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- 1. Fare clic per modificare lo stile del titolo 1 La Probabilità M a t t e o E o l i n i 4 G
- 2. Fare clic per modificare lo stile del titolo 2 Il calcolo delle probabilità • Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa dello sviluppo di modelli per descrivere situazioni. Oggi le tecniche di questa disciplina, nata dalla ricerca sul gioco d'azzardo, trovano applicazione in svariati settori: fisica, ingegneria, informatica, statistica, controllo qualità , gestione della sicurezza delle comunicazioni, affidabilità dei sistemi, ecc. • Un esperimento casuale o aleatorio è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Cioè conoscendo i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato. Ciò che invece possiamo conoscere è l'insieme di tutti i possibili risultati. 2
- 3. Fare clic per modificare lo stile del titolo 3 Spazio campionario ed Eventi 3 SPAZIO CAMPIONARIO: • Si dice spazio campionario (o spazio dei campioni o spazio dei risultati), e si indica con il simbolo Ω, l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio. EVENTO: • Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω. ESEMPIO: LANCIO DI UN DADO: LANCIO DI DUE DADI:
- 4. Fare clic per modificare lo stile del titolo 4 Operazioni tra eventi 4 Dati due eventi A e B appartenenti a uno spazio campionario Ω: 1. si definisce evento unione di A e B, e si indica con A∪B, l’evento che si realizza quando si realizzano A o B (o entrambi); 2. si definisce evento intersezione di A e B, e si indica con A∩B, l’evento che si realizza quando si realizzano entrambi gli eventi A e B; 3. si definisce evento contrario di A, e si indica con A, l’evento che si realizza quando non si realizza A, ossia l’evento rappresentato dal complementare di A: A=Ω−A. Due eventi si dicono incompatibili se la loro intersezione è vuota; si dicono compatibili in caso contrario.
- 5. Fare clic per modificare lo stile del titolo 5 Operatori 5
- 6. Fare clic per modificare lo stile del titolo 6 Definizione classica di probabilità 6 • Secondo la prima definizione di probabilità , per questo detta «classica», la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. • Indicando con Ω l'insieme di casi possibili e con |Ω| la sua cardinalità , con A un evento e con|A| la sua cardinalità , ovvero il numero dei casi favorevoli ad A (ad esempio, nel lancio di un dado 12 = {1,2,3,4,5,6}, |12| = 6, A ="esce un numero pari", |A| = 3), la probabilità di A, indicata con P(A), è pari a:
- 7. Fare clic per modificare lo stile del titolo 7 Utilizzo di una tabella a doppia entrata 7 • Ω′ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), ..., (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 7 8 9 10 11 8 9 10 11 12 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
- 8. Fare clic per modificare lo stile del titolo 8 Utilizzo del calcolo combinatorio 8 «In una corsa con 10 concorrenti, quanti differenti ordini d’arrivo sono possibili?» In una corsa con 10 concorrenti, i possibili ordini d'arrivo sono le permutazioni di 10 elementi. Il loro numero è: P = 10! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10 = 3. 628.800
- 9. Fare clic per modificare lo stile del titolo 9 Teoremi sul calcolo delle probabilità 9 PRINCIPIO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE: • Dati due insiemi A e B, il numero degli elementi dell’insieme unione di A e B è dato dalla formula: • La somma tra il numero degli elementi di A e il numero degli elementi di B meno il numero di elementi di A intersecato B è uguale all’unione di A e B.
- 10. Fare clic per modificare lo stile del titolo 10 Teoremi sul calcolo delle probabilità 10 PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI DUE EVENTI: • Siano A e B due eventi; allora risulta: • In particolare, se A e B sono incompatibili:
- 11. Fare clic per modificare lo stile del titolo 11 Teoremi sul calcolo delle probabilità 11 PROBABILITA’ DELL’EVENTO CONTRARIO: • Se A è un evento e A è il suo evento contrario, allora: «Un sacchetto contiene 50 palline, 10 bianche 15 rosse e 25 verdi ; Calcolare la probabilita' che, estraendo una pallina a caso essa sia rossa o verde.» Probabilita' di uscita di una pallina bianca = Probabilita' di uscita di una pallina rossa o verde =
- 12. Fare clic per modificare lo stile del titolo 12 Probabilità condizionata 12 • Siano A e B due eventi, con B di probabilità non nulla. Si definisce probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B, e si indica con il simbolo p(A|B), il rapporto tra la probabilità di A∩B e la probabilità di B:
- 13. Fare clic per modificare lo stile del titolo 13 Proprietà delle probabilità condizionate 13 • Dati tre eventi A, B, H, con H di probabilità non nulla, risulta:
- 14. Fare clic per modificare lo stile del titolo 14 Prove ripetute 14 • La probabilità che si realizzino k successi nell’esecuzione di n prove identiche e indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità di successo è p, è uguale a: