�ݺ�ߣ

เรื่อง ลาดับ
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน
1 f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} {3, 4, 5} {1, 2, 3}
2 f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} {1, 2, 3} {x, y, z}
3 f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}
4 f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . }
5 f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . }
6 f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}
7 f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15,
17)}
8 f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

สรุป โดเมนของฟังก์ชัน คือ ………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง รหัสที่ 1.1

ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน
3 {1, 2, 3, . . . , 8} {3, 4, 5, . . . , 10}
4 {1, 2, 3, . . . } {6, 7, 8, . . . }
5 {1, 2, 3, . . . } {a, b, c, . . .}
6 {2, 4, 8} {3, 6, 12}
7 {5, 7, 9, . . . , 15} {7, 9, 11, . . . , 17}
8 {1, 2, 3, . . . } {3, 4, 5, . . .}

สรุป โดเมนของฟังก์ชัน คือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อนดับทุกคู่อั�Ȩ��ับในฟังก์ชัน
ั
เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อั�Ȩ��ับทุกคู่อั�Ȩ��ับในฟังก์ชัน

เรื่องลาดับ

ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับ
เป็น ไม่เป็น
1 f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} {1, 2, 3, 4} -
2 f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } {2, 4, 6, . . . } -
3 f3 = {(1, 5), (2, 7), (3, 12), (4, 17), (5,
22)}
4 f4 = {(1, 5), (2, 7), (3, 9)}
5 f5 = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16)}
6 f6 = {(2, 1), (4, 2), (8, 3), (16, 4)}
7 f7 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)}
8 f8 = {( 1 , 1), ( 2 , 3), ( 3 , 3)}
2 3 4
9 f9 = {(x, y) | y = 3x + 1 , x I- }
10 f10 = {(a, b) | b = 2a + 2 , a I+}

สรุป ลาดับ คือ …………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………


ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับ
เป็น ไม่เป็น
3 {1, 2, 3, 4, 5} -
4 {1, 2, 3} -
5 {1, 2, 3, 4} -
6 {2, 4, 8, 16} -
7 {1, 2, 3, 4} -
8 1 2 3 
 , , 
-
2 3 4 
9 { I- } -
10 { I+ } -

สรุป ลาดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ
ลาดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก

เรื่อง ลาดับ

ข้อที่ ฟังก์ชัน โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับ ลาดับ
จากัด อนันต์
1 f1 = {(1, -1), (2, 5), (3, 11), (4, 17)} {1, 2, 3, 4} -
2 f2 = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), . . . } {1, 2, 3, . . . } -
3 f3 = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}
4 f4 = {(1, 1), (2, 1 ), (3, 1 9), (4, 1 )}
2 3 4
5 f5 = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), . . . , (7, 16)}
6 f6 = {(1, 3), (2, 12), (3, 27), (4, 48), . . . }
7 f7 = {(x, y) | y = 4x เมื่อ x = 1, 2, 3, . . .,
10}
8 f8 = {(x, y) | y = x2 + 2 เมื่อ x = 1, 2, 3,
4}
9 f9 = {(x, y) | y = x + 2 เมื่อ x I+ }
10 f10 = {(x, y) | y = x2 - 1 เมื่อ x I+}

สรุป ลาดับจากัด คือ ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ลาดับอนันต์ คือ ……………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………


ข้อที่ โดเมนของฟังก์ชัน ลาดับจากัด ลาดับอนันต์
3 {1, 2, 3, 4, 5} -
4 {1, 2, 3, 4} -
5 {1, 2, 3, . . . , 7} -
6 {1, 2, 3, 4, . . .} -
7 {1, 2, 3, . . . , 10} -
8 {1, 2, 3, 4} -
9 {1, 2, 3, . . . } -
10 {1, 2, 3, . . . } -

สรุป ลาดับจากัด คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก n ตัว
แรก
ลาดับอนันต์ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเต็มบวก

ความหมายของลาดับ
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาฟังก์ชันแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นหรือไม่เป็นลาดับ แล้วเติมคาตอบ
ลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ฟังก์ชัน คาตอบ
1 f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }
2 f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
3 f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}
4 f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)}
5 f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)}
6 f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}
7 f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมื่อ x = 1, 2, 3 }
8 f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมื่อ x  I+ }
9 f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมื่อ a = 1, 2, 3, 4 }
10 f10 = {(x, y) | y = x3 เมื่อ x = 1, 2, 3, . . . }

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ …………………………………..
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ขยันเรียนคณิตสักนิด
ชีวิตจะก้าวไกล
จริงไหม !

ความหมายของลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณาลาดับแต่ละข้อต่อไปนี้ว่าเป็นลาดับจากัดหรือลาดับอนันต์
แล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ คาตอบ
1 4, 7, 10, 13, 16, . . .
2 2, 5, 8, 11, 14
3 1, 4, 9, 16, 25, . . .
4 6, 10, 14, 18, 22, 26
5 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38
6 an = 8n เมื่อ n = 1, 2, 3, 4
7 an = 3n + 7 เมื่อ n  I+
8 an = 2n2 – 1 เมื่อ n = 1, 2, 3
9 an = n3 เมื่อ n  I+
10 an = 2n – 10 เมื่อ n = 1, 2, 3, . . .

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ …………………………………..
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… ขยัน ใฝ่รู้ อดทน
เป็นสมบัติส่วนหนึ่งของนัคณิตศาสตร์
แล้วคุณละมีสมบัติเช่นนี้หรือยัง

เฉลยแบบฝึกทักษะ รหัสที่ 1.1

1. เป็นลาดับ 6. เป็นลาดับ
3. ไม่เป็นลาดับ 8. เป็นลาดับ
5. ไม่เป็นลาดับ 10. เป็นลาดับ


1. ลาดับอนันต์ 6. ลาดับจากัด
2. ลาดับจากัด 7. ลาดับอนันต์
3. ลาดับอนันต์ 8. ลาดับจากัด

ใบความรู้
จุดประสงค์การเรียนรู้
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ได้

สาระสาคัญ
การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ คือ การเขียนลาดับเรียงจากพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3
ไปเรื่อย ๆ แล้วคั่นแต่ละพจน์ด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น 3, 5, 7, . . .

สาระการเรียนรู้
การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
พิจารณา f(n) = n + 3 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4}
ถ้า n = 1 จะได้ f(1) = 1 + 3 = 4
n = 2 จะได้ f(2) = 2 + 3 = 5
n = 3 จะได้ f(3) = 3 + 3 = 6
n = 4 จะได้ f(4) = 4 + 3 = 7
เมื่อนาค่าเหล่านี้มาเขียนเรียงกันจะได้ f(1), f(2), f(3), f(4) ซึ่งเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของ
ลาดับ
จะเห็นว่า โดเมน คือ {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ คือ {4, 5, 6, 7}
เรียกลาดับข้างต้นนี้ว่า ลาดับจากัด
และเรียก f(1) ว่าพจน์ที่ 1 ของลาดับ แทนด้วย a1
f(2) ว่าพจน์ที่ 2 ของลาดับ แทนด้วย a2
แต่ f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
f(4) = 7
ดังนั้น 4, 5, 6, 7 จึงเรียกว่า ลาดับเช่นเดียวกัน
ซึ่งการเรียงลาดับในลักษณะนี้เรียกว่า การเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
และเรียก 4 ว่า พจน์ที่ 1 ของลาดับ (a1)
5 ว่า พจน์ที่ 2 ของลาดับ (a2)

ตัวอย่างที่ 1 กาหนด f(n) = 2n – 1 เมื่อ n  {1, 2, 3, 4, 5}
จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก f(n) = 2n – 1
f(1) = 2(1) – 1 = 1
f(2) = 2(2) – 1 = 3
f(3) = 2(3) – 1 = 5
f(4) = 2(4) – 1 = 7
f(5) = 2(5) – 1 = 9

 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 1, 3, 5, 7, 9

ตัวอย่างที่ 2 กาหนด an = 10 – 2n เมื่อ n  {1, 2, 3, . . ., 9}
จงเขียนลาดับในรูปแจงพจน์
วิธีทา จาก an = 10 – 2n
a1 = 10 – 2(1) = 8
a2 = 10 – 2(2) = 6
a3 = 10 – 2(3) = 4
.. .. . .
. . .
a9 = 10 – 2(9) = -8

 ลาดับในรูปแจงพจน์ คือ 8, 6, 4, . . . , -8

หมายเลข  ควรเติมคาว่า …………………………
หมายเลข  ควรเติมคาว่า …………………………

ลาดับจากัด


ลาดับ
ลาดับอนันต์



แบบพจน์ทั่วไป แบบแจงพจน์
หรือพจน์ที่ n (an)

เขียนลาดับในรูปแจงพจน์
คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับในรูปแจงพจน์ โดยการเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อ
ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์

1. an = 2n – 1 3. an = 1  2n
1 - 3n
a1 = 2(1) – 1 = 1
a1 = ……………………………..
a2 = 2(2) – 1 = 3
a2 = ……………………………..
a3 = ……………………………..
a3 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
a4 = ……………………………..
a5 = ……………………………..
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
……………………………………………
…………………………………………..
2. an = 2n2 – 2 4. an = 2n2
a1 = 2(12) – 2 = ……………… a1 = ……………………………..
a2 = …………………………….. a2 = ……………………………..
a3 = …………………………….. a3 = ……………………………..
..
a4 = …………………………….. .
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ a10 = ……………………………..
…………………………………………… เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
……………………………………………

