3
y y
1bb 12 2bb 8
x z2 z x2

Nilai Ekstrim
• Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik
ekstrimnya jika (necessary condition):
y y
0 dan 0
x z
• Untuk mengetahui apakah titik ekstrim yg tercapai
adalah maksimum atau minimum, maka (sufficient
condition): 2 2
y y Maksimum
0 dan 0
x2 z2
2 2
y y
2
0 dan 2
0 Minimum
x z

Contoh (5): Titik Ekstrim
• Carilah titik ekstrim dari fungsi:
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut
merupakan titik maksimum atau minimum!
1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0
y
2 x 12 0 x 6
x
y
2 z 10 0 z 5
z
y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16
letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

Contoh (5): Titik Ekstrim
y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45
2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :
2 2
y y
2
2 0 2
2 0
x z
Maka titik ekstrim adalah titik maksimum
dengan ymax = 16

Latihan
p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50

Optimalisasi Bersyarat
• Optimalisasi suatu fungsi objektif (fungsi yg akan
dioptimalkan—baik maksimum atau minimum) atas
suatu fungsi kendala dapat diselesaikan dgn (1) metode
substitusi dan (2) metode Lagrange
• Nilai optimum diperoleh ketika turunan pertama dari
fungsi tersebut sama dengan nol (necessary condition)
• Sedangkan untuk mengetahui apakah nilai tersebut
adalah maksimum atau minimum, dapat diselidiki dari
turunan keduanya (sufficient condition):
Jika turunan kedua < 0, maka maksimum
Jika turunan kedua > 0, maka minimum

Metode Substitusi
• Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala
1) manipulasi fungsi kendala menjadi persamaan
salah satu variabel
2) Substitusi persamaan tersebut kedalam fungsi
objektifitasnya
3) Cari turunan pertama dari fungsi tersebut
(untuk mencari nilai ekstrim)
4) Selidiki maksimum/minimum dengan mencari
turunan kedua sesuai dengan persyaratan

Contoh (6) Metode Substitusi
• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
• s.t. X + Y = 12 .......... (2)
• Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)
• Substitusi (3) ke (1):
= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y
– 3Y2 + 100Y
= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y
+ Y2 – 3Y2 + 100Y
= –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

Contoh (6) Metode Substitusi
• Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0
–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7
• Substitusi nilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5
• Profit (π):
π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)
= $868
• Jenis titik ekstrim:
d2π/dY2 = -8 < 0 → titik ekstrim maksimum

Metode Lagrange
• Jika fungsi objektif:
z = f(x, y)
s.t. u = g(x, y) → fungsi kendala
maka:
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u)
 Nilai optimum terjadi pada saat Lx dan Ly = 0
(necessary condition)
 Nilai optimum adalah maksimum jika Lxx dan Lyy < 0
dan minimum jika Lxx dan Lyy > 0 (sufficient
condition)

Contoh (7) Metode Lagrange
• π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
• s.t. X + Y = 12 .......... (2)
• Fungsi Lagrangian:
L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y
+ λ(X + Y – 12)
• Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi
ditemukan pada saat f’(z) = 0:
L
80 4 X Y 0 ………. (3)
X

L
X 6Y 100 0 ………. (4)
Y
L
X Y 12 0 ………. (5)

• Persamaan (3) dikurangi (4):
80 – 4X – Y + λ = 0
100 – X – 6Y + λ = 0
–20 – 3X + 5Y = 0 ………. (6)

• Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):
3X + 3Y – 36 = 0
–3X + 5Y – 20 = 0
8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7
X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5
• π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868
• Jenis titik ekstrim:
d2π/dX2 = -4 < 0
titik esktrim maksimum
d2π/dY2 = -8 < 0
• Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:
λ = –5 – 42 + 100 = –53

Latihan
z = 2x + 2y dengan kendala (syarat) x2 + y2 = 8
Jelaskan jenis titik ekstrim dan tentukan nilai
ekstrim fungsi tersebut!

