![1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
....
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
=
+
-
+
+
-
+
=
x
3
x
2
lim
1
x
3
2
lim
2
x
2
x
x
lim
3
x
2
lim
1
x
3
lim
2
lim
2
x
2
x
2
x
2
x
+
-
+
=
2
3
)
2
(
2
1
)
2
(
3
2 +
-
+
=
14
45
2
7
7
2
-
=
-
=
14
45
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
-
=
+
-
+
1a
.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-37-320.jpg)
![....
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
=
-
+
)
5
x
2
(
lim
)
4
x
(
lim
5
x
5
x
-
+
=
)
5
lim
x
2
lim
(
)
4
lim
x
lim
(
5
x
5
x
5
x
5
x
-
+
=
)
5
5
2
(
)
4
5
( -
+
=
5
9
=
45
=
45
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
=
-
+
1b
.
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-38-320.jpg)
![Bukti
:
2a
.
(terbukt
i)
....
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim 2
c
x
2
c
x
+
=
2
c
x
2
c
x
)]
x
(
g
lim
[
)]
x
(
f
lim
[
+
=
2
2
]
1
[
3 -
+
=
1
9+
=
10
=
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-39-320.jpg)
![Bukti
:
2b
.
(terbukt
i)
[ ] ....
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
)
x
(
g
lim
)
c
x
(
lim
)
x
(
f
lim
c
x
c
x
c
x
-
+
=
)
1
(
)
c
c
(
3 -
-
+
=
)
1
(
0
3 -
+
=
3
=
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-40-320.jpg)
![Bukti
:
2c
.
(terbukt
i)
[ ] ....
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
=
+
[ ]
3
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
lim
c
x
3
c
x
+
=
+
=
3
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
g
lim
c
x
c
x
3
c
x
[ ]
3
3
1
3 +
-
=
[ ]
6
1
-
=
6
-
=
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+
1. Dengan menggunakan teorema
limit hitunglah nilai dari:
a.
+
-
+
x
3
x
2
1
x
3
2
lim
2
x
b.
2. Jika dan
buktikan dengan teorema limit
bahwa:
1
)
x
(
g
lim
c
x
-
=
3
)
x
(
f
lim
c
x
=
a.
b.
c.
)
5
x
2
)(
4
x
(
lim
5
x
-
+
10
)
x
(
g
)
x
(
f
lim 2
2
c
x
=
+
[ ] 3
)
x
(
g
)
c
x
(
)
x
(
f
lim
c
x
=
-
+
[ ] 6
3
)
x
(
f
)
x
(
g
lim3
c
x
-
=
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-41-320.jpg)
![3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka kecepatan
sesaat pada t = 4 adalah:
Jadi, kecepatan sesaat benda
adalah: 8 m/detik
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+
h
]
2
4
[
]
2
)
h
4
[(
lim
2
2
0
h
+
-
+
+
=
h
]
2
16
[
]
2
h
h
8
16
[
lim
2
0
h
+
-
+
+
+
=
h
18
18
h
8
h
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
)
8
h
(
h
lim
h
h
8
h
lim
0
h
2
0
h
+
=
+
=
8
)
8
h
(
lim
0
h
=
+
=](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-42-320.jpg)
![2. Total untung: L(t)=1500t2. Maka
keuntungan marjinal untuk t = 5
adalah:
Jadi, keuntungan marjinal
perusahaan: 15000 dollar/tahun.
h
]
)
5
(
1500
[
]
)
h
5
(
1500
[
lim
2
2
0
h
-
+
=
h
)]
25
(
1500
[
)]
h
h
10
25
(
1500
[
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
]
37500
[
]
h
1500
h
15000
37500
[
lim
2
0
h
-
+
+
=
h
h
15000
h
1500
lim
2
0
h
+
=
h
)
15000
h
1500
(
h
lim
0
h
+
=
15000
)
15000
h
1500
(
lim
0
h
=
+
=
3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-43-320.jpg)
![3. Berat tumor: w(t)=0,1t20,05t.
