More Related Content
Similar to Tugas akhir semester 2 b indo (15)
Tugas akhir semester 2 b indo
- 1. 1 MAKALAH Bilangan Fibonacci dalam Kehidupan Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Akhir Semester Mata Kuliah: Bahasa Indonesia Dosen: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.I. Fakultas/Jurusan : Tarbiyah/Tadris Matematika Kelas/Semester : C/ 2 IAIN SYEKH NUR JATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132 Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926
- 2. 2 BAB 1 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Deret angka Fibonacci(Leonardo fibonacci), ini menunjukkan asal mula kejadian alam semesta dan juga menjadi inpirasi para seniman didalam mewujudkan cipta seni mereka termasuk Leonardo Da Vinci didalam karya lukisannya yang mendunia yaitu Mona Lisa. Selain itu rahasia angka Fibonacci ini juga diaplikasikan secara luas dalam seni kontruksi bangunan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh manusia.
- 3. 3 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Bilangan Fibonacci Bilangan Fibonacci adalah urutan angka yang diperoleh dari penjumlahan dua angka didepannya, misalnya seperti ini : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, Angka fibonacci merupakan urutan angka (deret angka) yang disusun oleh Leoanardo Fibonacci pada tahun 1175 1245 M. Bilangan fibonacci dikenal juga dengan sebutan the golden number of human life. Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika Anda membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan Anda dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain.1 B. Sejarah Penemuan Bilangan Fibonacci. Fibonacci Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab 1 Budi Manfaat, Membumikan matematika, (Cirebon, 2010) hal 119.
- 4. 4 memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab.2 Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia. Mengarang buku Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi. Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat. Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik akal sehat matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir. Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua - Akhir bulan 2 Ibid
- 5. 5 kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin. - Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci. - Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci. - Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci. Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya: 354.224.848.179.261.915.075. Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci. C. Keindahan Bilangan Fibonacci. 1. Keindahan Pola. a. Pola pada Operasi Bilangan. Perhatikan fakta-fakta berikut: 1 x 8 + 1= 9= 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3= 987 1234 x 8 + 4= 9876 12345 x 8 + 5= 98765 123456 x 8 + 6= 987654 1234567 x 8 + 7= 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9= 98765432 Lalu ini: 1 x 9 + 2= 11 12 x 9 + 3= 111 123 x 9 + 4= 1111 1234 x 9 + 5= 11111
- 6. 6 12345 x 9 +6= 111111 123456 x 9 + 7 = 111111 1234567 x 9 + 8= 11111111 12345678 x 9 + 9= 111111111 123456789 x 9 + 10 = 1111111111 Juga ini: 9 x 9 + 7= 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5= 8888 9876 x 9 + 4= 88888 98765 x 9+ 3=888888 987654x 9 + 2= 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0= 888888888 Dan berikut ini: 1 x 1= 11 11 x 11= 121 111 x 111= 12321 1111 x 1111= 1234321 11111 x 11111 123454321 111111 x 111111= 12345654321 1111111 x 1111111= 1234567654321 11111111 x 11111111= 123456787654321 111111111 x 111111111= 12345678987654321.3 3 Ibid., hal 120.
