�ݺ�ߣ

INTEGRAL KOMPLEKS
Andaikan t adalah variable real.
F(t) fungsi bernilai complex dari variabel real dan ditulis
F(t) = u(t) + i v(t)
dengan u, v fungsi real dari variabel real t.
Definisi:
Untuk fungsi bernilai kompleks dari variabel real
F(t) = u(t) + iv(t) dengan a ≤ t ≤ b didefiniskan.

b
a
F(t)dt 
b
a
u(t)dt 
b
a
v(t)dti

 






 b
a
b
a
dttFdttF ))(Re()(Re1.
2.
3.
4.
5.
 






 b
a
b
a
dttFdttF ))(Im()(Im
 
b
a
b
a
dttFkdttkF )()( , dimana k sembarang
konstanta kompleks
 
b
a
b
a
dttFdttF )()( , dimana a ≤ b
 
a
b
b
a
dttFdttF )()(
Sifat-sifat:

Lintasan
g(t) dan h(t) bernilai nol dan kontinu di
titik
Untuk satu nilai t, (x, y) = (g(t)), h(t))
menyatakan satu titik pada bidang z.
Suatu kurva himpunan titik z=x+iy
dengan x = g(t), y = h(t) masing-masing
fungsi real dan konstanta dari variabel real
t
iyxzdanh(t))(g(t),y)(x,
h(t)y
g(t)x






  ba,
 ba,

(g(a), h(a)) adalah titik awal
(g(b), h(b)) adalah titik akhir
Jika t1 ≠ t2 sehingga (g(t1), h(t1))
tidak berimpit dengan (g(t2), h(t2)).
(g(a), h(a)) dan (g(b), h(b))
berimpit maka akan membentuk
kurva tertutup.

Tidak boleh karena kurva tidak
tunggal
Tertutup tidak tunggal
Tertutup tunggal

Kurva C: ,dimana a≤t≤b.
g’(t) dan h’(t) ada dan kontinu di
untuk t , g’ dan h’ tidak bersama-sama
nol maka C disebut kurva mulus
Kurva C merupakan rangkaian kurva mulus
C1, C2, C3, . . ., Cn
titik akhir Cj berimpit dengan titik awal
Cj+1 untuk j = 1, 2, . . .,n–1. Maka C disebut
lintasan
 h(t)ig(t)z 
 ba,
 ba,

C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
Jika titik awal C1 berimpit dengan titik Cn ,
maka C lintasan tertutup.
Lintasan tertutup tunggal

y)dyQ(x,y)dxP(x,y)dyQ(x,y)dxP(x,
ccc
 
 
c
22
?dyxyydxx
 integral lintasan tertutup
Contoh:
C adalah garis patah yang berawal dari (0, 1) melalui (1, 1)
dan berakhir (1, 0)

 Jawab:
dyxydxyxdyxydxyxdyxydxyx 2
c
22
c
22
c
2
21
 
dttdt0dt0dtt
0
1
2
0
1
1
0
1
0
2
 
(1, 1)
C2
C1
(1, 0)
(0, 1)
C = C1 + C2
C1: x = t
y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
C2: x = 1
y = t dimana 1≥ t ≥ 0
0
3
t
3
t
0
1
31
0
3








 Integral lintasan kompleks juga disebut
integral kontur kompleks.
 Fungsi f(z) = u(x, y) + i v(x, y) yang
didefinisikan kontinu sepotong-sepotong
pada lintasan di bidang kompleks dengan
C = {z=x + iy / x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b}
dengan titik awal α dan titik akhir β
berturut-turut berkorespondensi dengan
t = α dan t = β.

    
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz
 
b
a
b
a
C
)dtuh'(vg')dtvh'(ug'f(z)dz i
 
b
a
C
(t)dtz'f(z(t))f(z)dz
dapat ditulis dalam integral t yang dinyatakan dengan
Jika z pada C dengan z(t) = x(t) + i y(t) dan x(t) = g(t),
y(t) = h(t), a ≤ t ≤ b sehingga dz = z’(t) = dx + i dy

1.
2.
3.
4.
 
βααβ CC
f(z)dzf(z)dz
 
CC
f(z)dzkkf(z)dz
   
C
2
C
1
C
21 (z)dzf(z)dzfdz(z)f(z)f
 
21 CCC
f(z)dzf(z)dzf(z)dz
, k konstanta
, C = C1 + C2

Contoh:
Hitunglah jika f(z) = y – x + 6ix2
dan lintasan C terdiri atas dua penggal
garis dan z = 0 sampai z = i dan z = i
sampai z =1+ i.
C
f(z)dz
 
21 CCC
f(z)dzf(z)dzf(z)dz
    
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz

 1C
f(z)dz 
1
0
dtti
1
0
0)0-(t i
2
1
 
1
0
dtt)(1 
1
0
2
dt6ti 2i
2
1

i
2
1
i2
2
1
C
dzzf )(
x
C2
y
C1
O
i
 2C
f(z)dz
C = C1 + C2
C1: x = 0
y = t dimana 0 ≤ t ≤ 1
C2: x = t
y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
i
2
1
i2
2
1
C
dzzf )( i
2
1
2
2
1


