Numeri razionali1
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Prima analisi della trasposizione didattica della struttura numerica dei razionali.
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Numeri razionali1
- 1. Nodi, difficolt, aspetti didattici
- 2. Numeri razionali Si prendono in considerazione, in questo primo incontro, solo alcuni aspetti di questo argomento molto ricco di aspetti storici e di difficolt Il passaggio dai naturali ai razionali 竪 un ostacolo epistemologico a cui si possono sommare ostacoli ontogenetici e ostacoli didattici La costruzione dei concetti di questo argomento deve nascere mediante attivit che facciano emergere le idee degli alunni e sottoporle a discussioni proficue Il numero razionale pu嘆 essere rappresentato sia da una frazione sia da un numero decimale
- 3. Numeri razionali Di solito nelle classi terze o quarte della scuola elementare vengono presentati sia i numeri decimali sia le frazioni In un percorso di curricolo verticale come presentare le frazioni ?
- 5. I ruoli delle frazioni Utilizzo delle frazioni. Le frazioni sono come bravi attori che sanno interpretare diversi ruoli. Le frazioni sono numeri ma le troviamo nelle percentuali, nella probabilit, nel calcolo della media, nei rapporti tra grandezze omogenee e non, nelle proporzioni, nelle espressioni relative ad orari oppure al denaro. Le frazioni svolgono quindi vari ruoli e non sempre 竪 facile capire le loro diversit di azione
- 6. Le frazioni nella scuola elementare Le categorie. Spesso le frazioni vengono presentate come Proprie, Improprie e Apparenti Le frazioni spesso vengono descritte e classificate. Proprie, improprie, apparenti. Vengono presentate come oggetti matematici di pura simbologia grafica. Le frazioni devono essere costruite come concetto a partire da discussioni tra gli studenti per delineare gli aspetti fondamentali.
- 7. Attivit scuola primaria http://www.cidi.it/cms/doc/open/item/filename/280/frazio nidecimalimisurapersapernedipiu-2007.pdf http://www.cidi.it/cms/doc/open/item/filename/1683/tiro- alla-frazione-1compressed.pdf Il materiale presente 竪 stato spesso utilizzato nelle classi terze o quarte della scuola elementare e si basa sulla richiesta di fornire espressioni verbali e visualizzazioni grafiche di ci嘆 che veniva in mente spontaneamente agli alunni quando si dice: la met, un terzo e un quarto. CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attivit, materiali. 2016-2017
- 8. Le frazioni nella scuola elementare Attivit laboratoriali al fine di favorire la correttezza dellidea di frazione. Si invitano gli alunni a esprimersi scrivendo la loro idea di met (1/2) , un terzo (1/3) e un quarto (1/4) e accompagnando lo scritto con una rappresentazione grafica Prima si svolge lattivit della met, conclusa questa si passa in ordine alle successive unit frazionarie Il materiale raccolto viene posto su un cartellone e viene letto, commentato e discusso da tutti gli alunni Si stimola la discussione in modo che gli esempi corretti o errati vengano accettati o esclusi dagli stessi alunni necessario che la discussione tra alunni proceda con interesse in modo che si sentano loro i creatori del significato corretto. La costruzione quindi del concetto a partire dalla condivisione di idee
- 9. Le frazioni nella scuola elementare Attivit laboratoriali al fine di favorire la correttezza dellidea di frazione. Il docente deve porre attenzione alle frasi scritte che possano celare false interpretazioni Favorisce il rafforzamento di idee corrette Procede poi con le loro congetture per chiedere la verifica che le parti suddivise siano uguali tra loro (uguali in cosa?) Nel continuo e nelle quantit discrete si deve favorire che gli studenti si esprimano sulla procedura per verificare luguaglianza delle parti frazionarie. Ci saranno riferimenti alla sovrapponibilit tramite rotazione, alla congruenza, alla traslazione, alla quantit .. Ogni volta che si parla delle procedure si chiede di specificare bene chiarendo concetti di piano, area, congruenza, conteggi, eccetera.
