�ݺ�ߣ

สรุปสูตร เรื่องตรีโกณมิติ
วงกลมหนึ่งหน่วย
x
y
tan  ,...
2
5
,
2
3
,
2





1. ,นิยาม ysin  และ xcos ดังนั้น 
y
x
cot  , ,...3,2, 
x
1
sec  , ,...
2
5
,
2
3
,
2






y
1
csc  , ,...3,2, 
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
b
a
Äsin 
a
b
ecAcos 
b
c
Acos 
c
b
Asec 
c
a
Atan 
a
c
Acot 
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ฟังก์ชัน 0 o
30
6

 o
45
4

 o
60
3

 o
90
2

 o
180
sin 0
2
1
2
2
2
1

2
3 1 0
cos 1
2
3
2
2
2
1

2
1
0 1
tan 0
3
1
1 3 _ 0
cot _ 3 1
3
1
0 _
sec 1
3
2
2 2 _ 1
cosec _ 2 2
3
2
1 _

4. การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง
2
0

ถ้ากําหนดให้
 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 42 
 sin)sin(  sin)sin(  sin)2sin(  sin)sin(
 cos)cos(  cos)cos(  cos)2cos(  cos)cos(
 tan)tan( tan( ) tan      tan)2tan(  tan)tan(
กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน
o
180 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 4o
180 o
360 
 sin)180sin( o
 sin)180sin( o
 sin)360sin( o
 sin)sin(
 cos)180cos( o
 cos)180cos( o
 cos)360cos( o
 cos)cos(
 tan)180tan( o
 tan)180tan( o
 tan)360tan( o
 tan)tan(
ในทํานองเดียวกันถ้า และเป็นฟังก์ชันของมุมที่เกินรอบIn 
 sin)n2sin(  sin)n2sin(
 cos)n2cos(  cos)n2cos(
 tan)n2tan(  tan)n2tan(
หมายเหตุ สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับ ทุกขนาดของมุมหรือจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันต้องเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน
(co-function)


2
3


2
3


2


2
อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4


cos)
2
sin( 

cos)
2
sin( 

cos)
2
3
sin( 

cos)
2
3
sin(


sin)
2
cos( 

sin)
2
cos( 

sin)
2
3
cos( 

sin)
2
3
cos(


cot)
2
tan( 

cot)
2
tan( 

cot)
2
3
tan( 

cot)
2
3
tan(
กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน
o
90 อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ควอดรันต์ 3 อยู่ควอดรันต์ 4o
90 o
270 o
270
 cos)90sin( o
 cos)90sin( o
 cos)270sin( o
 cos)270sin( o
 sin)90cos( o
 sin)90cos( o
 sin)270cos( o
 sin)270cos( o
 cot)90tan( o
 cot)90tan( o
 cot)270tan( o
 cot)270tan( o
22
ba 5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ คือ cosbsina

6. เอกลักษณ์พื้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้ เป็น มุม , ความยาวส่วนโค้ง หรือ จํานวนจริงใด ๆ
1cossin 22
  2
cos1sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ 
 2
sin1cos จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ 
และ 22
eccoscot1  22
sectan1
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ
แอมพลิจูด
xsiny  R ]1,1[ 2
xcosy  R ]1,1[ 2
xtany 













 

2
1n2
xx
In 
R 
xcoty    nxx
In 
R 
xsecy 













 

2
1n2
xx
In 
),1[]1,(  2
ecxcosy 
  nxx
In 
),1[]1,(  2

สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจํานวนจริง
)BAsin(   BsinAcosBcosAsin 
)BAsin(   BsinAcosBcosAsin 
)BAcos(   BsinAsinBcosAcos 
)BAcos(   BsinAsinBcosAcos 
)BAtan(  
BtanAtan1
BtanAtan


)BAtan(  
BtanAtan1
BtanAtan


)BAcot(  
AcotBcot
1BcotAcot


)BAcot(  
AcotBcot
1BcotAcot


สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 2 เท่า
2
A
cos
2
A
sin2 A2sin หรือ AcosAsin2  Asin 
2
A
sin
2
A
cos 22
A2cos หรือ AsinAcos 22
 Acos 
1
2
A
cos2 2
หรือ 1Acos2 2
 Acos 
2
A
sin21 2
 Asin21 2
 หรือ Acos 
2
A
tan1
2
A
tan2
2

A2tan 
Atan1 2

Atan2
Atanหรือ 
A2cot 
Acot2
1Acot2

Atan1
Atan2
2
 Atan1
Atan2
2

เนื่องจาก เราสามารถหาA2tan  A2sin 

Atan1
Atan1
2
2


A2cos
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 3 เท่า
A3sin Asin4Asin3 3

A3cos  Acos3Acos4 3

A3tan 
Atan31
AtanAtan3
2
3


A3cot 
1cot3
Acot3Acot
2
3


สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่ง
2
A2cos1
Asin2

2
A2cos1
หรือ Asin 
2
A2cos1
Acos2
2
A2cos1
หรือ Acos 

A2cos1
A2cos1


Atan2
A2cos1
A2cos1


หรือ Atan 
ค่าของฟังก์ชันของมุมบางมุมที่ควรทราบ
o
 o
15sin 75cos
4
26
22
13 


o o
75sin 15cos
4
26
22
13 


o o
15tan 75cot
13
13


o
 o
75tan 15cot
13
13


o
18sin  o
72cos
4
15 
o
18cos o
72sin 
4
5210 
o
36cos  o
54sin
4
15 
o o
36sin 54cos
4
5210 
o
 o
5.22sin 5.67cos
2
22 
o o
5.22cos 5.67sin
2
22 
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน
BcosAsin2   )BAsin()BAsin(  หรือ cossin2  )diffsin()sumsin( 
BsinAcos2   )BAsin()BAsin(  หรือ )diffsin()sumsin( sincos2  
BcosAcos2   )BAcos()BAcos(  หรือ coscos2  )diffcos()sumcos( 
BsinAsin2   )BAcos()BAcos(  หรือ sinsin2  )sumcos()diffcos( 
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันเป็นผลคูณของฟังก์ชัน
 