Maka laju pertumbuhan tumor
untuk t = 10 adalah:
Jadi, laju pertumbuhan tumor
adalah:
1,95 gram/minggu.
h
)]
10
(
05
,
0
)
10
(
1
,
0
[
)]
h
10
(
05
,
0
)
h
10
(
1
,
0
[
lim
2
2
0
h
-
-
+
-
+
=
h
]
5
,
0
)
100
(
1
,
0
[
]
h
05
,
0
5
,
0
)
h
h
20
100
(
1
,
0
[
lim
2
0
h
-
-
-
-
+
+
=
h
5
,
0
10
h
05
,
0
5
,
0
h
1
,
0
h
2
10
lim
2
0
h
+
-
-
-
+
+
=
h
)
95
,
1
h
1
,
0
(
h
lim
h
h
95
,
1
h
1
,
0
lim
0
h
2
0
h
+
=
+
=
95
,
1
95
,
1
)
0
(
1
,
0
)
95
,
1
h
1
,
0
(
lim
0
h
=
+
=
+
=
3. Berat dalam gram dari suatu tumor
yang membahayakan pada saat t
adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur
dalam minggu. Berapa laju
pertumbuhan tumor jika t = 10
minggu?
2. Sebuah perusahaan dalam waktu t
tahun memperoleh keuntungan
total sebesar L(t)=1500t2 dollar.
Berapa laju keuntungan sesaat
(keuntungan marjinal) saat t = 5?
1. Sebuah benda bergerak selama t
detik menempuh jarak s meter,
ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2.
Tentukan kecepatan sesaat pada t
= 4.
Gunakan
rumus:
untuk menyelesaikan permasalahan
berikut.
h
)
t
(
f
)
h
t
(
f
lim
0
h
-
+](https://image.slidesharecdn.com/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-240726004239-3ed15c74/85/startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6-ppt-44-320.jpg)
More Related Content
Similar to startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6.ppt (20)
Recently uploaded (20)
startingcontohmatematika-220901213612-79eebdb6.ppt
- 2. Matematika SMA ( Semester Genap ) Sasaran : Kelas XI Durasi Sajian : 3 x 45 Menit P e n u l i s : Teopilus Malatuni SMA Negeri 1 Kaimana, Provinsi Papua Barat Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi dalam Pemecahan Masalah
- 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Standar Kompetensi Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. Kompetensi Dasar
- 4. Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik terhingga dan tak terhingga; Dapat menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri; Dapat menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu limit fungsi aljabar dan trigonometri. Tujuan Pembelajaran
- 5. Penting untuk bernalar matematis; Sangat membantu dalam memahami bidang kajian lain seperti fisika, kimia, biologi, teknik, ekonomi, dan lain-lain. Mengapa Belajar Limit ?
- 7. Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda. Jarak burung dari waktu ke waktu akan semakin dekat dengan sangkar, dan pada waktu tertentu akan tiba dalam sangkar mereka. Tahukah Anda, bahwa kejadian ini mempunyai hubungan dengan Matematika? Salah satu konsep pemikiran matematis yang berkaitan dengan kejadian ini adalah konsep limit. Jadi, jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) adalah sebagai berikut: Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x); Jarak kedua ekor burung semakin X L y = f(x) x= c L ) x ( f lim c x = Ditulis :
- 8. L ) x ( f lim c x = L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L ) x ( f lim c x c x c x = = = + - Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L. Definisi ini tidak mensyaratkan agar fungsi f(x) terdefinisi di c. Yang perlu ditinjau adalah perilaku fungsi f(x) yang mendekati (sedekat- dekatnya) dengan c. Seberapa dekat? Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri. 0 X Y c L f(x ) Dari gambar grafik tersebut nampak bahwa: Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka nilai f(x) akan semakin mendekati L. Sehingga kita peroleh:
- 9. 0 X Y 3 6 x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari kanan x 2,5 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 3,5 f(x 5,5 5,99 5,999 ... 6 ... 6,001 6,01 6,5 f(x) mendekati 6 f(x) mendekati 6 Penyelesaian: Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena akan diperoleh bentuk (bentuk tak tentu). Untuk itu kita perlu menyelidiki beberapa nilai f(x) untuk x mendekati 3 baik dari kiri maupun dari kanan. 0 0 3 x 9 x ) x ( f 2 - - = Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f 2 - - = Contoh 1: Tentukan nilai dari 3 x 9 x lim 2 3 x - - Dengan cara aljabar: 3 x ) 3 x )( 3 x ( lim 3 x 9 x lim 3 x 2 3 x - - + = - - 6 ) 3 x ( lim 3 x = + =
- 10. 0 X Y 2 0 4 0 -20 -40 4 2 x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) -13 -1794,01 -17994 ... ? ... 18006 1806,01 25 f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil f(x) mendekati positif yang sangat x=3 Asimtot Tegak Contoh 2: Tentukan nilai dari 3 x 9 x lim 2 3 x - + Penyelesaian: Fungsi tidak terdefinisi pada x = 3, karena akan diperoleh bentuk (bentuk tak tentu). Kita lakukan pendekatan seperti pada contoh 1, untuk menyelidiki beberapa nilai x yang mendekati 3 baik dari kiri maupun dari kanan. 0 0 3 x 9 x ) x ( f 2 - + = Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f 2 - + =
- 11. Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga. Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga. Karena maka nilai dari: 0 X Y 2 0 4 0 -20 -40 4 2 x=3 Asimtot Tegak Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f 2 - + = - = - + - 3 x 9 x lim 2 3 x + = - + + 3 x 9 x lim 2 3 x 3 x 9 x lim 3 x 9 x lim 2 3 x 2 3 x - + - + + - ada tidak 3 x 9 x lim 2 3 x - +
- 12. 0 X Y + - x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat x - ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... + f(x) 0 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0 f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0) Penyelesaian: Kita perlu menyelidiki beberapa nilai f(x) untuk x mendekati bilangan positif yang semakin besar tanpa batas (+) dan bilangan negatif tanpa batas (-). Beberapa nilai fungsi untuk nilai-nilai x yang besar dan kecil tercantum dalam tabel dan grafik berikut. 1 - x f(x) = 0 x 1 lim x = Jadi, kita peroleh nilai: Contoh 3: Bagaimana dengan ? x 1 lim x
- 13. Start Substitusi x = c Bentuk tak tentu? Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar Lanjutkan Hitung Hasil Stop Tida k Ya Start Rasiona l? Bagi dengan pangkat tertinggi Rasionalkan/ kalikan akar sekawan kemudian bagi pangkat tertinggi Hasil Stop Tida k Ya Langkah-langkah untuk menentukan limit fungsi aljabar secara garis besar ditunjukkan oleh flowchart pada kolom kiri dan kanan. Flowchart untuk menghitung nilai: ) x ( f lim c x Flowchart untuk menghitung nilai: ) x ( f lim x
- 14. Kalikan akar sekawan x 4 2 x 4 2 x 4 2 x lim x 4 2 x lim 0 x 0 x - + - + - - = - - ) 1 x ( ) 1 x x )( 1 x ( lim 1 x 1 x lim 2 1 x 3 1 x - + + - = - - Contoh 4: Tentukan nilai dari: a) b) c) d) Penyelesaian: Untuk soal (a) dan (b) jika dilakukan substitusi akan diperoleh bentuk tak tentu Sehingg a, a) Lakukan pemfaktoran b) Rasionalkan bentuk akar 1 x x lim 2 1 x + + = 3 1 1 12 = + + = 0 0 3 1 x 1 x lim 3 1 x = - - 1 x 1 x lim 3 1 x - - x 4 2 x lim 0 x - - 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2 2 x + - - + ) x 4 ( x 4 2 x 4 2 4 ) x 4 2 ( x lim 0 x - - - - - + - + = x ) x 4 2 ( x lim x 4 4 ) x 4 2 ( x lim 0 x 0 x - + = + - - + = 4 0 4 2 x 4 2 lim 0 x = - + = - + = 4 x 4 2 x lim 0 x = - - ) x 4 x x ( lim 2 x + -
