�ݺ�ߣ

TURUNAN PARSIAL
MATERI KALKULUS II

Turunan Parsial
• Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi
disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah
turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur
kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.
• Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis
didefinisikan sbb.





 





 h
y
x
f
y
h
x
f
y
x
f
y
x
f
x h
x
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
0
)
,
(
)
,
( y
x
f
y
x
f
x
z
x
x







• Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis
didefinisikan sbb.
Contoh:
)
,
(
)
,
( y
x
f
y
x
f
y
z
y
y











 





 k
y
x
f
k
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y k
y
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
0
  .
2
2
lim
2
lim
]
[
]
)
[(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
x
:
Lengkapnya
.
2
maka
)
,
(
0
2
0
2
2
2
2
0
0
2
2
x
h
x
h
h
xh
h
y
x
y
h
x
h
y
x
g
y
h
x
g
y
x
g
x
z
x
y
x
y
x
g
z
h
h
h
h










 








 









 















x
f

 adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x
adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan
memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut
turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y
y
f


Lambang lain
y
f


x
f


= fx (x,y) (1.a) = fy (x,y) (1.b)

xx
f
x
f
x
f
x














2
2
yy
f
y
f
y
f
y
















2
2 yx
f
y
x
f
y
f
x
















 2
Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakan
fungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut,
disebut turunan parsial kedua.

Contoh
)
cos(
2
xy
y
y
x
f




)
cos(
2 xy
x
xy
y
f




xy
x
x
xy
x
xy
y
y
f
y
y
f
sin
2
))
cos(
2
( 2
2
2





















  xy
y
xy
y
y
x
x
f
x
x
f
sin
)
cos( 2
2
2
2


















  )
cos(
cos
2
)
cos(
2
xy
xy
xy
y
xy
y
y
y
x
f
y

















  )
cos(
cos
2
)
cos(
2 xy
xy
xy
y
xy
x
xy
x
y
f
x










































x
f
y
y
f
x
Misalkan f(x,y)=xy2 – sin (xy). Maka ..,

SOAL LATIHAN
• Tentukan turunan parsial fungsi-fungsi di bawah
ini:
1. z = ln y
x 
2. z = 36 – x2
– y2
3. z = 3 -
)
sin(
1
y
x 
4. z = xy2
– 2x2
+ 3y3
5. z = arc tan
x
y
6. F(x,y,z) = xy – yz + xz
7. F(x,y,z) = 3 2
2
2
z
y
x 

8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2e xy
9. F(x,y,z) = arc sin 





z
xy

Differensial Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka
diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-
turut dinotasikan dengan
x
y
x
F
x
z




 )
,
(
------------- (1) dan
y
y
x
F
y
z




 )
,
(
------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dx
x
y
x
F
dz



)
,
(
dan dy
y
y
x
F
dz



)
,
(
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = dx
x
y
x
F

 )
,
(
+ dy
y
y
x
F

 )
,
(
Bentuk di atas disebut diferensial total.

Contoh :
Hitunglah diferensial total fungsi pada
f(x,y)=xy2 – sin (xy).
Jawab.
fx = y2 – y cos (xy) dan fy = 2xy - x cos (xy)
Sehingga turunan totalnya :
df = (y2 – y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy

Aturan Rantai
• Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial,
terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai
turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t),
y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial
• Contoh:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






?
; 3
2




dt
dw
t
y
t
x
e
w xy

• Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi
dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara
dan variabel bebas.
Aturan rantai menghasilkan:
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz






















Contoh:
Diketahui u= x2
+ y2
; x= re s
; dan y= re –s
Maka tentukanlah:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
,
𝑑𝑢
𝑑𝑦
,
𝑑𝑥
𝑑𝑟
,
𝑑𝑥
𝑑𝑠
,
𝑑𝑦
𝑑𝑟
,
𝑑𝑦
𝑑𝑠
,
𝑑𝑢
𝑑𝑟
, dan
𝑑𝑢
𝑑𝑠
Jawab:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2x
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 2y
𝑑𝑥
𝑑𝑟
= es 𝑑𝑦
𝑑𝑟
= e-s
𝑑𝑥
𝑑𝑠
= res 𝑑𝑦
𝑑𝑠
= - re-s
𝑑𝑢
𝑑𝑟
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑟
+
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑟
=( 2x)(es
) + (2y)( e-s
) = 2xes
+ 2ye-s
𝑑𝑢
𝑑𝑠
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=(2x)( res
)+ (2y)( - re-s
) = 2x res
- 2y re-s
= r (2xes
- 2ye- s

�ݺ�ߣ

Ringkasan Materi Turunan Parsial Matematika

Recommended

More Related Content

Similar to Ringkasan Materi Turunan Parsial Matematika (20)

Recently uploaded (20)

Ringkasan Materi Turunan Parsial Matematika