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Il concetto di “disequazione” nella vita di ogni giorno
V < 50V < 50 (velocità minore di 50 Km/h) Voto > 60Voto > 60 (promosso!!)
6060

Il significato dei simboli…….Il significato dei simboli…….
> Maggiore> Maggiore > Maggiore uguale> Maggiore uguale
< Minore< Minore < Minore uguale< Minore uguale

Dati due numeri reali a,b
a > b e a < b
sono disuguaglianze
Una disuguaglianza può essere:

Le disuguaglianze possibili si chiamano
disequazioni
Sono disequazioni, per esempio:
2x < 6
x + 2 ≤ 3x + 1
Se al posto della x sostituiamo un numero la disequazione si
trasforma in disuguaglianza che può essere Vera oppure Falsa
Osserva: 2x+1>7
Se al posto della x sostituisco il numero 4 cosa ottengo???
2(4)+1>7 ovvero 8+1>7 cioè 9 > 7 è una disuguaglianza Vera
Allora 4 è una soluzione della disequazione……………..

Definizione:
Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei
numeri che sostituiti all’incognita la trasformano in una
disuguaglianza vera

Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
1. Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno
3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili
x - 2 > 0
3. Trasporto dopo il segno maggiore il termine noto (-6)
cambiando il segno
x > 2

Data la disequazione
3x - 1 > 2x + 1
Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno: 3x - 1 - 2x - 1 >0
2. Riduco i termini simili x - 2> 0
2. Pongo x-6 uguale ad y ed ottengo y=x-2
Y= x-2 è l’equazione di una retta… la vogliamo disegnare????
Costruiamo la tabella x y
-1 -3
0 -2
1 –1
2 0
-3 -2 -1 0 1 2
La retta è positiva per
x>2
La retta è
positiva
nella fascia
maggiore di
2 cioè la
soluzione è
x>2
+
+
-
-
-

Disequazione: 2(x-3)<x-5
Semplifico l’espressione  2x-6<x-5
Porto tutti i termini al primo membro 2x-6-x+5<0
Riduco i termini simili  x - 1 < 0
Chiamo y il valore di x-1 y = x-1
Costruisco la tabella per disegnare la retta (x=0; y=-1) (x=1; y=0)
Disegno la retta y= x-1
Osservando la retta si vede che risultaOsservando la retta si vede che risulta
“sotto l’asse x” (y<0) cioè negativa per tutti i valori di x < 1“sotto l’asse x” (y<0) cioè negativa per tutti i valori di x < 1
Schema risolutivo ed esercizio guida
1
++
--

ax2
+ bx + c > 0
ax2
+ bx + c < 0
ax2
+ bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Risoluzione di una disequazione di 2° grado
Le disequazioni di 2 grado si devono ricondurre sempre alla forma:

ax2
+ bx + c > 0
a>0
ax2
+ bx + c > 0
a>0
Calcoliamo il Delta  = b2
-4ac
= b2
-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte
a > 0 concavità rivolta verso l’alto
Disequazione >0 soluzione: x<x1 ed x>x2 valori esterni
x1 x2
 > 0> 0

ax2
+ bx + c > 0
a>0
ax2
+ bx + c > 0
a>0
x1 =x2
= b2
-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti
Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di
sopra asse x cioè è sempre positiva
 = 0= 0

ax2
+ bx + c > 0
a>0
ax2
+ bx + c > 0
a>0
= b2
-4ac < 0 soluzioni complesse coniugate
Disequazione > 0 sempre vera la parabola è al di
sopra asse x cioè è sempre positiva
 < 0< 0

ax2
+ bx + c < 0
a>0
ax2
+ bx + c < 0
a>0
Calcoliamo il Delta  = b2
-4ac
= b2
-4ac >0 soluzioni sono reali e distinte
Disequazione < 0 valori negativi (al di sotto asse x)
soluzione: x1 < x < x2 valori interni
x1 x2
 > 0> 0

ax2
+ bx + c < 0
a>0
ax2
+ bx + c < 0
a>0
= b2
-4ac =0 soluzioni sono reali e coincidenti
Disequazione <0 mai vera la parabola è al di sopra asse x cioè
è sempre positiva
x1 =x2
 = 0= 0

ax2
+ bx + c < 0
a>0
ax2
+ bx + c < 0
a>0
= b2
-4ac < 0 soluzioni sono complesse coniugate
Disequazione < 0 mai vera la parabola è al di sopra asse x
cioè è sempre positiva
 < 0< 0

ax2
+ bx + c >0
a<0
ax2
+ bx + c >0
a<0
 = b2
-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte
Disequazione > 0 soluzione: x1 < x < x2 valori interni
x1 x2
 > 0> 0

ax2
+ bx + c >0
a<0
ax2
+ bx + c >0
a<0
 = b2
-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti
Disequazione > 0 mai vera la parabola è al di sotto
asse x x1=x2
 = 0= 0

ax2
+ bx + c >0
a<0
ax2
+ bx + c >0
a<0
 = b2
-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate
Disequazione > 0 mai vera la parabola si trova al di
sotto dell’asse delle x quindi è negativa
 < 0< 0

ax2
+ bx + c < 0
a<0
ax2
+ bx + c < 0
a<0
 = b2
-4ac>0; 2 soluzioni reali e distinte
Disequazione < 0 soluzione: x<x1; x > x2 valori esterni
x1 x2
 > 0> 0

ax2
+ bx + c < 0
a<0
ax2
+ bx + c < 0
a<0
 = b2
-4ac = 0; 2 soluzioni reali e coincidenti
Disequazione < 0 sempre vera la parabola è tutta al di
sotto asse x
x1=x2
 = 0= 0

ax2
+ bx + c < 0
a<0
ax2
+ bx + c < 0
a<0
 = b2
-4ac < 0; 2 soluzioni complesse coniugate
Disequazione < 0 sempre vera la parabola è sempre al
di sotto dell’asse x
 < 0< 0

a>0 ax2
+ bx + c > 0 ax2
+ bx + c < 0
Δ > 0
due soluzioni
reali e disstinte
x < x1
e x > x2
Valori esterni
x1
< x < x2
Valori interni
Δ = 0
Due sol.
coincidenti
Sempre vera Mai vera
Δ < 0
Nessuna
soluzione reale
Sempre vera Mai vera

a<0 ax2
+ bx + c > 0 ax2
+ bx + c < 0
Δ > 0
due soluzioni
x1
< x < x2
Valori interni
x< x1
e x > x2
Valori esterni
Δ = 0
Due sol.
coincidenti
Mai vera Sempre vera
Δ < 0
Nessuna
soluzione reale
Mai vera Sempre vera

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