�ݺ�ߣ

Kalkulus 1
Sandy Eka Permana, ST - 1 - STMIK IKMI Cirebon
BAB I
BILANGAN RIIL
1. Himpunan Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil sering dinyatakan R . Bilangan riil adalah sekumpulan
bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk
b
a
, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b  0. Dengan demikian
bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat, bilangan yang dapat dinyatakan dengan
pecahan atau bentuk desimal, dan campurannya.
Yang termasuk dalam bilangan riil adalah :
a. N = Himpunan bilangan asli : 1, 2, 3, ……
b. Z = Himpunan bilangan bulat : ……, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ……
c. Q = Himpunan bilangan rasional :
b
a
, dengan a dan b adalah bilangan bulat, dan
b  0
d. Ir = Himpunan bilangan irrasional : 2 1,4142 dan   3,14159
2. Sifat – Sifat Medan Bilangan Riil
Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :
a. Sifat komutatif (pertukaran). x  y  y  x dan xy  yx .
b. Sifat asosiatif (pengelompokan). x  y  z  x  y z dan xyz  xyz .
c. Sifat distributif (penyebaran). xy  z  xy  xz , yaitu sifat penyebaran dari perkalian
terhadap penjumlahan.
d. Adanya unsur identitas (satuan). Terdapat bilangan riil berlainan 0 dan 1, sehingga
x  0  x dan 1 x  x .
e. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x , ada
suatu bilangan riil yang dinamakan negatif dari x , dinyatakan dengan  x sehingga
x   x  0.

Kalkulus 1
f. Adanya kebalikan atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x , kecuali
0 ada suatu bilangan riil yang dinamakan kebalikan dari x , dinyatakan dengan 1 x
atau
x
1
sehingga 1
1
 
x
x .
3. Sifat – Sifat Urutan Bilangan Riil
Jika x , y dan z adalah bilangan riil, maka :
a. Sifat trikotomi. Jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti berlaku salah satu
x  y , atau x  y , atau x  y .
b. Transitif. Jika x  y dan y  z , maka x  z .
c. Penambahan. Jika x  y , maka x  z  y  z .
d. Perkalian. Jika z positif dan berlaku x  y , maka xz  yz . Dan jika z negatif dan
berlaku x  y , maka xz  yz .
4. Garis Bilangan
Bilangan riil dapat dinyatakan dalam suatu garis bilangan. Bilangan riil yang
bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat pada garis tersebut.
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai :
Selang berhingga :
a. a,b  xR | a  x  b, (selang terbuka)
b. a,b xR | a  x  b, (selang tertutup)
c. a,b  xR | a  x  b, (selang terbuka kanan)
d. a,b xR | a  x  b, (selang terbuka kiri)
Selang tak hingga :
e. ,b  xR | x  b
f. ,b xR | x  b
g. a,  xR | x  a
h. a,  xR | x  a
i. ,  R

Kalkulus 1
Latihan :
Jelaskan dan gambarkan selang – selang berikut :
1. 3  x  5
2. 2  x  6
3.  4  x  0
4. 5  x  0
5.  2  x  3
6. x  5
7. x  2
8. x  0
9. x 1
10. x  3
5. Nilai Mutlak
Lambang x menyatakan nilai mutlak bilangan x , yang didefinisikan sebagai :
a. x  x , jika x  0
b. x  0 , jika x  0
c. x  x , jika x  0
d. Atau bisa juga ditulis
  




, 0
, 0
jika
jika
x
x
x
x
x atau
 
; 0
,
,

  
 
 
 

  a
x b a
x b a
ax b
ax b
ax b
Secara geometris nilai mutlak dari x adalah jarak antara x terhadap titik 0 pada garis
bilangan, sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Sebagai contoh
3   3  3, 3 5  5  3  2 dan x  a  x  a jika x  a dan x  a  a  x jika x  a .
Sifat – sifat nilai mutlak :
a. 2 x  x ; 2 2 x  y  x  y
b. x  aa  x  a
c. x  a x  a atau x  a
d. x  y  y  x ; xy  x  y ;
y
x
y
x
 , y  0
e. x  y  x  y ; x  y  x  y
f. x  y  x  y ; x  y  x  y