- 10. Elementi su cui riflettere Ecco una serie di espressioni scritte e grafiche prodotte dagli alunni e su cui dobbiamo riflettere noi docenti. Materiale ricavato da esperienza diretta su classe quarta elementare in attivit di continuit con la scuola elementare.
- 27. Le frazioni nella scuola elementare Dove si nascondono alcuni fraintendimenti ? Nel linguaggio che sembra non avere ambiguit, ma non 竪 cos狸 Un terzo ma siamo in tre Nelle errate rappresentazioni 1/2 che diventa 1/3 Nelle convinzioni ereditate dai numeri naturali Come continuare ?
- 28. UGUALI IN COSA ? Uguaglianza delle parti frazionarie di un elemento intero. Rappresentazioni classiche delle frazioni non sono libere da errori. Dobbiamo chiederci cosa stiamo ottenendo dalla divisione in parti uguali: cio竪 uguali in cosa? (ovvero stiamo parlando di lunghezze, aree, volumi, angoli ?) Quando tagliamo la famosa torta cosa sto ottenendo? Una fetta pu嘆 essere rappresentata per il suo peso, il suo volume (?), il suo arco o il suo angolo al centro? Diamo sempre per scontato che non sia necessario precisarlo, salvo poi meravigliarci se lalunno non sa cosa dire se chiediamo di essere precisi nel riferire in cosa sono uguali gli elementi frazionari.
- 29. Le frazioni: al posto della torta Come favorire lapprendimento attraverso esperienze meno convenzionali Suddivisioni di figure non convenzionali per avere 1/2 . Richiesta di verifica di uguaglianza delle due parti.
- 30. Immagine ripresa dal lavoro svolto in classe. Materiale preso da Istituto Comprensivo Scarperia San Piero a Sieve a.s. 2014/2015 Classi IV A, B, C. Insegnanti: Anna Maria Cecchi Anna Maria Dallai Annalisa Gangoni Giulia Amerini (tirocinante Scienze della Formazione) www.cidi.it/cms/doc/open/item/filename/ 1683/tiro-alla-frazione-1compressed.pdf
- 31. Le frazioni nella scuola elementare Attivit laboratoriali al fine di favorire la correttezza dellidea di frazione. Si propongono confronti tra frazioni che agiscono sullo stesso intero Si cerca lintero a partire dalla rappresentazione di una parte frazionaria In questi aspetti il confronto si basa sulla osservazione del denominatore e la grandezza della parte frazionaria. Data una parte frazionaria si chiede di ricostruire lintero. Questa procedura deve essere presentata pi湛 volte ponendo in essere con le figure la suddivisione in parti equiscomponibili.
- 32. Cambiamento di un modello: La richiesta dellintero fornendo lelemento frazionario
- 33. Cambiamento del modello: La richiesta dellintero fornendo lelemento frazionario
- 34. Le frazioni nella scuola elementare Molto importanti nella scuola elementare sono le frazioni decimali Sono prerequisiti per la comprensione del sistema decimale di misura della lunghezza Sono adeguati per riprendere la moltiplicazione e la divisione di numeri con le potenze del dieci Sono necessarie per la comprensione dei numeri decimali finiti Si ritrovano in molti ambiti tra cui la notazione scientifica con potenze di dieci, dando cos狸 una stima di valori
- 35. Le frazioni nella scuola elementare La costruzione dellabaco per gli interi e le parti decimali risulta essere una esperienza veramente formativa e si gettano le basi per evitare tanti fraintendimenti.