- 7. 7 b. Pola pada alam semesta Orang Yunani Kuno mengatakan bahwa semua keindahan adalah matematis. Jika ini benar maka tentunya akan terdapat suatu kode matematis, formula, hubungan atau bahkan sebuah angka yang dapat menjelaskan suatu keindahan. Sepanjang sejarah, telah banyak angka-angka berbeda yang pernah dicobakan untuk menjelaskannya, namun hannya satu yang konsisten dan banyak beralku pada hampir setiap kehidupan. Angka itu dikenal dengan sebuta GOLDEN RATIO, atau rasio emas. Beberapa nama lain untuk golden ratio adalah: The Phi Ratio, The Fibonacci Ratio, The Divine Ratio, The Golden Mean, The Golden Section. Golden ratio adalah sebuah perbandingan matematik 1. 61803398874989.... : 1 atau dibulatkan 1, 619 : 1. Angka 1,618 sering juga disebut dengab Golden Mean dan dilambangkan engan huruf yunani Phi. sebagaimana halnya dengan Pi (angka perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengan diameternya), phi juga merupakan bilangan irrasional. Begitu banyak sesuatu di alam ini yang ternyata tercipta dengan bagian-bagian dari bentuknya dengan angka perbandingan tersebut.4 Tubuh manusia, tumbuhan dan hewan, mereka mempunyai kesamaan. Pernyataan ini tersembunyi pada sebuah deret angka yang ditemukan oleh natematikawan Italia, Fibonacci. Sifat angka- angka ini, yang dikenal dengan Fibonacci, bahwa masing-masing angka dalam deret tersebut merupakan hasil penjumlahan dari dua angka sebelumnya: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika kita membagi suatu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan kita dapatkan sebuah angka hasil pembagan yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Angka ini dikenal sebagia golden ratio atau rasio emas. 233 : 144= 1, 618 377 : 233= 1, 618 4 Ibid., hal 123.
- 8. 8 610 : 377= 1, 618 987 : 610= 1, 618 1597 : 987= 1, 6185 . dst..... 1) Rasio Emas pada Tubuh Manusia. Hubungan kesesuaian ideal yang dikemukakan ada pada berbagai bagian tubuh manusia rata-rata dan yang mendekati nilai rasio emas dapat dijelaskan dalam sebuah bagan umum sebagai berikut. Nilai perbandingan M/m pada diagram berikut selalu setara dengan rasio emas, M/m= 1, 618 2) Rasio Emas pada tubuh manusia Contoh pertama dari rasio emas pada tubuh manusia rata-rata adalah jika abtara pusar dan telapak kaki dianggap satu unit, maka tinggi seorang manusia setara dengan 1, 618 unit. Beberapa rasio emas lain pada tubuh manusia rata-rata adalah: a) Jarak antara ujung jari dan siku/ jarak antara pergelangan tangan dan siku. 5 Ibid
- 9. 9 b) Jarak anatara garis bahu dan ujung atas kepala/ panjang kepala. c) Jarak anatara pusar dan ujung atas kepala/ jarak anatara garis bahu dan ujung atasa kepala. d) Jarak anatara pusar dan lutut/ jarak antara lutut dan telapak kaki.6 3) Tangan Manusia. Angkatlah tangan Anda dan lihatlah bentuk jari telunjuk Anda. Dalam segala kemungkinan akan Anda saksikan rasio emas padanya. Jari-jemari kita memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari ruas pertama terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan rasio emas (kecuali ibu jari). Anda juga dapat melihat bahwa perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking merupakan rario emas pula. Anda memiliki dua tangan, dan jari-jemari yang ada padanya terdiri dari tiga ruas. Terdapat lima jari pada setiap tangan, dan hannya delapan dari keseluruhan sepuluh jari ini tersambung menurut rasio emas: 2, 3, 5, dan 8 bersesuaian dengan angka-angka pada deret Fibonacci.7 6 Ibid., hal 125. 7 Ibid., hal 127.
- 10. 10 4) Rasio Emas pada Wajah Manusia. Terdapat beberapa rasio emas pada wajah manusia. Akan tetapi Anda tidak dianjurkan menganmbil pengggaris dan berusaha mengukur wajah-wajah orang, sebab hal ini merujuk pada wajah manusia ideal yang ditetapkan oleh para ilmuan dan seniman. Misalnya, jumlah lebar dua gigi depan pada rahang atas dubagi dengan tingginya menghasilakn rasio emas. Lebar gigi pertama dari tengah dibandingkan gigi kedua juga menghasilkan rasio emas. Semua ini adalah perbandingan ukuran ideal yang mungkin dipertimbangkan oleh seorang dokter. Sejumlah rasio emas lain pada wajah manusia adalah: a) Panjang wajah atau lebar bawah. b) Jarak antara bibir dan titik dimana kedua alis mata bertemu atau panjang hidung. c) Panjang wajah atau jarak antara ujung rahang dan titik dimana kedua alis mata bertemu. d) Panjang mulut atau lebar hidung. e) Lebar hidung atau jarak antara kedua lubang hidung. f) Jarak antara kedua pupil atau jarak anatara kedua alis mata.8 8 Ibid., hal 128.