Kalkulus 1
6. Akar Kuadrat
Misalkan x  0, maka akar kuadrat dari x , ditulis x , adalah bilangan riil non
negatif a , sehingga a  x 2 . Secara umum bila bR , maka b  b 2 . Sebagai contoh
9  3 dan  4 4 2  
7. Sistem Koordinat Cartesius
Sistem koordinat kartesius dipelopori oleh Pierre de Fermat (1629) dan Renè
Descartes (1637). Sumbu horizontal dinamakan sumbu x (absis) dan sumbu vertikal
dinamakan sumbu y (ordinat). Setiap pasangan terurut bilangan a,b dapat digambarkan
sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya, setiap titik pada bidang koordinat
kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan a,b.
Misalkan   p p P x , y dan   q q Q x , y adalah dua titik pada bidang cartesius, maka jarak
antar dua buah titik tersebut adalah    2 2 ( , ) q p q p d P Q  x  x  y  y .
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
y
II I
III IV
Q (xq, yq)
P (xp, yp)
d (P, Q)
yq - yp
xq - xp
Contoh 1 :
Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q. Jika P(3, –2) dan Q(–4, 6).
Jawab :
Perhatikan gambar berikut :

Kalkulus 1
x
y
-4 -2 0 2 4
2
4
-2
-4
-6 6
6
P (3, -2)
Q (-4, 6)
( , )      4 3 6  2 103 2 2 2 2            q p q p d P Q x x y y
Latihan :
Gambarkan grafiknya dan hitunglah jarak antara titik P – Q, P – R, P – S, Q – R, Q – S, dan R
– S. Jika :
1. P(4, –1); Q(–3, 7); R(2, 5); S(–5, –3)
2. P(1, –3); Q(–2, 1); R(5, 4); S(–6, –5)
3. P(1, 3); Q(–3, 5); R(–3, –3); S(5, –2)
4. P(–2, –4); Q(4, –8); R(1, 0); S(0, –1)
8. Garis Lurus
Bentuk umum garis lurus adalah Ax  By C  0 , dengan A , B dan C adalah
konstanta bilangan riil. Grafik dari fungsi tersebut berupa garis lurus yang melalui dua buah
pasangan titik x, y yang memenuhi persamaan tersebut.
Sifat – sifat garis lurus :
a. Jika A  0, maka persamaannya berbentuk
B
C
y

 dan grafiknya sejajar sumbu x .
b. Jika B  0, maka persamaannya berbentuk
A
C
x

 dan grafiknya sejajar sumbu y .
c. Jika A  0 dan B  0 , grafiknya berupa garis miring dengan kemiringan
B
 A
dan
C adalah perpotongan garis dengan sumbu y . Untuk persamaan garis y  mx  b ,
kemiringannya adalah m dan perpotongan garis dengan sumbu y adalah b .

Kalkulus 1
x
y
(x1, y1)
(x2, y2)
Ax + By + C = 0
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik  1 1  x , y dan   2 2 x , y adalah
2 1
1
2 1
1
x x
x x
y y
y y





dengan kemiringan
2 1
2 1
x x
y y
m


 . Sedangkan persamaan garis lurus dengan
kemiringan m dan melalui titik   1 1 x , y adalah   1 1 y  y  m x  x .
Jika ada dua buah garis lurus 1  dan 2  dengan kemiringan 1 m dan 2 m , maka :
a. Kedua garis tersebut sejajar jika 1 2 m  m .
b. Kedua garis tersebut saling tegak lurus jika 1 1 2 m m   .
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis lurus dengan kemiringan 3 dan melewati titik (2, 1).
Jawab :
  1 3 2 3 5 1 1 y  y  m x  x  y   x   y  x 
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis lurus yang melewati titik (–5, –13) dan (5, 17).
Jawab :
 
 
 
 
3 2
5 5
5
17 13
13
2 1
1
2 1
1   
 
 

 
 






y x
y x
x x
x x
y y
y y
Contoh 3 :
Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus garis 2 3
y   1 x  dan melewati titik (–3, –
7).
Jawab :
3
1
1 m   , karena kedua garis tegak lurus, maka 1 1 3 3 2 2
1
1 2 m m    m   m 
   7 3  3 3 2 2 2 2 y  y  m x  x  y    x    y  x 
Contoh 4 :
Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar garis 5x  8  y  0 dan melewati titik (0, 5).

