�ݺ�ߣ

BAB
1 Komposisi dan Invers Fungsi
A. Fungsi
B. Komposisi Fungsi
C. Fungsi Invers

A. Fungsi
1. Fungsi dan Bukan Fungsi
2. Domain, Kodomain, dan Range
Halaman Bab

Halaman Bab
1. Fungsi dan Bukan Fungsi
Halaman Subbab
Fungsi merupakan relasi yang memiliki sifat-sifat khusus. Sifat-sifat fungsi dari himpunan A ke himpunan B sebagai
berikut.
a. Setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B.
b. Setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu anggota B.

Coba cermati relasi yang disajikan dalam bentuk diagram panah berikut.
Relasi (i) merupakan fungsi karena setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B dan setiap anggota A
mempunyai pasangan tepat satu anggota B.
Relasi (ii) merupakan fungsi karena setiap anggota A mempunyai pasangan anggota B dan setiap anggota A
mempunyai pasangan tepat satu anggota B.
Relasi (iii) bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak mempunyai pasangan anggota B.
Relasi (iv) bukan fungsi karena ada anggota A yang mempunyai pasangan lebih dari satu anggota B.
Halaman Bab Halaman Subbab

Fungsi dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, atau h. Suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B dinotasikan f: A → B dibaca fungsi f memetakan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Fungsi f yang memetakan x
anggota himpunan A ke himpunan B dinotasikan sebagai f: x → y atau f: x →
f(x) atau f: x → y = f(x).
f: x → y dibaca f memetakan x ke y.
f: x → f(x) dibaca f memetakan x ke f(x).
f: x → y = f(x) dibaca f memetakan x ke y = f(x).

Fungsi f pada diagram panah memetakan x ∈ A ke y ∈ B. Variabel y disebut bayangan/peta/ nilai fungsi dari x yang
dirumuskan y = f(x), sedangkan x disebut prapeta y.
Sebagai contoh fungsi f: x → 2x – 1 dapat dinyatakan dengan persamaan fungsi f(x) = 2x – 1. Pada fungsi f(x) = 2x – 1
dapat ditentukan nilai fungsi dan prapeta untuk setiap nilai x pada daerah asal {x | 1 ≤ x ≤ 2, x anggota bilangan bulat}.

2. Domain, Kodomain, dan Range
Domain atau daerah asal : himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur pertama suatu relasi.
Kodomain atau daerah kawan : himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua suatu relasi.
Range atau daerah hasil : himpunan yang anggotanya terdiri atas unsur-unsur kedua yang memiliki pasangan
dengan unsur-unsur pertama suatu relasi.

Perhatikan diagram panah suatu fungsi berikut.
Diagram panah tersebut menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B. Notasi fungsinya
dapat dituliskan sebagai berikut.
Dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B.
Himpunan A merupakan domain atau daerah asal.
Himpunan B merupakan kodomain atau daerah kawan.
Himpunan C bagian dari himpunan B merupakan range atau daerah hasil.

Contoh Soal
Jawaban
Diketahui himpunan A = {x | 0 < x ≤ 10, x bilangan prima} dan B = {x | 0 < x ≤ 15, x bilangan cacah}. Fungsi f: A → B ditentukan oleh
rumus f(x) = 2x – 3. Tentukan domain, kodomain, dan range fungsi f.
a. Domain = A = {x | 0 < x ≤ 10, x bilangan prima} = {2, 3, 5, 7}
Jadi, domain fungsi f(x) adalah {2, 3, 5, 7}.
b. Kodomain = B = { x | 0 < x ≤ 15, x bilangan cacah} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Jadi, kodomain fungsi f(x) adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.
c. Rumus fungsi f adalah f(x) = 2x – 3.
Untuk x = 2 diperoleh f(2) = 2(2) – 3 = 1.
Range = R = {1, 3, 7, 11}
Jadi, range fungsi f(x) adalah {1, 3, 7, 11}.

Latihan Soal

Jika daerah asal fungsi tidak diketahui, daerah asal f ditentukan semua himpunan bilangan real yang mungkin
sehingga daerah hasilnya adalah bilangan real (fungsi terdefinisi pada bilangan real). Daerah asal seperti ini sering
disebut daerah asal alami atau domain natural. Selanjutnya, daerah asal alami sering disebut dengan daerah
asal.
a. Daerah Asal Alami Fungsi Irasional
Fungsi terdefinisi pada bilangan real jika p(x) ≥ 0.
Daerah asal alami fungsi adalah {x | p(x) ≥ 0, x ∈ R}.
b. Daerah Asal Alami Fungsi Rasional
Fungsi terdefinisi pada bilangan real jika q(x) ≠ 0.
Daerah asal alami fungsi adalah {x | q(x) ≠ 0, x ∈ R}.