- 36. Le frazioni nella scuola media Unattivit laboratoriale al fine di favorire la correttezza dellidea di frazione. Gli alunni sfruttano le strisce per fare confronti. La suddivisione di una striscia di cartoncino lunga 60 cm e alta 10 cm in varie unit frazionarie: 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/10 1/12 1/15 1/20 1/30 1/60 Procedura: a. Osservazione del valore frazionario b. Uguaglianza allinterno della stessa striscia come equiestensione o come lunghezza della base c. Confronto tra unit frazionarie diverse d. Si affrontano cos狸 aspetti di confronti senza alcuna scrittura simbolica delle frazioni e. Esecuzione di addizioni e sottrazioni mediante le strisce f. Ricerca della frazione complementare CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attivit, materiali. 2016-2017
- 39. Le frazioni nella scuola media Evoluzione della attivit per paragonare la frazione 1/4 su strisce di diversa lunghezza La suddivisione di una striscia di cartoncino lunga 40 cm e alta sempre 10 cm e colorandone 1/4 : Procedura: a. Osservazione del valore frazionario 1/4 sulla striscia da 60 cm e sempre 1/4 sulla striscia da 40 cm b. Confronto di frazioni 1/4 su diverse strisce, alte sempre 10 cm ma di lunghezze diverse (20 cm, 30 cm, 15 cm ) c. Richiesta della scrittura delle loro osservazioni e della loro valutazione sul significato di 1/4 d. Obiettivo: lespressione 1/4 quindi ha senso e valutazione misurabile solo quando si specifica su cosa ha agito
- 40. Condizionamenti da modelli Talune rappresentazioni portano gli studenti ad avere dubbi sulluguaglianza delle parti, perch辿 condizionati da modelli standard
- 41. Condizionamenti da modelli Due identiche tavolette di cioccolata vengono suddivise al loro interno cos狸 come indicato dalle due figure seguenti: Si procede alla distribuzione dei diversi pezzi di cioccolata tra i compagni, ma qualcuno avanza il dubbio che le parti non siano tutte uguali .. Tu, osservando le due tavolette, cosa ne pensi?
- 42. Condizionamenti da modelli Cos狸 come nel quadrato
- 43. Condizionamenti da modelli Ecco come 竪 stato proposto dallInvalsi
- 44. Le frazioni nella scuola media Capita che in perfetta buona fede il docente faccia mettere in sequenza alcune frazioni oppure numeri decimali come nellesempio: a. 0,1 0,2 0,3 0,4 b. 1/2 1/3 1/4 1/5 Alcuni studenti possono strutturare cos狸 lidea che i numeri decimali e le frazioni abbiano un successivo a. 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 Questa ultima scrittura un docente pu嘆 utilizzarla se abbiamo una rappresentazione di numeri sulla retta orientata. Anche in questo modo suggeriamo indirettamente che esista un successivo.
- 45. Il successivo, discussione Ricordiamo il problema ideato dal Prof. Giuliano Spirito che come attivit di discussione in classe permette di fare scoperte sui razionali e dellimportanza della classe di equivalenza. Il problema esiste anche nella forma di frazioni. Una gita nel Paese dei matematici. <<A volte, per evitare discussioni, all'entrata del negozio o dell'ufficio postale vengono distribuiti dei numeretti. Nel paese dei matematici, dove Giulia e Paolo sono in gita, usano molto questo sistema; purtroppo i numeretti che distribuiscono sono... numeri decimali! Ora, succede che a Giulia venga assegnato il numero 3,4 e a Paolo il numero 3,5. Per capire a che punto della fila toccher a loro, i nostri due amici stanno ripassando mentalmente tutti i metodi per fare i confronti tra numeri decimali. Sono pieni di dubbi, ma di una cosa sono sicuri: subito dopo Giulia toccher a Paolo; infatti, non pu嘆 esserci nessun numero decimale compreso tra 3,4 e 3,5 ! >> Ti chiediamo: a) Giulia e Paolo hanno ragione a pensare di essere in due posizioni immediatamente consecutive nella fila? b) Se Giulia e Paolo hanno torto, quante persone al massimo possono stare in mezzo a loro nella fila?