- 15. Kalikan akar sekawan 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3 x x x x 2 x 1 x x 4 x x 3 x 2 2 x lim 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim + - - + = + - - + Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ) x ( 2 c) adalah fungsi rasional. Mengapa ? 2 2 x 3 x 1 x 1 x 4 x 2 3 lim + - - + = 2 3 0 0 2 0 0 3 = + - - + = 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2 2 x + - - + 2 3 3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2 2 x = + - - + Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi. d) bukan fungsi rasional. Mengapa ? ) x 4 x x ( lim 2 x + - L = + - ) x 4 x x ( lim 2 x x 4 x x x 4 x x ) x 4 x x ( lim 2 2 2 x + + + + + - = x 4 x x ) x 4 x ( x lim 2 2 2 x + + + - = x 4 x x x 4 lim 2 x + + - = 2 0 1 1 4 - = + + - = 2 ) x 4 x x ( lim 2 x - = + - x 4 x x x 4 x x x x x x 4 x 1 1 4 lim lim 2 2 2 + + - = + + - =
- 16. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka: diman a: ; utk n genap k k lim c x = ) c ( f ) x ( f lim c x = ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x = ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x = ) x ( f lim k ) x ( kf lim c x c x = 0 ) x ( g lim ; ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x c x = n c x n c x )) x ( f lim ( )) x ( f ( lim = n c x n c x ) x ( f lim ) x ( f lim = Kita lihat contoh penerapannya! 0 ) x ( f lim c x
- 17. 4 lim x lim 7 1 x 1 x - = 4 lim x 7 lim 1 x 1 x - = Contoh 5: Tentukan nilai dari: a) b) Penyelesaian: a) ) 4 x 7 ( lim 1 x - 4 ) 1 ( 7 - = 3 = + - + 1 x 2 2 x 3 x lim 2 2 2 x ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x = ) x ( f lim k ) x ( kf lim c x c x = ) 4 x 7 ( lim 1 x -
- 18. 1 x 2 lim ) 2 x 3 x ( lim 2 2 x 2 2 x + - + = ) 1 x 2 ( lim 2 lim x 3 lim x lim 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x + - + = b) + - + 1 x 2 2 x 3 x lim 2 2 2 x 1 lim x 2 lim 2 lim x 3 lim x lim 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x + - + = 1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 3 2 2 2 + - + = 1 8 2 6 4 + - + = 3 8 = ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x = Teorema Teorema Teorema 0 ) x ( g lim ; ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x c x = n c x n c x ) x ( f lim ) x ( f lim =
- 19. Beberapa sifat yang sering dipakai: Bukti untuk sifat x O 1 A B C D X Y Misalkan: jari-jari lingkaran ( r ) = 1 satuan panjang, BOA = x, dan 2 x 0 p < < OAB dan OCB adalah segitiga siku-siku. OB AB x sin AB 1 AB = = x sin = x BD busur Panjang = OB BC x tan BC 1 BC = = x tan = 1 x x sin lim 0 x = 1 x x cos lim 0 x = 1 x x tan lim 0 x = 1 x sin x lim 0 x = 0 x cos x lim 0 x = 1 x tan x lim 0 x = 1 x x sin lim 0 x = AB < BD < BC sin x < x < tan x (dibagi sin x) 1 x x sin x cos x cos 1 x sin x 1 < < < < 1 lim x x sin lim x cos lim 0 x 0 x 0 x < < 1 0 cos x cos lim 0 x = = 1 1 lim 0 x = (terbukt i)
- 20. 2 3 x 3 x 3 sin lim x 2 x 3 sin lim 0 x 0 x = 2 2 0 x 2 0 x x ) x sin 2 1 ( 1 lim x x 2 cos 1 lim - - = - Contoh 6: Tentukan nilai dari: a) b) Penyelesaian: a) x 2 x 3 sin lim 0 x 2 0 x x x 2 cos 1 lim - b) x 3 x 3 sin lim 2 3 0 x = 1 2 3 = 2 3 = 2 2 0 x x x sin 2 lim = 2 2 0 x x x sin lim 2 = 2 0 x x x sin lim 2 = 2 1 2 = 2 = 2 x x 2 cos 1 lim 2 0 x = - 2 3 x 2 x 3 sin lim 0 x =