 Jika C lintasan tertutup tunggal dengan arah
positif dan E daerah tertutup yang terdiri atas
titik di dalam dan pada C.
 P(x, y) dan Q(x, y) fungsi real terdefinisi pada E
beserta derivatif-derivatif parsial dari tingkat
pertama kontinu pada E maka:
C : arah positif
dydx
y
P
x
Q
dyy)Q(x,dxy)P(x,
c E
  












Bukti:
C lintasan tertutup tunggal yang
mempunyai bentuk garis-garis // sumbu
koordinat memotong C di dua titik
Akan dibuktikan
  


c E
dxdy
y
P
dxyxP ),(
Kurva ABC, y = α1(x)
Kurva ADC, y = α2(x)
x
C
y
D
O
B
A
c
d
a b

 


E
dxdy
y
P
 


b
a
x
x
dydx
y
P)(
)(
2
1
α
α
 dx(x))αP(x,(x))αP(x,
b
a
21 

b
a
dxxxP )(,( 1 dxxxP
b
a )(,( 2 
C
dxyxP ),(

b
a
x
x dxyxP
)(
)(
2
1
),(



 

E
dxdy
y
Q

C
dyyxQ ),(
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan
Dengan mengambil
Kurva BCD, x = β2(y)
Kurva BAD, x = β1(y)
 
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdy
y
P
x
Q
E
 










1
dxdy
y
P
x
Q
E
 











2
dxdy
y
P
x
Q
E
 











3
dxdy
y
P
x
Q
E
 











4

Perluasan:
E1
E4
E3
E2
 
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdy
y
P
x
Q
E
 










1
dxdy
y
P
x
Q
E
 











2
dxdy
y
P
x
Q
E
 











3
dxdy
y
P
x
Q
E
 











4
Catatan,
Lintasan yang saling berlawanan
meniadakan

Z0
2. Untuk suatu titik Z0 dan sebarang lingkaran C
yang berpusat di Z0 yang ditentukan, dan C
berarah positif berlaku
i2C
0
z-z
dz
...3,2,n;0 
C n
0 )z(z
dz
1.
2.
r Cos θ
r Sin θ
a
b
Z0
Z
θ
Bukti: z0 = a + bi
r = jari-jari
z dilingkaran
z = x + iy
x = a + r cos θ
y = b + r sin θ
z = z0 + (r cos θ + i r sin θ)
z - z0 = r cos θ + i r sin θ


 0
1
zz

 )sinr(cos
1
 i
)sin(cos
r
1
 i

 dz
zz 0
1
 




 





2
0
)cos.
sin
()sin(
cos
dr
r
r
r
 










2
0
)cos.
cos
()sin(
sin
dr
r
r
r
i
 iidi 

20
2
0
2
0
 
3. Jika C lingkaran |z| = 1 dengan arah positif dan
f(z) = suatu cabang dari z-1+i = e(-1+i) ln z
(| z | > 0, ) 0 < arg z <2π). Hitunglah C
f(z)dz

Untuk z pada C berlaku z = eiθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π.



2
0
)('))(( dzzf 

2π
0
iθi)1(
dθieeC
dzzf )(
2π
0
θ
2π
0
θ
iedθei 
 
)ei(1 2π


Misal: z – z0 = r eiθ yang dapat dibuat
dalam bentuk:
z – z0 = r (cos θ + i sin θ)
z = z0 + r.eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
dz = i.r.eiθ dθ
dθ
r.e
i.r.e
zz
1 2π
0 iθ
iθ
0
 

dz

2π
0
dθi
2π
0iθ
πi2

z – z0 = r eiθ sehingga (z – z0)n = rn einθ




d
er
ire
dz
zz inn
i
n 

2
0
0 )(
1
Petunjuk 2



deri nin



2
0
)1(1

TEOREMA CAUCHY
Jika f analitik dan f ’ kontinu di dalam
dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka 0)( C
dzzf
Contoh:
Jika C keliling lingkaran | z | = 2 maka C z
dz
92
sama dengan nol. Buktikan!
Bukti:
9
1
)( 2


z
zf adalah fungsi yang analitik pada dan di dalam C.
22
)9(
2
)('



z
z
zf juga kontinu pada dan di dalam C
menurut teorema Cauchy maka 0)( C
dzzf

TEOREMA CAUCHY-GOURSAT
Jika f(z) analitik pada D, himpunan titik-titik di
lintasan tertutup tunggal C dan titik interiornya
maka 0)( C
dzzf
Bentuk lain dari Teorema CAUCHY-GOURSAT
Jika f fungsi analitik suatu domain terhubung tunggal D
maka untuk setiap lintasan tertutup C
yang seluruhnya di dalam D berlaku 0)( C
dzzf
Contoh pada hal. 76

Teorema
Jika C lintasan tertutup tunggal yang berarah positif
dan Cj lintasan tertutup tunggal berarah positif di
dalam interior C, sedemikian sehingga
Int(Cj) ∩ Int(Ck) = Ø untuk j ≠ k (j, k = 1, 2, ..., n) dan
jika f analitik pada daerah D dan didalam C kecuali
di dalam daerah Int(Cj), j = 1, 2, ..., n
Maka
C
dzzf )( 

1
)(
j
C j dzzfC
Teorema ini dikenal sebagai perluasan teorema C-G
(CAUCHY-GOURSAT).