- 46. Le frazioni come operatori Le frazioni che di un elemento ne prendono una parte Lo studente sa che lelemento su cui opera deve essere diviso in tante parti dettate dal denominatore e di queste ne prender quante ne specifica il numeratore Ma nella pratica quotidiana scolastica ci sono sempre elementi che sono multipli del denominatore quasi mai chiediamo i 3/5 di 14 persone ma i 3/5 di 15 persone; ma se chiedessimo 3/5 di 14 euro forse si pu嘆 fare, ma anche in questo caso non chiederemmo mai i 3/7 di 13 euro E evidente che sviluppiamo subito un controllo perch辿 le incertezze di calcolo relative alla divisione non presentino ulteriori problemi nellesecuzione degli algoritmi
- 47. La distribuzione Quando la distribuzione cambia ecco un tipico problema discussione: Un gruppo di 4 amici si dividono tra loro dei bastoncini di liquerizia dello stesso tipo e uguali come lunghezza. Quando arriva il loro amico Lorenzo vogliono dividere di nuovo la liquerizia tra loro che ora sono diventati 5 , sempre in modo che tutti abbiano la stessa quantit, ma non sanno come fare. Lorenzo chiede ai 4 compagni che gli diano ciascuno di loro 1/4 della lunghezza di ciascun bastoncino. Ma i 4 amici non sono daccordo. Chi ha ragione, Lorenzo o i 4 amici?
- 48. La distribuzione Un secondo problema discussione: Un gruppo di 7 amici si dividono tra loro le biglie regalate loro dalla maestra. Quando arriva il loro amico Lorenzo vogliono dividere di nuovo le biglie tra loro che ora sono diventati 8. Lorenzo chiede ai 7 compagni che gli diano ciascuno di loro 1/7 delle loro biglie. Ma i 7 amici non sono daccordo. Chi ha ragione, Lorenzo o i 7 amici? Le biglie non si possono certamente spezzare, quale numero di biglie permette di essere distribuito sia tra 7 e sia tra 8 amici?
- 49. Numeri decimali : la comunicazione I numeri decimali o numeri con la virgola spesso vengono letti nella parte decimale come se fossero numeri naturali: 4,753 viene letto come Quattro virgola settecentocinquantatre Questa lettura 竪 corretta? Cosa succede quando lo studente considera 2,276 maggiore di 2,3 ? Cosa pu嘆 accadere nel caso che tali numeri vogliano esprimere una lunghezza?
- 50. La misura e le frazioni. Misura della lunghezza Misurare significa rapportare loggetto da misurare con lunit di misura scelta in modo omogenea (o con suoi sottomultipli o multipli anche loro frazioni in un sistema di scala, in molti casi a base decimale). Notare che nelle misure del tempo abbiamo la scala in sessantesimi ma per misure pi湛 piccole del secondo utilizziamo i decimi di secondo, centesimi e millesimi Prendiamo in esame la misura della lunghezza. La sequenza che leggo trova riscontro nella realt ? a. 0,1 0,2 0,3 0,4 Certamente s狸, se intendo come 0,1 centimetro cio竪 un millimetro sugli strumenti trover嘆 0,1 cm; 0,2 cm; 0,3 cm eccetera, e nella quotidianit scolastica non ho strumenti per misure pi湛 piccole (almeno finora) Quindi tra 1/10 di cm e 2/10 di cm non trovo altri numeri di distanza minore di 1 mm nella quotidianit almeno. Nei laboratori s狸. Se considero invece i numeri 0,1 e 0,2 tra loro esistono altri numeri decimali.
- 51. La misura e i numeri decimali Due spaghi sono lunghi il primo 1,27 m e il secondo 1,8 m. Qual 竪 lo spago pi湛 lungo? La maggior parte degli studenti che iniziano la scuola media risponde che 竪 pi湛 lungo il primo. Questa serie di fraintendimenti 竪 da attribuire a tanti fattori tra cui anche labitudine di riferirsi a misure in metri e centimetri, quasi mai a decimetri. Per cui la scrittura 1,8 m non viene considerata come 1 metro e 80 centimetri ma come 1 metro e 8 centimetri che sono pi湛 corti di 27 centimetri. Quindi si confonde 1,08 m con 1,8 m Esempio tratto da Ricomincio da zero pag.70 (vedi bibliografia) che cita uno studio di Boero. Ricordiamo che per legge la scrittura in euro prevede la scrittura decimale di due cifre per evitare tali fraintendimenti.