Kalkulus 1
Jawab :
5 8 5 1 y  x  m  , karena kedua garis sejajar, maka 5 1 2 2 m  m m 
  5 5 0 5 5 2 2 2 y  y  m x  x  y   x   y  x 
Latihan :
Tentukan persamaan garis lurus berikut :
1. Melewati titik (–4, 0) dan (0, –2)
2. Melewati titik (0, –2) dan (2, –3)
3. Melewati titik (4, 3) dan (6, 2)
4. Sejajar garis 3x  7  y  0 dan melewati titik (–1, –1)
5. Sejajar garis 4x 8y  5 dan melewati titik (2, –3)
6. Sejajar garis x  4y  6x  6y dan melewati titik (2, 4)
7. Sejajar garis 12x 8  y  2  y dan melewati titik (–1, 6)
8. Tegak lurus garis 2x  y  5 dan melewati titik (4, –4)
9. Tegak lurus garis 4x  2y  7 dan melewati titik (6, 2)
10. Tegak lurus garis x  6y  2 dan melewati titik (2, –12)
9. Polinomial / Suku Banyak
Bentuk umum adalah   1 0
2
2
1
1 y p x a x a x a x a x a n
n
n
n        
  , dengan
nN , 1 1 0 a ,a , ,a ,a n n   adalah konstanta bilangan riil (disebut koefisien dari polinom) dan
x adalah bilangan riil yang belum ditentukan (variabel). Derajat polinom adalah nilai n
terbesar yang koefisiennya tidak nol. Bilangan riil t disebut akar dari polinom px bila
pt   0.
Polinom linear/derajat satu : y  px  ax  b, a  0 . Akarnya adalah
a
b
x

 .
Sedangkan polinom kuadrat/derajat dua : y  px  ax  bx  c 2 , a  0 . Akar – akarnya
adalah
a
b D
x
2 1
 
 dan
a
b D
x
2 2
 
 dengan D b 4ac 2   .
Disini ada tiga kemungkinan akar, yaitu :
a. D  0 , maka ada dua akar riil yang berbeda   1 2 x  x .
b. D  0 , maka ada dua akar riil kembar   1 2 x  x .

Kalkulus 1
c. D  0, maka tidak ada akar riil.
Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila a  0 grafik cekung ke atas
(membuka ke atas) sebaliknya bila a  0 grafik cekung ke bawah. Bila D  0 dan a  0 ,
maka polinom disebut definit positif (grafik di atas sumbu x ) dan bila D  0 dan a  0,
maka polinom disebut definit negatif (grafik di bawah sumbu x ).
x
y
a < 0, D > 0
x
y
a < 0, D = 0
x
y
a < 0, D < 0
x
y
a > 0, D > 0
x
y
a > 0, D = 0
x
y
a > 0, D < 0
Contoh 1 :
Tentukan akar dari y  2x  2.

Kalkulus 1
Jawab :
Derajat polinom adalah 1 dan akarnya adalah
 
1
2
2
0 2 2 0 
 


     
a
b
y x x
Contoh 2 :
Tentukan akar dari 2 3 2 y  x  x  .
Jawab :
Derajat polinom adalah 2 dan akar – akarnya adalah :
0 2 3 0 2 y   x  x  
  
1 2
2
2 16
2 1
2 2 4 1 3
2
4 2 2
1,2   
 


     