- 22. 1. .... 1 x 1 x lim 2 1 x = + - - 1 x ) 1 x )( 1 x ( lim 1 x 1 x lim 1 x 2 1 x + - + = + - - - ) 1 x ( lim 1 x - = - 1 1- - = 2 - = 2 1 x 1 x lim 2 1 x - = + - - 2 0 2 - 1 - Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 23. 2. 3 4 .... 2 x 6 x x lim 2 2 x = - - + 2 x ) 3 x )( 2 x ( lim 2 x 6 x x lim 2 x 2 2 x - + - = - - + ) 3 x ( lim 2 x + = 3 2+ = 5 = 5 2 x 6 x x lim 2 2 x = - - + 2 5 6 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 24. Rasionalk an bentuk akar 4 x 4 x 4 x 16 x lim 4 x 16 x lim 2 4 x 2 4 x - - - - = - - 3. 3 4 - 0 3 - .... 4 x 16 x lim 2 4 x = - - 4 x 4 x ) 16 x ( lim 2 4 x - - - = 4 x 4 x ) 4 x )( 4 x ( lim 4 x - - - + = 4 x ) 4 x ( lim 4 x - + = 4 4 ) 4 4 ( - + = 0 8 = 0 = 0 4 x 16 x lim 2 4 x = - - 4 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 25. Kalikan akar sekawan x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 lim 0 x - + + - + + - - + = ) x 1 x 1 ( x x 2 lim 0 x - + + = 4. 2 - 1 1 - .... x x 1 x 1 lim 0 x = - - + .... x x 1 x 1 lim 0 x = - - + ) x 1 x 1 ( x ) x 1 ( ) x 1 ( lim 0 x - + + - - + = x 1 x 1 2 lim 0 x - + + = 1 2 2 0 1 0 1 2 = = - + + = 1 x x 1 x 1 lim 0 x = - - + 3 - 0 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 26. Kalikan akar sekawan x h x x h x h x h x lim 0 h + + + + - + = 5. .... h x h x lim 0 h = - + .... h x h x lim 0 h = - + ) x h x ( h x ) h x ( lim 0 h + + - + = ) x h x ( h h lim 0 h + + = x h x 1 lim 0 h + + = x 2 1 x x 1 x 0 x 1 = + = + + = x 2 1 h x h x lim 0 h = - + x 3 1 x 3 2 x 2 x 2 x 2 1 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 27. ) x sin x )(cos x sin x (cos x sin x cos lim 4 x - + - = p 6. .... x 2 cos x sin x cos lim 4 x = - p x sin x cos x sin x cos lim x 2 cos x sin x cos lim 2 2 x x 4 4 - - = - p p x sin x cos 1 lim 4 x + = p 4 4 sin cos 1 p p + = 2 2 1 2 1 2 1 + = 2 1 = 2 1 x 2 cos x sin x cos lim 4 x = - p 3 2 1 2 1 3 2 1 2 3 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 28. 7. 5 5 - 3 - = 3 5 x 3 sin x 3 x 5 x 5 tan lim x 3 sin x 5 tan lim 0 x 0 x = x 3 sin x 3 x 5 x 5 tan lim 3 5 0 x 1 1 3 5 = 3 5 = 3 5 x 3 sin x 5 tan lim 0 x = .... x 3 sin x 5 tan lim 0 x = 3 5 - 3 5 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 29. 8. 12 .... x tan x 2 sin lim 2 1 3 3 0 x = 3 2 1 0 x 2 1 3 3 0 x x tan x 2 sin lim x tan x 2 sin lim = 3 2 1 2 1 0 x 4 x tan x x 2 x 2 sin lim = 3 2 1 2 1 0 x 3 x tan x x 2 x 2 sin lim 4 = 3 ) 1 1 ( 64 = 64 = 64 x tan x 2 sin lim 2 1 3 3 0 x = 64 32 10 37 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 30. 9. 0 .... x sin x x cos 1 lim 0 x = - 2 1 x sin x x cos 1 lim 0 x = - 2 1 1 1 1 1 12 = + = x cos 1 1 x sin x x x sin lim 2 0 x + = + = ) x cos 1 ( x sin x x sin lim 2 0 x + - = ) x cos 1 ( x sin x x cos 1 lim 2 0 x + + - = - x cos 1 x cos 1 x sin x x cos 1 lim x sin x x cos 1 lim 0 x 0 x 1 2 4 1 2 1 + = x cos 1 1 x sin x x x sin lim 2 2 0 x Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 31. 10 . 3 - 1 - .... x 2 x 3 x x 6 sin ) 1 x ( lim 2 3 2 0 x = + + - ) x 2 x )( 1 x ( x 6 sin ) 1 x )( 1 x ( lim x 2 x 3 x x 6 sin ) 1 x ( lim 2 0 x 2 3 2 0 x + + - + = + + - x 2 x x 6 sin ) 1 x ( lim 2 0 x + - = 1 2 0 ) 1 0 ( 6 + - = 1 2 6 - = 3 - = 3 x 2 x 3 x x 6 sin ) 1 x ( lim 2 3 2 0 x - = + + - 8 - 5 - 6 - x 6 x 6 sin 2 x ) 1 x ( 6 lim 0 x + - = Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 32. Bagi pangkat tertinggi x x x x 3 x x x x 3 x 2 2 2 lim + + = Kalikan akar sekawan x x 3 x x x 3 x ) x x 3 x ( lim 2 2 2 x + + + + - + = 1. .... ) x x 3 x ( lim 2 x = - + .... ) x x 3 x ( lim 2 x = - + x x 3 x x x 3 x lim 2 2 2 x + + - + = x x 3 x x 3 lim 2 x + + = 1 1 3 lim x 3 x + + = 2 3 1 0 1 3 = + + = 2 3 ) x x 3 x ( lim 2 x = - + 4 7 3 7 3 4 2 3 3 2 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 33. Kalikan akar sekawan x 2 x x 4 x x 2 x x 4 x ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 2 2 2 2 x + + - + + - + - - = Bagi pangkat tertinggi 2. 