Akibat perluasan teorema CAUCHY-GOURSAT,
diberikan lintasan tertutup tungal C1 dan C2 terletak
pada Int C.
Jika f analitik pada C1 , C2 dan pada daerah diantara
mereka maka sebarang lintasan tertutup tunggal C
pada Int C1 mengelilingi C2 berlaku:
 1
)(
C
dzzf  2
)(
C
dzzf C
dzzf )(
C2
C
C1

Contoh:
Buktikan bahwa jika C suatu lintasan tertutup
sepanjang bujur sangkar dengan titik sudut
ii
2
1
2
1
,
2
1
2
1
 ,
2
1
2
1
, i .
2
1
2
1
idan
dengan arah positif maka  
C
i
z
dz
π2
Penyelesaian:

Dibuat lingkaran γ dengan pusat
O jari-jari lebih kecil ½ dengan
arah positif
O
γ
x
y
i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

4
1
Dengan mengambil z0 = 0 dan
R =
Fungsi f(z) =
z
1
adalah fungsi analitik kecuali di O, f(z)
analitik di C dan γ daerah diantara kedua lintasan
menurut perluasan Teorema CAUCHY-GOURSAT
C z
dz
 
γ
πi
z
dz
2
 
γ
πi
z
dz
2

Teorema
Jika fungsi f analitik di suatu titik, maka f
mempunyai derivatif dari semua tingkat yang
juga analitik dititik itu.
Teorema
Jika f di definisikan dan analitik di dalam dan
pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah
positif dan z0 titik sebarang dalam C sehingga
berlaku.
dz
zz
zf
i
zf  

0
0
2
1 )(
)(
π
Integral Cauchy

Teorema
Jika f didefinisikan dan analitik di dalam dan
pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah
positif, maka untuk semua z di dalam fungsi f
mempunyai derivatif dari segala tingkat yang
juga analitik di dalam C. Untuk setiap n positif
bulat nilai turunan f(n)(z) dengan C arah positif
berlaku
( )
dz
zz
zf
i
n
C n 
 1
0
)(
2
!

)( 0zf n

Contoh:
Tentukan  C
dz
zz
z
2
31 ))((
C adalah:
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2
(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2

Penyelesaian:
r=2C
O x
y
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2
C: lingkaran | z | = 2, dengan fungsi f(z) diambil
( )2
3
)(


z
z
zf analitik pada C dan di dalam
4
1
untuk zo= 1
i
i
fidz
zz
z
C



2
1
4
2
)1(.2
)3)(1( 2


f(zo) =
( )
dz
zz
zf
i
zf
C 

0
0
)(
2
1
)(


(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2
C: lingkaran | z – 4 | = 2 dengan f(z) diambil
1
)(


z
z
zf
terdefinisi dan analitik di C
z0 = 3 dan f’(3 )
4
1

( )
dz
zz
zf
i
zf
C 
 2
0
0
)(
2
!1
)('

i
i
fidz
zz
z
C



2
1
4
2
)3('.2
)3)(1( 2


4
C
O x
y
maka 2
)1(
1
)('



z
zf

COMPILED BY PRAMUDJONO
MASIH KURANG JELAS ?
 Lihat latihan soal 5
hal 55 Untuk memahami
kerjakan latihan itu untuk lebih
jelas

kerjakan tugas berikut, Minggu Depan (Individu)
 1. Hitung, untuk C adalah
a. Busur seperempat lingkaran dengan pusat O dari
titik (0, -1) sampai (1,0)
b. Garis patah dari (0, -1) ke (0,0) dan dari (0,0) ke
(1,0).
 2. Jika C adalah lintasan dari (-1,0) ke (1,0) kemudian
mengelilingi lingkaran = 1 dengan arah positif
kembali ke (1,0). Tentukan

C
dzz.
iz 1
 
C
iz
dz
1

3. Tentukan
dengan C adalah lingkaran =3
 4. Tentukan
 dengan C adalah =2
 5. Tentukan deret Laurent dari
 


C
dz
ziz
}
2
23
{
z
 C zz
dz
2
)4(
3z
4
.cos
z
iz

TUGAS 2
 Minggu Depan (KELOMPOK)
 1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang,
dikumpulkan pada saat kuis

�ݺ�ߣ

integral fungsi kompleks

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to integral fungsi kompleks (20)

Recently uploaded (20)

integral fungsi kompleks