 





 
2
BA
cos
2
BA
sin2BsinAsin 
 




 





 
2
BA
sin
2
BA
cos2BsinAsin 
 




 





 
2
BA
cos
2
BA
cos2BcosAcos 
BcosAcos   




 





 
2
AB
sin
2
BA
sin2 




 





 

2
BA
sin
2
BA
sin2หรือ
ooo
80sin40sin20sin  
8
3
หรือ 
16
3oooo
80sin60sin40sin20sin 
ooo
80cos40cos20cos  
8
1
หรือ 
16
1oooo
80cos60cos40cos20cos 

อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดเมนของ เรจน์ของ
ฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันอินเวอร์ส
xsiny  ysinx  xarcsiny  หรือ
xsiny 1

]1,1[





 

2
,
2
xcosy  ycosx  xarccosy  หรือ
xcosy 1

]1,1[
 ,0
xtany  ytanx  xarctany 
สูตรความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณมิติ
1. )xarcsin(  xarcsin   1,1x 
2. )xarccos(  xarccos   1,1x 
3. )xarctan(  xarctan  Rx 
4. )xsin(arcsin x   1,1x  และ
)xarcsin(sin x  




 

2
,
2
x ดังนั้น
)xsin(arcsin )xarcsin(sin   1,1x 
5. )xcos(arccos x   1,1x  และ
)xarccos(cos x    ,0x ดังนั้น
)xcos(arccos )xarccos(cos   1,1x 
6. )xtan(arctan  x  Rx  และ
)xarctan(tan  x  




 

2
,
2
x ดังนั้น
)xtan(arctan  )xarctan(tan  




 

2
,
2
x
หรือ
xtany 1

R 




 

2
,
2
หรือxcoty  ycotx  xcotarcy 
xcoty 1

R
),0( 
xsecy  ysecx  xsecarcy  หรือ
xsecy 1

)1,1(R   







2
,0
xcscy  ycscx  xcscarcy  หรือ
xcscy 1

)1,1(R   0
2
,
2





 


7. )xcotarccot( x  Rx  และ
)xcot(cotarc x  ),0(x  ดังนั้น
)xcotarccot( )xcot(cotarc  ),0(x 
8. )xsecarcsec( x  )1,1(Rx  และ
)xsec(secarc x   







2
,0x ดังนั้น
  







2
,0x)xsecarcsec( )xsec(secarc
9. )xcscarccsc( x  )1,1(Rx  และ
)xcsc(cscarc x   0
2
,
2
x 




 
 ดังนั้น
)xsecarcsec( )xsec(secarc  )1,1(Rx 
10. yarctanxarctan  
xy1
yx
arctan



2
yarctanxarctan
2




yarctanxarctan  
xy1
yx
arctan



2
yarctanxarctan
2




yarctanxarctan  
xy1
yx
arctan


 
2
yarctanxarctan


yarctanxarctan  
xy1
yx
arctan


 
2
yarctanxarctan


 2
x1
x2
arctan

11. xarctan2
12. xarcsin  2
x1arccos 

2
x1
x
arctan


x
x1
cotarc
2


2
x1
1
secarc


x
1
cscarc
13. xarccosxarcsin  
2

  1,1x 
xcotarcxarctan  
2

 Rx 
xcscarcxsecarc  
2

  1,1Rx 
การแก้สมการตรีโกณมิติ
1. ถ้าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปทั่วไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์ R ดังนี้
2.1 ถ้า คําตอบของสมการ คือ sinxsin  n
)1(nx
2.2 ถ้า คําตอบของสมการ คือ cosxcos  n2x

2.3 ถ้า คําตอบของสมการ คือ tanxtan  nx
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการ คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันและมุมเดียวกัน
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้อสมการตรีโกณมิติ
ใช้หลักเหมือนกับการแก้สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวแปรใด ๆ
การแก้รูปสามเหลี่ยม
ใช้หลักดังนี้คือ
1. ถ้าสามเหลี่ยมดังกล่าวนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
2. ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้
Csin
c
Bsin
b
Asin
a
2.1 กฎของไซน์ คือ
2.2 กฎของโคไซน์ คือ
bc2
acb
AcosAcosbc2cba
222
222 

ac2
bca
BcosBcosac2cab
222
222 

ab2
cba
CcosCcosab2bac
222
222 

2.3 กฎของโปรเจกชัน
BcoscCcosba 
AcoscCcosab 
AcosbBcosac 

2
1
ฐาน สูง3. การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม 
Csinab
2
1

)cs)(bs)(as(s  )cba(
2
1
โดยที่ s 
4. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

2
1
ฐานโค้ง รัศมี ตารางหน่วย4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ง 
1
r
2
  
4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลาง 2
o
r
360


 ตารางหน่วย
2
r
2





�ݺ�ߣ

ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ (13)

More from native (20)

ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