  

a
b b ac
x
3 1 x   dan 1 2 x 
Contoh 3 :
Tentukan akar dari 3 6 8 3 2 y  x  x  x  .
Jawab :
Derajat polinom adalah 3 dan akar – akarnya adalah :
0 3 6 8 0 3 2 y   x  x  x  
Kita akan mencoba nilai x  1, kemudian substisusikan nilai x  1 ke dalam persamaan,
sehingga menjadi  1 3 1 6 1 8 10 3 2        . Karena hasilnya tidak sama dengan 0, maka
nilai x  1 tersebut bukan akar yang dimaksud.
Kita akan mencoba nilai x 1, kemudian substisusikan nilai x 1 ke dalam persamaan,
sehingga menjadi 1 31 61 8 0 3 2     . Karena hasilnya sama dengan 0, maka nilai
x 1x 1 tersebut adalah salah satu akar yang dimaksud, dan persamaan di atas dapat
kita tulis menjadi  1  0 2 x  x  ax  b  .
Selanjutnya kita gunakan synthetic division untuk mencari faktor – faktor yang lain.
Sebelumnya, kita ambil koefisien dari persamaan awal yaitu 1, –3, –6 dan 8. Nilai tersebut
dan x 1 ditulis di tabel pada baris pertama seperti berikut :
1 –3 –6 8 x 1
Kemudian, angka 1 pada baris pertama kolom pertama diturunkan ke baris ketiga kolom
pertama. Lalu, angka 1 tersebut kita kalikan dengan x 1 dan hasilnya dituliskan di baris

Kalkulus 1
kedua kolom kedua. Langkah selanjutnya, baris pertama kolom kedua ditambah baris kedua
kolom kedua dan hasilnya ditulis di baris ketiga kolom kedua. Begitu seterusnya hingga baris
ketiga kolom keempat terisi. Perhatikan tabel berikut :
1 –3 –6 8 x 1
1 –2 –8
1 –2 –8 0
Jadi, persamaannya menjadi  1 2 8 0 2 x  x  x   . Persamaan 2 8 2 x  x  kita cari akar –
akarnya menggunakan rumus abc , dan didapat x  2 dan x  4 . Sehingga persamaan
0 3 6 8 0 3 2 y   x  x  x   jika difaktorkan menjadi x 1x  2x  4  0 dan akar –
akarnya adalah x 1, x  2 dan x  4 .
Latihan :
Tentukan derajat polinom dan akar – akar dari fungsi – fungsi berikut :
1. y  x  3
2. y  3x  9
3. 2 3 2 y  x  x 
4. 2 5 2 y  x  x 
5. 7 6 3 y  x  x 
6. 5 2 24 3 2 y  x  x  x 
7. y x 5x 2x 24x 4 3 2    
8. 2 7 8 12 4 3 2 y  x  x  x  x 
9. 3 5 15 4 12 5 4 3 2 y  x  x  x  x  x 
10. 8 15 20 76 48 5 4 3 2 y  x  x  x  x  x 
10. Pertidaksamaan
Kita sering kali menghadapi suatu pertidaksamaan (dalam x ) dan menyelesaikan
suatu pertidaksamaan dalam x berarti menentukan himpunan semua nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan itu (yang membuat pertidaksamaan menjadi suatu pertidaksamaan yang
benar). Himpunan semua nilai x yang memenuhi suatu pertidaksamaan disebut sebagai
himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Bentuk umum pertidaksamaan adalah
Ax  Bx, dimana Ax dan Bx adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,
> dan ≥. Sedangkan untuk pertidaksamaan rasional bentuk umumnya adalah
 
 
 
Dx
C x
B x
A x
 ,
dimana Ax, Bx, Cx dan Dx adalah fungsi polinom dan tanda < dapat juga berupa ≤,
> dan ≥.
Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan rasional :
a. Tentukan daerah definisi dari pertidaksamaan tersebut.