- 11. 11 5) Rasio Emas Kota Makkah pada Ratio Points Dunia Proporsi jarak antara Mekah Kutub Utara dengan jarak antara Mekah Kutub Selatan adalah persis 1,618 yang merupakan Golden Ratio. Selain itu, proporsi jarak antara Kutub Selatan dan Mekah dengan jarak antara kedua kutub adalah lagi 1,618 unit. Keajaiban belum selesai. The Golden Ratio Point of the World adalah di kota Mekkah menurut peta lintang dan bujur yang merupakan penentu umum manusia untuk lokasi. Proporsi jarak Timur Barat Mekah adalah 1,618 unit. Selain itu, proporsi jarak dari Mekah ke garis titik balik matahari dari sisi barat dan perimeter garis lintang dunia pada saat itu juga mengejutkan sama dengan Golden Ratio
- 12. 12 1,618 unit. The Golden Ratio Point of the World selalu dalam batas kota Mekkah, di dalam Daerah Suci yang meliputi Kabah menurut semua sistem pemetaan kilometrical meskipun variasi kecil dalam perkiraan mereka. Jika kita mengukur jarak Kota Makkah ke arah Kutub Utara, diperoleh angka 7631.68 km, sedangkan jika ke arah Kutub Selatan, diperoleh angka 12348.32 km. Apabila kedua angka tersebut kita diperbandingkan dengan rumus : x/y dimana : x = arah kutub selatan y = arah kutub utara maka dapat disimpulkan: 12348.32 km / 7631.68 km = 1.618 Selain diatas, jarak antara Barat-Timur dan Barat Daya- Timur Laut begitu juga. Terlihat menghasilkan angka 1.618. Angka 1.618 di dalam matematika, dikenal sebagai Bilangan Fibonacci atau Golden Ratio (Rasio Emas). 6) Rasio Emas pada Lukisan Monalisa. Lukisan Monalisa. Dan ternyata di setiap goresan lukisnya Da vinci memasukan teori Komposisi Fibonacci dalam lukisan Monalisa itu Jika kita lihat detail lukisan itu, perbandingan ruang yg dipakai juga fibonacci,bahkan setiap lekukan bagian wajah antara bibir dan dagu, mulut+mata dengan kening, mata dengan telinga. semuanya menggunakan hitungan Fibonacci (1,618) 7) Rasio Emas pada Jumlah Daun Bunga (petals) Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya: jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok) jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria, jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family
- 13. 13 Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari. Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci. Fakta bahwa banyak sekali struktur benda hidup dan tak hidup yang saling tak terlihat di alam namn memiliki bentuk yang mengikuti satu rumus matematis tertentu merupakan salah satu bukti paling nyata bahsa semua ini telah dirancang secara khusus. Rasio Emas adalah rumus keindahan yang sangat dikenal dan diterapkan oleh para seniman.9 Karya-karya seni yang didasarkan pada pada rasio itu menampilkan kesempurnaan keindahan. Tumbuhan, galaksi, mikroorganisme, kristal dan makhluk hidup yang dirancang menurut acuan yang ditiru para seniman ini semuanya adalah contoh daya cipta Maha Hebat dari Allah. Allah menyatakan dalam Al Quran bahwa Dia telah menciptakan segala sesuatu menurut ukuran. Beberapa ayat berikut yang berbunyi: ... Sesunggguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu. (QS. At Thalaaq, 65: 3). ... Dan segala sesuatu pada sisi-Nya ada ukurannya. ( QS. Ar Rad, 13:8). Sesunggguhnya Allah telah mengadakan ketentuan bagi tiap-tiap sesuatu. (QS. At Thalaaq, 65: 3). 2. Keindahan Formula. Ada ribuan bahkan jutaan formula (rumus) dalam Matematika. Dan sebanyak itu pula kita akan mendapati keindahan. a) Formula Euler perhatikan formula berikut: + 1= 0 9 Ibid., hal 129.
