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平面への射影と行列
- 1. 3次元ユークリッド空間の座標をt(x,y,z)と表す。 平面 x+2y+3z=0に関して、次の問いに答えなさい。 (1)平面に直行する長さ1のベクトルを求めなさい。 答え 1/ 14t(1,2,3) (2)Aと平面に対して対称な点F(a)をもt目なさい。 またこのFの表現行列を求めなさい。 F(a)=a+knとかける。ただしn=/ 14t(1,2,3) <F(a),n>+k<n,n>=<b,n> k=<b,n>-<a,n> 一方a,bの中点は平面上にあるので <(a+b)/2,n>=0 <b,n>=-<a,n> よってF(a)=a-2<a,n>n Ft(1,0,0)=1/7t(6,-2,-3) Ft(0,1,0)=1/7(-2,3,-6) Ft(0,0,1)=1/7t(-3.-6,-2) 表現行列は 6 ?2 ?3 ?2 3 ?6 ?3 ?6 ?2 (3)(2)で求めた行列を対角化する直行行列Pを求めなさい。 表現行列の固有値は-1(重解)１ それぞれの固有値を計算することより P= 1 701/2 51/2 ?2 14 1/2 ?3 2 5 1/2 141/2 ?6 3 5 1/2 0 5