Permintaan Marjinal
• Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan
dalam penggunaannya, maka permintaan atas
masing-masing barang akan fungsional terhadap
harga kedua barang tersebut
• Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:
Permintaan marjinal Permintaan marjinal
Qda Qdb
akan A berkenaan akan B berkenaan
Pa dengan Pa Pa dengan Pa

Permintaan marjinal Permintaan marjinal
Qda Qdb
akan A berkenaan akan B berkenaan
Pb dengan Pb Pb dengan Pb

Elastisitas Permintaan Parsial
• Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas permintaan atas perubahan harga
barang itu sendiri:
1) Barang a
% Qda Qda Pa
da
% Pa Pa Qda
2) Barang b
% Qdb Qdb Pb
db
% Pb Pb Qdb

• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka
elastisitas silang yang mengukur kepekaan
perubahan permintaan suatu barang berkenaan
dengan perubahan harga barang lainnya:
1) Elastisitas silang barang a dengan barang b
% Qda Qda Pb
ab
% Pb Pb Qda
2) Elastisitas silang barang b dengan barang a
% Qdb Qdb Pa
ba
% Pa Pa Qdb

• Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)
 Jika ab dan ba < 0 untuk Pa dan Pb tertentu,
maka hubungan antara barang a dan barang b
adalah saling melengkapi (komplementer);
karena kenaikan harga salah satu barang akan
diikuti penurunan permintaan atas keduanya
 Jika ab dan ba > 0 untuk Pa dan Pb tertentu,
maka hubungan antara barang a dan barang b
adalah saling menggantikan (substitusi);
karena kenaikan harga salah satu barang akan
diikuti kenaikan permintaan barang lainnya

Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
• Fungsi permintaan atas 2 barang ditunjukkan sbb:
Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0
Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0
• Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing
barang dan bagaimanakah hubungan antara kedua
barang tersebut?
1) Elastisitas permintaan:
manipulasi bentuk persamaan permintaan:
1 1
Qda 2 3
Pa 2
b
3
P Qdb 3
Pa 3 P 1
b
Pa P b Pa Pb

1) Elastisitas permintaan:
cari Qda’ dan Qdb’:
Qda Qdb
3
2 Pa Pb 3
Pa 3 Pb 2
Pa Pb
bentuk persamaan elastisitas permintaannya:
Qda Pa 3 3 Pa
da 2Pa P b 2 3
2
Pa Qda Pa P b
Qdb Pb 3 2 P b
db Pa Pb 3 1
1
Pb Qdb Pa P b
Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

2) Elastisitas silang:
cari turunan pertama atas a dan b:
Qda 2 4 Qdb
3Pa Pb 3Pa 4 Pb 1
Pb Pa
bentuk persamaan elastisitas silangnya:
Qda Pb 2 4 Pb
ab 3Pa P b 3
Pb Qda Pa 2 Pb 3
Qdb Pa 4 1 Pa
ba 3Pa P b 3
Pa Qdb Pa 3 P 1
b

Hubungan kedua barang adalah komplementer

Fungsi Biaya Gabungan
• Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2
barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas
kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB
sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)
maka:
Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)
Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)
Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)
• Fungsi keuntungannya:
П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

Fungsi Biaya Gabungan
• Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

0 0
QA QB

• Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:
2 2

2
0 2
0
QA QB

Contoh (9) Fungsi Biaya Gabungan
• Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg
memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:
C = QX2 + 3QY2 +QXQY
Harga jual per unit masing-masing barang adalah
PX = 7 dan PY = 20
• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
• Berapakah besarnya keuntungan maksimum?

• Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar
keuntungan maksimum?
RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY
R = 7QX + 20QY
П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY

7 2QX QY 0 20 6QY QX 0
QX QY
7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0
33 – 11QY = 0 → QY = 3
QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:
2 2

2
2 0 2
6 0
QX QY
• Besarnya keuntungan maksimum:
П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)
П = 37
• Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan
marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:
MRX = MCX dan MRY = MCY

MU dan Keseimbangan Konsumsi
• Jika kepuasan konsumen U dan barang-barang yg
dikonsumsinya qi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:
U = f(q1, q2, q3, …, qn )
• Seandainya untuk penyerderhanaan, diasumsikan
bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi 2
macam barang, X dan Y, maka fungsi utilitasnya:
U = f(x, y)
Fungsi utilitas U = f(x, y) merupakan persamaan
kurva indiferensi (indifference curve)—kurva yg
menunjukkan berbagai kombinasi konsumsi X dan
Y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama

• Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y
merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:
Utilitas marjinal Utilitas marjinal
U U
berkenaan dengan berkenaan dengan
x barang X y barang Y
• Budget Line (garis anggaran):
garis yang mencerminkan kemampuan konsumen
membeli berbagai macam barang berkenaan dgn
harga masing-masing barang dan pendapatan
konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen
dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:
M = xPx + yPy

• Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau
tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang
memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai
pada saat kurva indiferensi bersinggungan
(tangent) dengan budget line konsumen
• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)
L L
f x x, y Px 0 f y x, y Py 0
x y

• Manipulasi Lx dan Ly:
L f x x, y
f x x, y Px 0
x Px f x x, y f y x, y
L f y x, y Px Py
f y x, y Py 0
y Py
• Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:
MU X MUY
Px Py
Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi
utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya
adalah sama

Contoh (10) Utilitas Optimum
• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi
barang X dan Y ditunjukkan oleh persamaan:
U = x2y3
Jumlah pendapatan konsumen Rp 1000 dan harga
barang X dan Y adalah Rp 25 dan Rp 50
• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang
• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y
konsumen memaksimumkan utilitasnya?
Jika tidak, carilah kombinasi barang X dan Y akan
memberikan tingkat kepuasan optimum

• Carilah fungsi utilitas marjinal untuk setiap barang

U U
2xy 3
3x 2 y 2
x y
• Berapakah utilitas marjinal jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
U 3 U 2 2
2(14) 13 61516 3 14 13 99372
x y

• Apakah dengan mengkonsumsi 14 unit X dan 13
unit Y konsumen memaksimumkan utilitasnya?
MU x MU y 61516 99372
Px Py 25 50
• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
MU x MU y 2 xy 3 3x 2 y 2
Px Py 25 50
2 2xy3 3x2 y 2 4xy3 3x2 y 2
y3 3x 2 3
y x
y2 4x 4

• Kombinasi X dan Y yg memaksimumkan utilitas:
L
25 x 50 y 1000 0

• Substitusi nilai y = ¾ x kedalam persamaan λ:
3
25x 50 x 1000 0 x 16
4 3
x = 16, maka y 4 16 y 12
Utilitas maksimum:
2 3 2 3
u x y 16 12 442368

MP dan Keseimbangan Produksi
• Jika jumlah keluaran P dan input yang digunakan
xj = (j = 1, 2, 3, …, n) maka fungsi produksinya:
P = f(x1, x2, x3, …, xn )
• Seandainya diasumsikan bahwa seorang produsen
hanya menggunakan 2 macam input, K dan
L, maka fungsi produksinya:
P = f(k, l)
Fungsi produksi P = f(k, l) merupakan persamaan
kurva isoquant—kurva yg menunjukkan
berbagai kombinasi penggunaan input K dan L
yang memberikan tingkat produksi yang sama

• Derivatif pertama dari P terhadap K dan L merupakan
fungsi produk marjinal parsialnya:
Produksi marjinal Produksi marjinal
P P
berkenaan dengan berkenaan dengan
k input K l input Y
• Isocost:
garis yang mencerminkan kemampuan produsen
membeli berbagai macam input berkenaan dgn harga
masing-masing input dan jumlah dana yg dimiliki. Jika
M adalah jumlah dana yg dianggarkan, PK dan PL harga
input K dan L maka:
M = K x PK + L x PL

• Keseimbangan produksi—suatu keadaan atau
tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor
produksi secara optimum, yakni tingkat produksi
maksimum dengan kombinasi biaya terendah
(least cost combination)—tercapai pada saat kurva
isoquant bersinggungan (tangent) dgn isocost
• Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk
persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:
Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)
Z Z
fK K, L PK 0 fL K, L PL 0
K L

• Manipulasi Lx dan Ly:
Z fK K, L
fK K, L PK 0
K PK fK K, L fL K, L
Z fL K, L PK PL
fL K, L PL 0
L PL
• Utilitas marjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:
MPK MU L
PK PL
Produksi optimum dgn kombinasi biaya terendah akan
tercapai jika hasibagi produk marginal masing-masing
input terhadap harganya adalah sama

Fungsi Produksi Cobb-Douglas
• Dinyatakan dengan:
P AK L
dimana:
A : Total factor productivity
K : Capital
L : Labor
α dan β : elastisitas output
• Jika:
α + β = 1 → constant return to scale
α + β > 1 → increasing return to scale
α + β < 1 → decreasing return to scale

• Seorang produsen mencadangkan Rp 96 untuk
membeli input K dan L. Harga per unit input K
adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jika
fungsi produksi adalah P = 12KL, berapa unit tiap
input harus digunakan agar produksi optimum dan
berapakah produksi optimum tersebut?

�ݺ�ߣ

Matek topik 12_13_14_joel

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Matek topik 12_13_14_joel (20)

Matek topik 12_13_14_joel