- 14. 14 Perhatikan satu persatu elemen penyusun dari formula tersebut. Bilangan , i, 袖 dan 0. Semuanya merupakan bilangan-bilangan istimewa. adalah bilangan natural (2,718), i adalah bilanagan imajiner (khayal), yaitu suatu bilangan akar negatif, Phi adalah bilanagn tetapan yang merupakan rasio antara keliling dan jari-jari sembarang lingkaran (3, 14), 1 adalah identitas perkalian . bilangan berapapun jika dikalikan dengan 1 maka hasilnya tetap bilangan itu sendiri, dan 0 adalah identitas penjumlahan. Bilangan berapapun jika ditambah dengan 0 maka hasilnya tetap bilangan itu sendiri. Dan yang menakjubkan adalah, rupanya bilangan-bilangan istimewa tersebut dapat bertemu dan berkumpul dalam satu formula.10 b) Formula Pythagoras. Perwujudan-perwujudan dalam alam mempunyai berbagai pola dan keteraturan. Pola-pola yang sama sering kali terkandung dalam aneka benda-benda atau keadaan-keadaan yang tampaknya berbeda-beda. Tetapi, sekali pola alamiah yang sama itu diketahui dan dipahami oleh ahli matematika. Sebagai contoh saja misalnya sebuah batu cadas dan sebuah bukit yang mempunyai perwujudan seperti berikut: Dua fenomena diatas yang kelihatannya berlainan ternyata mengandung pola atau keteraturan yang sepenuhnya sama. Dari suduut matematika kedua perwujudan alamiah itu memiliki pola yang tertuang dalam dalil phytagoras yang terkenal. Dengan kata- kata, formula itu berbunyi: Jumlah dari kuadrat dua sisi sebuah segi tiga adalah sama dengan kuadrat sisi miringnya.11 c) Keindahan Grafis. Biasanya matematika dari seni diajarkan secara terpisah. Saat menggambar kucing, bunga atau pemandangan alam mungkin kita tidak terfikir rumus matematika beserta hitungan rumit yang menyertainya. Begitu pula saat kita belajar matematika, mungkin kita terfikir akan keindahan bunga misalnya. Seolah matematika dan seni tidak berteman akrab. Padahal kita dapat menghasilkan karya seni yang indah dari matematika. Atau sebaliknya, kitadapat menemukan sisi matematika dari keindahan yang kita lihat itu.12 10 Ibid., hal 130. 11 Ibid., hal 131. 12 Ibid., hal 132.
- 15. 15 BAB III KESIMPULAN Bilangan Fibonacci adalah urutan angka yang diperoleh dari penjumlahan dua angka didepannya, misalnya seperti ini : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, Deret angka Fibonacci(Leonardo fibonacci), ini menunjukkan asal mula kejadian alam semesta dan juga menjadi inpirasi para seniman didalam mewujudkan cipta seni mereka termasuk Leonardo Da Vinci didalam karya lukisannya yang mendunia yaitu Mona Lisa. Selain itu rahasia angka Fibonacci ini juga diaplikasikan secara luas dalam seni kontruksi bangunan, lukisan dan juga wujud dalam anatomi tubuh manusia.
- 16. 16 DAFTAR PUSATAKA Manfaat, budi. 2010. Membumikan Matematika. Cirebon: Eduvision Publishing. Hirata, andrea. 2008. Laskar Pelangi, cetakan ke 20. Yogyakarta: Bentang. Hirata, andrea. 2008. Edensor, cetakan ke-10, Bentang: Yogyakarta. http://www.science-frontiers.com/sf107/sf107p14.htm (diakses 26 Maret 2013) http://www.americanscientist.org/issues/pub/did-mozart-use-the-golden-section (diakses 26 Maret 2013) http://www.goldennumber.net/music/(diakses 26 Maret 2013)