Kalkulus 1
b. Tambahkan kedua ruas dengan
 
Dx
C x
 sehingga diperoleh bentuk
 
 
 0
Q x
P x
.
c. Faktorkan Px dan Qx atas faktor – faktor linear dan kuadrat definit.
d. Gambarkan garis bilangan riil dan tandai akar – akar dari Px dan Qx .
e. Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari
 
Qx
P x
.
- + - +
f. Simpulkan solusi dari pertidaksamaan tersebut.
Contoh 1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6 2 x  x  .
Jawab :
1) Tambahkan kedua ruas dengan –6, sehingga menjadi :
6 0 2 x  x  
2) Untuk sementara tanda < kita abaikan, kemudian faktorkan 6 0 2 x  x   , menjadi :
 3 2 0 3, 2 1 2 x  x   x   x 
3) Gambarkan garis bilangan :
-3 2
4) Perhatikan interval x  3, 3  x  2 dan x  2 :
Untuk x  3, misal x  4, maka  4  4 6 2     (tidak memenuhi)
Untuk 3  x  2, misal x  0, maka 0 0 6 2   (memenuhi)
Untuk x  2, misal x  3, maka 3 3 6 2   (tidak memenuhi)
-3 2
+ + +    + + +
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 6 2 x  x  adalah xR | 3  x  2.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2 3
1




x
x
x
x
.

Kalkulus 1
Jawab :
1) Tambahkan kedua ruas dengan
 3

x
x
, sehingga menjadi :
0
6
2 2 3
0
2 3
1
2
2

  
 
 




x x
x x
x
x
x
x
2) Untuk sementara tanda ≥ kita abaikan, kemudian faktorkan pembilang dan penyebut.
Untuk 2 2 3 0 2 x  x   , karena D  0 dan a  0 , polinom disebut definit positif berarti
kurva berada di atas sumbu x .
Untuk 6 0  2 3 0 2, 3 1 2
2  x  x     x  x    x  x  
3) Gambarkan garis bilangan :
-3 2
4) Perhatikan interval x  3, 3  x  2 dan x  2 :
Interval yang terbentuk adalah interval terbuka, karena jika interval tertutup maka akan
menghasilkan penyebut nol (tidak terdefinisikan).
Untuk x  3, misal x  4, maka
 
    7
4
6
3
4 3
4
2 4
4 1





 


 
 
(tidak memenuhi)
Untuk 3  x  2, misal x  0, maka
 
    3
0
2
1
0 3
0
2 0
0 1
 




(memenuhi)
Untuk x  2 , misal x  3, maka
 
    6
3
1
4
3 3
3
2 3
3 1







(tidak memenuhi)
-3 2
   + + +   
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2 3
1




x
x
x
x
adalah xR | 3  x  2.
Contoh 3 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x  7  3 .
Jawab :
1) Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, usahakan
menghilangkan nilai mutlaknya terlebih dahulu sehingga pertidaksamaannya menjadi
2x  7  3 dan  2x  7  32x  7  3.
2) Setelah nilai mutlaknya hilang, kemudian kita selesaikan satu per satu. Setelah itu, cari
irisan dari HP kedua pertidaksamaan tersebut.

Kalkulus 1
3) Untuk pertidaksamaan  2x  7  32x  4  0 :
 2x  4  0x  2
2
Perhatikan selang x  2 dan x  2 .
Untuk x  2, misal x 1, maka  21 7  3 (tidak memenuhi)
Untuk x  2 , misal x  3, maka  23 7  3 (memenuhi)
2
   + + +
HP xR | x  2
4) Untuk pertidaksamaan 2x  7  32x 10  0 :
2x 10  0x  5
5
Perhatikan selang x  5 dan x  5.
Untuk x  5, misal x  4 , maka 24 7  3 (memenuhi)
Untuk x  5, misal x  6, maka 26 7  3 (tidak memenuhi)
5
   + + +
HP xR | x  5
5) Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x  7  3 adalah xR | 2  x  5
5
2
Latihan :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
1. 2  3x  5x 1
2. x  x 2
3. 3x  23 xx 1  0
4. 2 6 2  x  x 
5. 5  2x  6  4
6. 2x  3  x  3
7. 5x  5 10
8. x 1 1
9. 3
4
2



x
x
10.
4
2 1
5 1
3
3 2 
  
x  x

�ݺ�ߣ

Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1] (20)

Modul kalkulus i_bab_i_(bil_riil)[1]