- 52. Lintero o gli Interi? Prendo i 13/4 di una torta, devo prendere pi湛 torte uguali (uguali in cosa?) prima di tutto, ma avr嘆 cos狸 3 torte intere e 1/4 di una quarta torta. Qual 竪 lintero ? E poi con 16/4 di torta ne prendo in realt 4 torte, lintero 竪 4?
- 53. Lintero o il tutto Molti problemi interessanti ci sono stati tramandati sulle frazioni la cui la somma non riforma lintero. Il racconto. Un uomo voleva dividere i suoi cammelli tra i figli in modo che il primo avesse 1/2 del loro numero, il secondo 1/3 e il terzo figlio ne prendesse 1/9. I cammelli da dividere tra i figli sono 35. Tratto dal libro: Luomo che sapeva contare di Melba Tahan
- 54. Rappresentazione delle frazioni La notazione semplice a/b non 竪 libera da equivoci La notazione a/b non 竪 lunica rappresentazione del numero razionale 4/5 non 竪 lunica rappresentazione del numero 0,8 (ma qualsiasi 4k/5k con k numero intero diverso da zero) La classe di equivalenza creata permette di operare con le frazioni e consente di avere pi湛 rappresentazioni dello stesso numero razionale
- 55. Comunicazione La frazione nei suoi vari aspetti Noi docenti proponiamo e mostriamo le frazioni come operatori, oppure come parte su un tutto, oppure come percentuale, come rapporto, come misura ed altro ancora, si fa fatica poi a coordinare tutti questi aspetti che la frazione riveste in campo matematico con il suo essere rappresentante di un numero. Tutti i diversi ruoli rivestiti dalle frazioni devono confluire nella comprensione di questa particolare struttura numerica ma sapendo distinguerne le differenze e le peculiarit
- 56. Passaggio dai naturali ai razionali (schema tratto da Ricomincio da zero) Sistema storico Dai naturali si passa ai razionali Q+, sempre dai naturali si passa agli interi per poi convergere ai razionali Q. Sistema moderno Dai naturali si passa agli interi e poi direttamente a Q dei razionali. In questo passaggio si ha la difficolt della regola dei segni in Z.
- 57. Passaggio dai naturali ai razionali (schema tratto da Ricomincio da zero) Molti docenti preferiscono il passaggio a Z e poi a questo punto direttamente a Q, a patto di affrontare in seguito la regola dei segni della moltiplicazione, la cui spiegazione si basa su una coerenza interna (propriet distributiva e prodotto per zero). Molti docenti preferiscono prima il passaggio a Q+ e rimandando a Q dopo avere introdotto Z nelle classi successive. Le difficolt permangono ma viene rispettata una visione pi湛 aderente alla storia dei numeri.
- 58. BIBLIOGRAFIA - SITOGRAFIA a. Vinicio Villani-Maurizio Berni Ricomincio da zero Pitagora Editrice Bologna b. Malba Tahan Luomo che sapeva contare edizione: Salani c. Martha Isabel Fandi単o Pinilla: Le frazioni - aspetti concettuali e didattici d. Carl B. Boyer Storia della matematica Oscar Mondadori e. Angela Pesci: Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella discussione di classe Editore: Pitagora f. Rosetta Zan: Difficolt in matematica Springer edizioni g. Giuliano Spirito Margherita DOnofrio Grazia Petrini: Il racconto della matematica Numeri secondo volume Ed. La Nuova Italia h. www.cidi.it i. http://utenti.quipo.it/base5/index.htm