Podstawy statystyki dla psycholog¨®w - zaj?cia 13 -ANOVA
- 1. Podstawy statystyki dla psycholog¨®w Jednoczynnikowa ANOVA Zaj?cia 13. Karol Wolski
- 2. ANOVA ¨C po co nam to? ? Czasami chcemy por¨®wna? wi?cej ni? jedna grup?, np. siedem grup poddanych r¨®?nemu leczeniu. Co mo?emy zrobi?? ? Pierwsza my?l, zrobi? test t i por¨®wna? wszystkie 21 mo?liwych par ? Dlaczego nie? Zauwa?my, ?e gdy obierzemy t? strategi?, to b??dy I rodzaju dla wszystkich analiz sumuj? nam si?, a prawdopodobie¨½stwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej ro?nie do ok. 0,66 ¨C = 1 ? (0,95)21 ? I jeszcze jedno nawet je?li wykonamy wszystkie 21 por¨®wna¨½ to i tak nie mamy obrazu ca?o?ci, mamy jego 21 cz??ci
- 3. ANOVA ¨C wprowadzenie ? Jednoczynnikowa ANOVA pozwala na por¨®wnywanie dw¨®ch lub wi?cej grup jednocze?nie. ? Jest blisko spokrewniona z testem t?. W przypadku por¨®wnania dw¨®ch grup obie techniki daj? to?same oszacowania. Test t mo?na wi?c potraktowa? jako specyficzny przyk?ad ANOVY
- 4. ANOVA ¨C wprowadzenie ? Pomimo tego, ?e m¨®wimy o analizie wariancji technika ta pos?u?y nam do testowania r¨®?nic pomi?dzy ?rednimi ? St?d H0 : = = = ? = ¨C Gdzie k oznacza liczb? warunk¨®w eksperymentalnych/grup ¨C Oczywi?cie hipoteza alternatywna zak?ada, ?e mamy przynajmniej jedn? r¨®?nic?, niezale?nie pomi?dzy, kt¨®ry dwie ?rednimi ¨C Mo?e ona by? jedna, a mo?e by? ich kilka ¨C Nie ma sensu m¨®wi? o hipotezie kierunkowej je?li k>2
- 5. ANOVA ¨C wprowadzenie ? Ca?kowite zr¨®?nicowanie mi?dzy wszystkimi wynikami podzieli? mo?emy na: ¨C Zr¨®?nicowanie wewn?trzgrupowe (inherentne) ¨C jest ono niezale?ne od warunku eksperymentalnego, wynika np. z losowej zmienno?ci pr¨®by ¨C inaczej nazywane b??dem ¨C Zr¨®?nicowanie mi?dzygrupowe ¨C zr¨®?nicowanie ?rednich dla r¨®?nych warunk¨®w eksperymentalnych b?d?ce efektem zr¨®?nicowania inherentnego oraz manipulacji eksperymentalnej
- 6. ANOVA ¨C wprowadzenie ? Logika ANOVA ¨C W skr¨®cie ANOVA polega na dokonaniu dw¨®ch niezale?nych oszacowa¨½ wariancji populacyjnej oraz por¨®wnaniu ich ze sob? ¨C Pierwsze oszacowanie (wewn?trzgrupowe) oszacowanie tzw. wariancji b??du dokonywane jest na podstawie oszacowa¨½ wariancji w poszczeg¨®lnych grupach oraz wyci?gni?ciu z nich 2 ?redniej ¨C Drugie (mi?dzygrupowe)
- 7. ANOVA ¨C podzia? sum kwadrat¨®w ? Ka?dy pojedynczy wynik jak otrzymali?my mo?emy zapisa? jako: ¨C X=?rednia generalna + efekt oddzia?ywa¨½ + zr¨®?nicowanie inherentne ¨C Gdzie: ?rednia generalna to ?rednia ze wszystkich wynik¨®w, oznacza? j? b?dziemy: ¨C Czyli: = + ? + ? ? oznacza ?redni? z grupy, z kt¨®rej pochodzi dany X
- 8. ANOVA ¨C podzia? sum kwadrat¨®w ? Id?c dalej ka?dy wynik mo?emy zapisa? jako jego odchylenie od ?redniej generalnej: ? = ? + ? ? To daje nam ju? mo?liwo?? obliczenia sumy kwadrat¨®w odchyle¨½ od ?redniej generalnej oraz dla zr¨®?nicowania wew. i mi?dzygrupowego ¨C ?. = ( ? )2 ¨C . = ( ? )2 ¨C . = ( ? )2 ? Gdzie k ¨C liczba grup, - liczba wynik¨®w i-tej grupie, a - ?rednia i-tej grupy
- 9. ANOVA ¨C podzia? sum kwadrat¨®w ? Zatem: ¨C ?. = . + . ¨C Poniewa?: ? = ? + ?
- 10. ANOVA ¨C stopnie swobody ¨C ?. = ? ? 1 ¨C . = ? ? ¨C . = ? 1 ¨C ?. = . + .
- 11. ANOVA ¨C oszacowanie wariancji ? Og¨®lnie wariancj? oszacowa? mo?emy wed?ug 2 wzoru = ? Mamy wi?c: 2 . 2 ? . = - oszacowanie . wariacji wewn?trzgrupowej (b??du) 2 ? . = . 2 + ?¨½ ¨C . oszacowanie wariacji mi?dzygrupowej
- 12. ANOVA ¨C stosunek F ? Hipoteza zerowa jest utrzymywana je?li stosunek tych dw¨®ch wariancji jest r¨®wny (w granicach b??du losowego) 2 . .?+ ? = 2 = . .? ? Je?li hipoteza zerowa jest prawdziwa to F=1 ? Je?li nie, to stosunek F powinien by? wi?kszy ¨C Sk?d wiadomo o ile wi?kszy? Odnosimy to do rozk?adu F (tak jak wcze?niej do rozk?adu t)
- 13. Rozk?ad F dla r¨®?nych df ? Tablica: http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5 %82adu_F_Snedecora Wikipedia
- 14. Rozk?ad F dla r¨®?nych df ? Rozk?ad jest zawsze prawosko?ny, st?d ca?y obszar odrzucenia znajduje si? po jednej stronie rozk?adu ? Warto?? F nie mo?e by? mniejsza od zera (oszacowania wariancji nie mog? by? bowiem mniejsze ni? zero, w ko¨½cu s? kwadratami SS) ? Je?li F<1 to zapewne mamy do czynienia z jakim? b??dem pr¨®by
- 15. Za?o?enia ANOVA ? Rozk?ad normalny w populacjach ? Homogeniczno?? wariancji ? Dob¨®r do ka?dej z pr¨®b jest niezale?ny ? Pr¨®by wybierane losowo zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.
- 16. ANOVA ¨C wielko?? efektu ? Miara ta nale?y do rodziny r (nazywamy j? eta kwadrat): . ¨C ¦Ç2 = ?.
- 17. Co dalej? ? ANOVA odpowiada nam na pytanie, czy gdzie? jest r¨®?nica, pytanie co r¨®?ni si? od czego? ? Mamy do wyboru dwie opcje dalszej analizy ¨C Por¨®wnania post hoc ¨C nie wymagaj? one wcze?niejszych za?o?e¨½ ¨C Por¨®wnania zaplanowane
- 18. Por¨®wnania post hov ? Aby u?y?, kt¨®rego? z test¨®w pozwalaj?cego dokona? por¨®wna¨½ post hoc, musimy najpierw otrzyma? istotny stosunek F ? Jednym z takich test¨®w jest test HSD Tukeya ? W przypadk¨®w tych test¨®w, nie nara?amy si? na sumowanie si? b??d¨®w I rodzaju, dlaczego? ¨C Poniewa? nie u?ywamy tutaj rozk?adu, ?rednie istotne stat. to po prostu takie ?rednie, kt¨®re b?d? si? r¨®?ni? o dan? warto?? ¨C R¨®?nice te jednak musz? by? wi?ksze ni? te wymagane przez test t, aby nie nara?a? nas na b??d I rodzaju
- 19. Por¨®wnania zaplanowane ? Planujemy wcze?niej co b?dziemy por¨®wnywa?, nie zawsze interesuj? nas wszystkie por¨®wnania ? Nie jest wymagana istotno?? F ? Aby je wykona? stosujemy test t dla pr¨®b niezale?nych, jednak jako b??d przyjmujemy 2 warto?? . co daje nam dok?adniejsze oszacowanie, a nie obliczamy go tylko na podstawie por¨®wnywanych grup