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผู้ตรวจ ………………………………….. ชีวิตจะรุ่งโรจน์ ถ้าไม่โดด
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… เรียนคณิต


1. an = 2n – 1 3. an = 1  2n
1 - 3n
a1 = 2(1) – 1 = 1 1  2(1) 3
a2 = 2(2) – 1 = 3 a1 = 1 - 3(1)
 -
2
a3 = 2(3) – 1 = 5 a2 = 1  2(2)
 -1
a4 = 2(4) – 1 = 7 1 - 3(2)
1  2(3) 7
a5 = 2(5) – 1 = 9 a3 = 1 - 3(3)
 -
8
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ 1  2(4) 9
a4 =  -
1, 3, 5, 7, 9 1 - 3(4) 11
3 7 9
- , -1 , - , -
2 8 11

2. an = 2n2 – 2 4. an = 2n2
a1 = 2(12) – 2 = 0 a1 = 2(12) = 2
a2 = 2(22) – 2 = 6 a2 = 2(22) = 8
a3 = 2(32) – 2 = 16 a3 = 2(32) = 18
.. . .
a4 = 2(42) – 2 = 30 . .. 2 ..
เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ a10 = 2(10 ) = 200
0, 6, 16, 30 เขียนลาดับในรูปแจงพจน์ จะได้ลาดับ คือ
2, 8, 18, . . . , 200

ใบความรู้

จุดประสงค์การเรียนรู้
หาพจน์ทั่วไปของลาดับที่กาหนดให้ได้

สาระสาคัญ
พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2
เมื่อ n = 1, 2, 3

สาระการเรียนรู้
การหาพจน์ทั่วไปของลาดับจากัด
พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดหรือพจน์ที่ n เขียนแทนด้วย an เช่น an = 4n + 2
เมื่อ n = 1, 2, 3 ซึ่งในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง
an กับ n แล้วจึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 3, 5, 7, 9, 11
วิธีทา จากลาดับจากัด 3, 5, 7, 9, 11
จะได้ a1 = 3 = (2  1) + 1
a2 = 5 = (2  2) + 1
a3 = 7 = (2  3) + 1
a4 = 9 = (2  4) + 1
a5 = 11 = (2  5) + 1

 พจน์ทั่วไปของลาดับนี้คือ 2n + 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลาดับ 15, 18, 21, 24, 27, 30
วิธีทา จากลาดับจากัด 15, 18, 21, 24, 27, 30
จะได้ a1 = 15 = 3 + 12 = 3(1) + 12
a2 = 18 = 6 + 12 = 3(2) + 12
a3 = 21 = 9 + 12 = 3(3) + 12
a4 = 24 = 12 + 12 = 3(4) + 12
a5 = 27 = 15 + 12 = 3(5) + 12
a6 = 30 = 18 + 12 = 3(6) + 12
 พจน์ทั่วไปของลาดับจากัดนี้คือ 3n + 12 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

นักเรียนทราบหรือยังว่าการเขียนลาดับมีอยู่ 2 วิธี คือ

การเขียนลาดับ

หาพจน์ทั่วไปของลาดับ
คาชี้แจง ให้นักเรียนเขียนลาดับที่กาหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปพจน์ทั่วไปหรือ
พจน์ที่ n แล้วเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์

ข้อที่ ลาดับที่กาหนดให้ พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n
1 4, 7, 10, 13, 16
2 2, 4, 8, 16, 32, 64
3 9, 13, 17, 21, . . .
4 9, 6, 0, -3, . . .
5 1 2 3 4
, , , ,...
2 3 4 5
6 2, 5, 8, 11, 14
7 5, 6, 7, 8, 9, 10
8 8, 9, 10, 11, 12, 13

คะแนนที่ได้ = ………………………… การหาพจน์ทั่วไปหรือ
ผู้ตรวจ ………………………………….. พจน์ที่ n (an) หาโดย
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ……… การพิจารณาความสัมพันธ์
ระหว่าง an กับ n แล้ว
จึงสรุปเป็นกฎเกณฑ์
นะ !


ข้อที่ พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n
1 an = 3n + 1
2 an = 2n
3 an = 4n + 5
4 an = 12 – 3n
5 an = n
n 1
6 an = 3n – 1
7 an = n + 4
8 an = n + 7

�ݺ�ߣ

ลำึϸ�บ

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to ลำึϸ�บ (20)

More from aoynattaya (15)

ลำึϸ�บ