Contoh Soal
Jawaban

Latihan Soal

B. Komposisi Fungsi
1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
2. Perkalian dan Pembagian Fungsi
3. Komposisi Fungsi
Halaman Bab

Halaman Bab
1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
Halaman Subbab
Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-sifat aljabar fungsi sebagai berikut.
Pada operasi penjumlahan fungsi berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Bagaimana cara menentukan daerah asal fungsi pada operasi penjumlahan dan pengurangan? Diketahui f dan g
merupakan fungsi dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f dan Dg menyatakan daerah asal fungsi g. Daerah asal
pada operasi penjumlahan dan pengurangan fungsi sebagai berikut.

Contoh Soal 1
Jawaban

Contoh Soal 2
Jawaban

2. Perkalian dan Pembagian Fungsi
Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-sifat aljabar fungsi sebagai berikut.
Pada operasi perkalian fungsi berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
Bagaimana cara menentukan daerah asal fungsi pada operasi perkalian dan pembagian? Diketahui f dan g merupakan
fungsi dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f dan Dg menyatakan daerah asal fungsi g. Daerah asal hasil operasi
perkalian dan pembagian fungsi sebagai berikut.

3. Komposisi Fungsi
Jika f dan g fungsi dan Rf ∩ Dg ≠ ∅ maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang
disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis: g o f dan dibaca: g bundaran f) yang ditentukan dengan h(x) = (g o f)(x) =
g(f(x)).
Daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah Dg o f = {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg} dengan Df menyatakan daerah asal fungsi f; Dg
menyatakan daerah asal fungsi g; Rf menyatakan daerah hasil fungsi f; dan Rg menyatakan daerah hasil fungsi g.
Misalkan pada (g o f)(x) = g(f(x)) mula-mula x anggota A
dipetakan oleh fungsi f ke y = f(x), lalu y dipetakan oleh fungsi g
ke z = g(y) = g(f(x)). Komposisi (g o f)(x) disajikan pada diagram
panah di samping.

Diketahui f, g, dan h suatu fungsi dan I(x) = x suatu fungsi identitas. Jika Rh ∩ Dg ≠ ∅, Rg ∩ Df ≠ ∅, dan RI ∩ Df ≠
∅ maka pada operasi komposisi fungsi memiliki sifat-sifat berikut.
a. Pada operasi komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif, yaitu:
b. Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu:
c. Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat identitas, yaitu:

Contoh Soal 3
Jawaban

C. Fungsi Invers
1. Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
2. Definisi Invers Fungsi
3. Fungsi Invers
Halaman Bab

Halaman Bab
1. Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
Halaman Subbab
a. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-Satu)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika setiap anggota A mempunyai bayangan berbeda anggota B.
Perhatikan gambar berikut.
Fungsi f merupakan fungsi injektif. Sementara itu, fungsi g bukan fungsi injektif kerena terdapat dua anggota C yang
mempunyai bayangan (kawan) sama anggota D.

b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A.
Perhatikan gambar berikut.
Fungsi f merupakan fungsi surjektif. Sementara itu, fungsi g bukan fungsi surjektif karena terdapat anggota D
yang tidak mempunyai pasangan anggota C.

c. Fungsi Bijektif (Fungsi Berkorespondensi Satu-Satu)
Suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif jika fungsi tersebut merupakan injektif sekaligus surjektif. Perhatikan gambar
berikut.
Fungsi f merupakan fungsi bijektif. Fungsi g bukan fungsi bijektif karena tidak injektif. Fungsi h bukan fungsi bijektif
karena tidak surjektif.

2. Definisi Invers Fungsi

3. Fungsi Invers
Invers suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan bentuk fungsi, invers tersebut
disebut fungsi invers.
Secara umum tidak semua fungsi memiliki invers. Hanya fungsi bijektif yang memiliki fungsi invers. Apa saja sifat-sifat
fungsi invers? Fungsi invers memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

Menentukan invers fungsi dibedakan menjadi dua, yaitu invers fungsi jika diketahui grafiknya dan invers fungsi jika
diketahui rumus fungsinya.

�ݺ�ߣ

PPTMatematikaWajib11A20232024Bab1_www.unduhan.dewan.guru.pptx

Recommended

More Related Content

Similar to PPTMatematikaWajib11A20232024Bab1_www.unduhan.dewan.guru.pptx (20)

Recently uploaded (20)

PPTMatematikaWajib11A20232024Bab1_www.unduhan.dewan.guru.pptx