2 - 1 - .... ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 x = + - - .... ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 x = + - - x 2 x x 4 x ) x 2 x ( ) x 4 x ( lim 2 2 2 2 x + + - + - - = x 2 x x 4 x x 6 lim 2 2 x + + - - = 2 2 2 2 2 2 x x 2 x x x x 4 x x x x 6 x lim + + - = - x 2 x 4 x 1 1 6 lim + + - - = 3 2 6 0 1 0 1 6 - = - = + + - - = 3 ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2 x - = + - - 6 - 4 - 3 - Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 34. Bagi pangkat tertinggi Kalikan akar sekawan 3. .... ) x 1 x ( x lim 2 x = - + .... ) x 1 x ( x lim 2 x = - + x 1 x x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2 x + + + + - + = x 1 x ) x 1 x ( x lim 2 2 2 x + + - + = x 1 x x lim 2 x + + = x x x 1 x x x x x 2 2 2 lim + + = 1 1 1 lim 2 x 1 x + + = 2 1 1 0 1 1 = + + = 2 1 ) x 1 x ( x lim 2 x = - + 0 2 4 1 2 1 3 1 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 35. Bagi pangkat tertinggi 4. 2 3 .... 1 x x 2 1 x x 3 lim x = + - - .... 1 x x 2 1 x x 3 lim x = + - - ) 1 x )( 1 x ( ) 1 x ( x 2 ) 1 x ( x 3 lim x + - - - + = 1 x x 2 x 2 x 3 x 3 lim 2 2 2 x - + - + = 1 x x 5 x lim 2 2 x - + = 2 2 2 2 2 2 x 1 x x x x 5 x x x lim - + = 1 0 1 0 1 1 1 lim 2 x 1 x 5 x = - + = - + = 1 1 x x 2 1 x x 3 lim x = + - - 1 9 Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 36. Bagi pangkat tertinggi .... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3 3 4 x = + - + + - 4 4 4 2 4 3 4 4 3 4 4 x 2 x x x x x x x 6 x x 2 x x 3 x lim + - + + - = 4 3 2 4 x 2 x 1 x 1 x 1 x 6 x 2 x 3 lim + - + + - = 0 0 0 0 0 0 3 + - + + - = = = 0 3 ada) (tidak 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3 3 4 x + - + + - 5. 0 2 - 1 - 3 - .... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3 3 4 x = + - + + - Klikpada pilihan (a - e) untukmemilihjawaban
- 37. 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: a. .... x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x = + - + + - + = x 3 x 2 lim 1 x 3 2 lim 2 x 2 x x lim 3 x 2 lim 1 x 3 lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 2 x + - + = 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2 + - + = 14 45 2 7 7 2 - = - = 14 45 x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x - = + - + 1a . + - + x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x - = 3 ) x ( f lim c x = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x - + 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = +
- 38. .... ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x = - + ) 5 x 2 ( lim ) 4 x ( lim 5 x 5 x - + = ) 5 lim x 2 lim ( ) 4 lim x lim ( 5 x 5 x 5 x 5 x - + = ) 5 5 2 ( ) 4 5 ( - + = 5 9 = 45 = 45 ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x = - + 1b . 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: a. + - + x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x - = 3 ) x ( f lim c x = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x - + 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = +
- 39. Bukti : 2a . (terbukt i) .... ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + ) x ( g lim ) x ( f lim 2 c x 2 c x + = 2 c x 2 c x )] x ( g lim [ )] x ( f lim [ + = 2 2 ] 1 [ 3 - + = 1 9+ = 10 = 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: a. + - + x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x - = 3 ) x ( f lim c x = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x - + 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = +
- 40. Bukti : 2b . (terbukt i) [ ] .... ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + ) x ( g lim ) c x ( lim ) x ( f lim c x c x c x - + = ) 1 ( ) c c ( 3 - - + = ) 1 ( 0 3 - + = 3 = [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: a. + - + x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x - = 3 ) x ( f lim c x = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x - + 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = +
- 41. Bukti : 2c . (terbukt i) [ ] .... 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x = + [ ] 3 ) x ( f lim ) x ( g lim c x 3 c x + = + = 3 lim ) x ( f lim ) x ( g lim c x c x 3 c x [ ] 3 3 1 3 + - = [ ] 6 1 - = 6 - = [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = + 1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: a. + - + x 3 x 2 1 x 3 2 lim 2 x b. 2. Jika dan buktikan dengan teorema limit bahwa: 1 ) x ( g lim c x - = 3 ) x ( f lim c x = a. b. c. ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x - + 10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2 c x = + [ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x = - + [ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim3 c x - = +
- 42. 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. 1. Jarak: s(t)= t2+2. Maka kecepatan sesaat pada t = 4 adalah: Jadi, kecepatan sesaat benda adalah: 8 m/detik Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f ) h t ( f lim 0 h - + h ] 2 4 [ ] 2 ) h 4 [( lim 2 2 0 h + - + + = h ] 2 16 [ ] 2 h h 8 16 [ lim 2 0 h + - + + + = h 18 18 h 8 h lim 2 0 h - + + = h ) 8 h ( h lim h h 8 h lim 0 h 2 0 h + = + = 8 ) 8 h ( lim 0 h = + =
- 43. 2. Total untung: L(t)=1500t2. Maka keuntungan marjinal untuk t = 5 adalah: Jadi, keuntungan marjinal perusahaan: 15000 dollar/tahun. h ] ) 5 ( 1500 [ ] ) h 5 ( 1500 [ lim 2 2 0 h - + = h )] 25 ( 1500 [ )] h h 10 25 ( 1500 [ lim 2 0 h - + + = h ] 37500 [ ] h 1500 h 15000 37500 [ lim 2 0 h - + + = h h 15000 h 1500 lim 2 0 h + = h ) 15000 h 1500 ( h lim 0 h + = 15000 ) 15000 h 1500 ( lim 0 h = + = 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f ) h t ( f lim 0 h - +
- 44. 3. Berat tumor: w(t)=0,1t20,05t. Maka laju pertumbuhan tumor untuk t = 10 adalah: Jadi, laju pertumbuhan tumor adalah: 1,95 gram/minggu. h )] 10 ( 05 , 0 ) 10 ( 1 , 0 [ )] h 10 ( 05 , 0 ) h 10 ( 1 , 0 [ lim 2 2 0 h - - + - + = h ] 5 , 0 ) 100 ( 1 , 0 [ ] h 05 , 0 5 , 0 ) h h 20 100 ( 1 , 0 [ lim 2 0 h - - - - + + = h 5 , 0 10 h 05 , 0 5 , 0 h 1 , 0 h 2 10 lim 2 0 h + - - - + + = h ) 95 , 1 h 1 , 0 ( h lim h h 95 , 1 h 1 , 0 lim 0 h 2 0 h + = + = 95 , 1 95 , 1 ) 0 ( 1 , 0 ) 95 , 1 h 1 , 0 ( lim 0 h = + = + = 3. Berat dalam gram dari suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t)=0,1t20,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertumbuhan tumor jika t = 10 minggu? 2. Sebuah perusahaan dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. Gunakan rumus: untuk menyelesaikan permasalahan berikut. h ) t ( f ) h t ( f lim 0 h - +
- 45. Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994. Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReviewTM Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004. B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990. http://www.garizhdizain.com